量纲分析与单位换算

为什么换算因子是伪装起来的 1

像 1 L = 1000 mL 这样的等式表明，两边描述的是同一个量。因此，用一边除以另一边，得到的比值恰好等于 1：(1000 mL / 1 L) = 1 以及 (1 L / 1000 mL) = 1。把一个量乘以 1 不会改变这个量，只会改变它的表达方式。这就是该方法的全部依据。

由于每个等式给出两个比值，您要选择能约去已有单位、留下所需单位的那个方向。要把 0.355 L 换算成毫升，可以写成 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL。升可以约去，因为 L 在分子和分母中各出现一次。如果单位不能约去，说明换算因子上下颠倒了，您在做任何算术之前就能知道。

精确等式与测量等式

有些等式是定义，是精确的：每一个 SI 前缀（1 km = 10³ m，1 µg = 10⁻⁶ g）、1 L = 1 dm³、1 mL = 1 cm³，以及 1 英寸 = 2.54 cm。精确的换算因子永远不会限制有效数字。另一些等式来自测量，例如密度或一枚硬币的质量，它们的有效数字与其他测量值一样计算。

前缀换算因子是造成上下颠倒错误的最常见来源。请把 1 µg = 10⁻⁶ g 读作：一微克是一克的百万分之一。小单位对应 1，大单位对应较小的十的幂，或者等价地写成 1 g = 10⁶ µg。写成 1 g = 10⁻⁶ µg 会使二者的关系颠倒，差了 10¹² 倍。

• 长度：1 m = 100 cm = 1000 mm；1 英寸 = 2.54 cm（精确值）。
• 体积：1 L = 1000 mL = 1 dm³；1 mL = 1 cm³；1 m³ = 1000 L。
• 质量：1 kg = 1000 g；1 mg = 10⁻³ g；1 µg = 10⁻⁶ g。
• 时间：1 h = 60 min = 3600 s。

在一行中串联多个换算因子

当没有单个等式能连接起始单位和目标单位时，就把一串换算因子相乘，每一个都约去前一个引入的单位。先写出整条链再计算，可以一眼检查约分情况，并避免在步骤之间进行修约。

例题 1。一台泵以 1.75 mL/min 的速率输送溶剂。流速以升每小时表示是多少？有两个单位需要改变，一个在分子，一个在分母。列式：1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h)。毫升约去，分钟约去，剩下 L/h。算术为 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h。两个换算因子都是精确的，因此答案保留 1.75 mL/min 的三位有效数字。

这里做一次快速的合理性检查会有帮助：一小时有 60 分钟，所以每小时的体积一定大于每分钟的体积，约为 105 mL。以升表示大约是十分之一升，与 0.105 L/h 相符。

平方和立方单位需要平方和立方的换算因子

像 cm³ 这样的导出单位意味着 cm × cm × cm。换算它时，需要对每个维度各使用一次长度换算因子，做法是把整个换算因子（数字和单位一起）取相应的幂。(1 m / 100 cm)³ 等于 1 m³ / 10⁶ cm³，而不是 1 m³ / 100 cm³。

例题 2。一个储物柜的内部容积为 0.0465 m³。请分别用立方厘米和升表示。换算为立方厘米：0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³。换算为升，使用 1 m³ = 1000 L：0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L。作为交叉检验，4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) 同样得到 46.5 L。

速率和其他复合单位遵循同样的逻辑。以 N/m² 表示的压强、以 m/s 表示的速度和以 mol/L 表示的浓度，其中的每个单位都要分别换算，并注意指数。

以密度作为质量与体积之间的桥梁

密度是质量除以体积，因此它可以按任一方向用作换算因子：(g / mL) 把体积变为质量，(mL / g) 把质量变为体积。与前缀换算因子不同，密度是测量值，取决于温度，并且会限制有效数字。

例题 3。OpenStax Chemistry 2e（表 1.4）列出了甘油在室温附近的密度为 1.26 g/cm³。含有 15.0 g 的甘油体积是多少？把密度倒过来，使克约去：15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³，由于 1 cm³ 恰好等于 1 mL，所以是 11.9 mL。计算器显示 11.905，两个输入值都有三位有效数字。

现在通过更长的链反过来计算：2.50 L 甘油的质量是多少千克？2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg。一升水的质量接近 1 kg，而甘油比水稍微密一些，所以略大于 2.5 kg 是合理的。

温度标度和其他带有偏移的换算

因子标记法处理的是成比例的关系，即一个单位中的零意味着另一个单位中的零。摄氏、华氏和开尔文标度的零点不同，因此换算温度需要一个带附加偏移量的公式：T(K) = T(°C) + 273.15，T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32。例如，21.47 °C 是 21.47 + 273.15 = 294.62 K，以及 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F。

温度变化则不同。1 °C 的变化等于 1 K 的变化，也等于 1.8 °F 的变化，不带偏移量，因为两个温度相减时偏移量会抵消。当热量或速率方程使用的是 ΔT 而不是 T 时，请记住这一区别。

换算错误及如何发现它们

只要每个换算因子都是真正的等式，量纲分析就能保证最终的单位是对的。但它不能保证您选对了量，因此请把单位检查与大小估算结合起来。

在相乘之前，先判断数值应该变大还是变小。换算为较小的单位（如从升到毫升），得到的数值更大；换算为较大的单位，得到的数值更小。如果结果的变化方向不对，就说明某个换算因子的数字写反了，这正是记错前缀时会发生的情况，即使单位看起来能约去。

• 因子颠倒：如果您想去掉的单位仍然保留，就把那个换算因子翻转过来。
• 前缀写反：检查较小的单位是否对应较大的数目，如 1 kg = 1000 g。
• 忘记取幂：面积和体积的换算因子必须取平方或立方，数字也要一起取。
• 计算中途丢掉单位：在每个数字上都写上单位，这样遗漏的约分就一目了然。
• 把测量得到的换算因子当作精确值：密度或每件物品的实测质量会限制有效数字。
• 单位正确，物理意义错误：溶液的克数和溶质的克数都会作为 g 约去，所以请为每个量标注它所描述的对象。