Số lượng tử và obitan: quy tắc, cách đếm và hình dạng

Electron như sóng: bước sóng de Broglie

Năm 1924, de Broglie đề xuất rằng mọi hạt chuyển động đều có bước sóng λ = h/(mv), trong đó h là hằng số Planck, m là khối lượng và v là tốc độ. Với các vật thể thường ngày, bước sóng quá nhỏ để nhận thấy. Một quả bóng chày 0.145 kg bay với tốc độ 40.0 m/s có λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Với electron, có khối lượng 9.109 × 10⁻³¹ kg (CODATA của NIST), bước sóng tương đương kích thước của một nguyên tử.

Ví dụ có lời giải 1. Một electron chuyển động với tốc độ 2.188 × 10⁶ m/s có λ = h/(mv). Với các giá trị CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s và m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, tức 0.3324 nm. Tốc độ này chính là tốc độ mà mô hình Bohr gán cho electron trên quỹ đạo thấp nhất của hiđro, có bán kính là bán kính Bohr, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (CODATA của NIST). Chu vi quỹ đạo là 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, nên vừa đúng một bước sóng electron nằm trọn trên đó, với độ khớp tốt hơn 0.02%. Các mức năng lượng lượng tử hóa là điều bạn nhận được khi một sóng electron phải vừa khít không gian của nó mà không tự triệt tiêu, giống như một dây đàn guitar chỉ có thể dao động ở một số tần số nhất định.

Nguyên lý bất định và sự kết thúc của quỹ đạo cố định

Nguyên lý bất định Heisenberg đặt ra giới hạn cho mức độ có thể biết đồng thời vị trí và động lượng: Δx·Δp ≥ ħ/2, trong đó ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Ví dụ có lời giải 2. Giới hạn một electron trong một vùng rộng 1.0 × 10⁻¹⁰ m, khoảng bằng kích thước một nguyên tử. Khi đó Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, và Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Độ bất định về tốc độ là một phần đáng kể của chính tốc độ, nên một quỹ đạo xác định, như quỹ đạo của một hành tinh, là vô nghĩa đối với electron trong nguyên tử.

Cơ học lượng tử thay quỹ đạo bằng một hàm sóng, ψ. Bình phương của nó, ψ², là mật độ xác suất: nhân với thể tích của một vùng nhỏ, nó cho xác suất tìm thấy electron ở đó. Một obitan là hàm sóng của một electron, và những hình vẽ obitan quen thuộc là các bề mặt bao quanh phần lớn xác suất đó, thường là 90%.

Các giá trị được phép của n, l, mₗ và mₛ

Giải phương trình sóng cho nguyên tử hiđro tạo ra ba số lượng tử, mỗi số bị giới hạn bởi số đứng trước nó. Số thứ tư mô tả spin của electron. Các giới hạn này là toàn bộ cốt lõi của vấn đề.

• Số lượng tử chính n = 1, 2, 3, …. Nó xác định lớp và, ở hiđro, năng lượng. n càng lớn thì obitan càng lớn và có năng lượng càng cao.
• Số lượng tử phụ (số lượng tử momen động lượng) l = 0, 1, …, n − 1. Nó xác định phân lớp và hình dạng: l = 0, 1, 2, 3 là s, p, d, f.
• Số lượng tử từ mₗ = −l, …, 0, …, +l, cho 2l + 1 giá trị. Nó xác định sự định hướng của obitan trong không gian.
• Số lượng tử spin mₛ = +½ hoặc −½. Nó không phụ thuộc vào ba số còn lại.

Ví dụ có lời giải: kiểm tra sáu bộ số lượng tử

Để kiểm tra một bộ (n, l, mₗ, mₛ), hãy đối chiếu từng số với số đứng trước nó, theo thứ tự. Dừng lại ở vi phạm đầu tiên.

(3, 3, 0, +½) không được phép: l tối đa phải là n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) không được phép: với l = 2, mₗ chỉ chạy từ −2 đến +2. (3, 2, 1, 0) không được phép: mₛ phải là +½ hoặc −½, không bao giờ là 0. (2, 1, −1, −½) được phép và mô tả một electron trong obitan 2p. (5, 0, 0, +½) được phép và mô tả một electron 5s. (4, 3, −3, +½) được phép và mô tả một electron 4f.

Để gọi tên obitan từ một bộ được phép, hãy viết n rồi đến chữ cái ứng với l. Giá trị mₗ chọn một obitan trong phân lớp nhưng không làm thay đổi tên của nó trong cách ký hiệu này.

