化学计算中的有效数字

测量数与精确数

测量值之所以存在不确定性，是因为每种仪器都有其局限。当您读取以 0.1 mL 为刻度间隔的滴定管时，要先记下确定的刻度，再在刻度之间估读一位，因此 18.36 mL 这样的读数有四位有效数字：三位确定数字和一位估读数字。写成 18.360 mL 则表示了滴定管无法达到的精度。

精确数不带测量不确定度。它们来自计数（试管架上有 12 支试管）、来自定义（1 英寸恰好等于 2.54 cm，1 L 恰好等于 1000 mL），也来自化学式和方程式中的系数与下标。精确数视为具有无限多位有效数字，因此它们绝不会限制计算结果的精度。

数清数字，包括麻烦的零

非零数字始终是有效数字。零是否有效，取决于它报告的是测量信息，还是仅仅标示小数点的位置。下面的规则涵盖了您在普通化学中会遇到的所有情形。

不带小数点的整数末尾的零，是唯一真正有歧义的情形。写成 1200 g 的质量，可能精确到两位、三位或四位有效数字。科学记数法可以消除这种歧义：1.2 × 10³ g 有两位，1.20 × 10³ g 有三位，1.200 × 10³ g 有四位。

• 夹在非零数字之间的零是有效数字：30.506 g 有五位有效数字。
• 前导零从来都不是有效数字，它们只用来确定小数点的位置：0.004070 m 有四位有效数字（4、0、7、0）。
• 小数点右侧末尾的零是有效数字：2.500 mL 有四位有效数字。
• 不带小数点的整数末尾的零有歧义；请用科学记数法表明您的意图。

加法和减法：对齐小数位数

对量进行加减时，起决定作用的是最后一位小数的绝对不确定度，而不是有效数字的个数。结果的小数位数应与小数位数最少的那个测量值相同。

例题 1。您把用不同天平称量的三份固体合在一起：12.6 g、0.237 g 和 105.42 g。计算器显示 118.257 g。第一个质量只精确到十分位，所以总和也只精确到十分位：118.3 g。请注意，即使有一个输入值只有三位有效数字，答案仍有四位有效数字；在加法中，限制结果的并不是数字的位数。

减法可能会损失有效数字。假设装有液体的烧瓶在台式天平上称得 58.36 g，空烧瓶在分析天平上称得 57.912 g。计算器上的差是 0.448 g，但第一个质量只精确到百分位，所以液体的质量是 0.45 g。从分别有四位和五位有效数字的输入值中，只保留了两位有效数字。当两个大数之间的微小差值很重要时，应在精度更高的天平上称量二者。

乘法和除法：数有效数字的位数

对于乘积和商，传递下去的是相对不确定度。结果的有效数字位数应与有效数字最少的那个输入值相同。

例题 2。一个长方体块的尺寸为 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm。计算器上的体积为 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³。高度只有两位有效数字，所以体积应报告为 16 cm³。只有更仔细地测量高度，例如用游标卡尺测得 1.80 cm，才能为第三位数字提供依据。

对数遵循一条相关的规则，这条规则会出现在 pH 的计算中：对数的小数位数等于原始数值的有效数字位数。氢离子浓度 3.4 × 10⁻⁴ mol/L 有两位有效数字，因此其 pH 报告到两位小数，即 3.47。

多步计算只在最后修约一次

在包含多个步骤的计算中，每个中间值至少多保留一两位数字（保护位），只对最终答案进行修约。要记下每一步能支持多少位有效数字，但在最后之前不要丢弃数字。每一步都修约会每次引入一点小误差，而这些误差可能改变最终报告的最后一位数字。

例题 3。您将 1.37 g 氯化钠溶于水，并在容量瓶中稀释至恰好 50.00 mL。使用修约到两位小数的 IUPAC 标准原子量（Na 22.99，Cl 35.45），NaCl 的摩尔质量为 58.44 g/mol。物质的量为 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol，保持不修约。体积为 0.05000 L，所以浓度为 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L，由于质量有三位有效数字，修约为 0.469 mol/L。

如果您先把物质的量修约为 0.0234 mol，就会得到 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L。差别很小，但这是由算术而不是测量引入的真实误差，在更长的计算链中，它还可能变大。

何时将恰好为 5 的位向上修约或修约到偶数

如果舍去的第一位数字小于 5，保留位就保持不变；如果大于 5，或者是 5 且后面还有任何非零数字，则向上进位。因此，保留三位有效数字时，0.064371 修约为 0.0644，7.2849 修约为 7.28。

唯一有争议的情形，是舍去的数字恰好是 5 且后面没有任何数字。OpenStax Chemistry 2e 采用使保留位为偶数的修约方式（6.125 变为 6.12，而 6.135 变为 6.14），这样可以避免多次修约后出现轻微的偏高。许多教师则直接把 5 进位。请确认您的课程采用哪种约定，并始终一致地使用；它只影响这一种情形。

在自己的作业中要留意的有效数字错误

大多数有效数字错误都源于几种可预见的疏忽。在写出最终答案之前，请再看一遍输入值，并问问自己：哪一个限制了结果，依据的是哪条规则。

养成一个小习惯就能使这一过程成为常规：在每个答案旁边，注明起限制作用的输入值以及您所用的规则，是小数位数还是数字位数。如果答案显示的位数多于该输入值所能支持的位数，就把它修约；如果显示的位数更少，就看看是否有计算器丢掉的末尾零。

• 让精确数限制了答案。1000 mL/L 这样的换算因子或系数 2 永远不会减少有效数字。
• 对加减运算使用乘法规则。和与差由小数位数限制，而不是由数字位数限制。
• 对每个中间值都进行修约。请保留保护位，只在最后修约一次。
• 丢掉了有意义的末尾零。测量值是 2.50 mL 时，计算器显示 2.5；请把这个零写回来。
• 把前导零也算进去。0.0081 g 有两位有效数字，而不是四位。
• 报告带有歧义零的整数。当三位数字都有意义时，请写成 3.40 × 10² g，而不是 340 g。