Đếm obitan và electron theo một điều kiện ràng buộc

Các câu hỏi đếm trở nên đơn giản nếu bạn liệt kê các giá trị l được phép, rồi các giá trị mₗ cho mỗi l, và chỉ sau đó mới áp dụng điều kiện ràng buộc. Mỗi obitan, tức mỗi tổ hợp (n, l, mₗ) được phép, chứa hai electron, mỗi electron một chiều spin.

Một lớp có số lượng tử chính n chứa n² obitan và 2n² electron. Với n = 4, l có thể là 0, 1, 2 hoặc 3, cho 1 + 3 + 5 + 7 = 16 obitan và 32 electron.

Ví dụ có lời giải 3. Bao nhiêu electron trong một nguyên tử có thể có n = 3 và mₗ = +1? Các giá trị l ứng với n = 3 là 0, 1 và 2. mₗ = +1 chỉ có thể khi l ≥ 1, nên có một obitan như vậy trong 3p và một trong 3d: hai obitan, bốn electron. Bao nhiêu electron có thể có n = 5 và mₛ = +½? Lớp 5 có 5² = 25 obitan, mỗi obitan có một electron +½, nên là 25. Bao nhiêu electron có thể có n = 4 và l = 2? Đó là phân lớp 4d: 5 obitan và 10 electron.

Hình dạng obitan và cách đếm mặt nút

Mặt nút là nơi ψ, và do đó xác suất tìm thấy electron, bằng không. Một obitan có tổng cộng n − 1 mặt nút. Trong đó, l là mặt nút góc, tức các mặt phẳng hoặc mặt nón đi qua hạt nhân, và n − l − 1 còn lại là mặt nút xuyên tâm, tức các mặt cầu ở những khoảng cách cố định. OpenStax Chemistry 2e (Mục 6.3) đưa ra quy tắc về mặt nút xuyên tâm.

Obitan s (l = 0) có dạng cầu và không có mặt nút góc, nên obitan 2s có một mặt nút xuyên tâm và obitan 3s có hai. Obitan p (l = 1) có hai thùy ở hai phía đối diện của hạt nhân với một mặt phẳng nút giữa chúng; ba obitan được ký hiệu pₓ, p_y và p_z theo trục mà chúng hướng dọc theo. Obitan d (l = 2) có hai mặt nút góc. Bốn obitan trong số đó có bốn thùy; obitan thứ năm, d_z², có hai thùy dọc theo trục z và một vành bao quanh phần giữa.

Ví dụ có lời giải 4. Một obitan 3p có 3 − 1 − 1 = 1 mặt nút xuyên tâm và 1 mặt nút góc. Một obitan 4d có 1 mặt nút xuyên tâm và 2 mặt nút góc, tổng cộng là 3. Một obitan 3d không có mặt nút xuyên tâm nào, và một obitan 6s có 5.

Khi các obitan trong cùng một lớp khác nhau về năng lượng

Ở hiđro, năng lượng chỉ phụ thuộc vào n, nên 3s, 3p và 3d có cùng năng lượng. Trong các nguyên tử có nhiều hơn một electron, các electron khác chắn hạt nhân không đều. Một electron s xâm nhập gần hạt nhân hơn một electron p hay d cùng lớp, chịu nhiều điện tích hạt nhân hơn và có năng lượng thấp hơn. Kết quả là sự tách mức s < p < d < f trong một lớp, điều quyết định thứ tự điền electron được trình bày trong hướng dẫn về cấu hình electron.

Các obitan trong cùng một phân lớp, như ba obitan 2p, vẫn có năng lượng bằng nhau trong một nguyên tử cô lập. Chúng được gọi là suy biến. Các nguyên tử xung quanh trong phân tử hoặc tinh thể có thể phá vỡ sự suy biến đó.

Những lỗi về số lượng tử cần kiểm tra

Gần như mọi lỗi đều đến từ việc bỏ qua bước liệt kê. Khi còn nghi ngờ, hãy viết ra mọi giá trị được phép trước khi đếm.

• Để l bằng n. Giá trị l lớn nhất được phép là n − 1, nên không có obitan 1p hay 2d.
• Đếm các giá trị mₗ từ 0 đến l thay vì từ −l đến +l, khiến số obitan bị đếm thiếu.
• Đếm obitan khi câu hỏi hỏi số electron, hoặc ngược lại. Mỗi obitan chứa hai electron.
• Gán cho mₛ giá trị 0 hoặc 1. Spin chỉ là +½ hoặc −½.
• Dùng n − l − 1 làm tổng số mặt nút. Công thức đó chỉ đếm mặt nút xuyên tâm; tổng số là n − 1.
• Coi bề mặt biên 90% là một ranh giới cứng. Mật độ electron giảm dần một cách liên tục và không có ranh giới sắc nét.