Світло та атомні спектри: фотони, енергетичні рівні й лінії Гідрогену

Довжина хвилі, частота та швидкість світла

Світло — це електромагнітна хвиля. Його довжина хвилі λ — відстань між гребенями, а частота ν — кількість гребенів, що проходять повз точку щосекунди, у герцах (s⁻¹). У вакуумі всі довжини хвиль поширюються з однаковою швидкістю, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, — це точне означене значення, яке наводить NIST. Три величини пов’язані співвідношенням c = λν, тож довжина хвилі й частота обернено пропорційні: зменшіть одну вдвічі, і друга подвоїться.

Видиме світло охоплює діапазон приблизно від 400 nm (фіолетове) до 700 nm (червоне). Ультрафіолетове світло має коротші довжини хвиль і вищі частоти; інфрачервоне — довші довжини хвиль і нижчі частоти. Перш ніж користуватися c = λν, переведіть нанометри в метри: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Енергія фотона та фотоефект

Світло поглинається й випромінюється порціями, які називають фотонами. Кожен фотон несе енергію E = hν = hc/λ, де h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s — стала Планка, також точна. Коротша довжина хвилі означає більшу енергію на фотон. Яскравіше світло того самого кольору означає більше фотонів, а не енергійніші фотони.

Розв’язаний приклад 1. Жовте світло натрієвої лампи має довжину хвилі близько 589.0 nm. Його частота ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Один фотон несе E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Помножте на число Авогадро, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, щоб отримати енергію моля фотонів: 2.031 × 10⁵ J, або 203.1 kJ/mol. Це порівнянно з енергією слабкого хімічного зв’язку, тому видиме й ультрафіолетове світло може спричиняти фотохімічні реакції.

Фотоефект безпосередньо демонструє фотонну картину. Світло вибиває електрони з металу, лише якщо кожен фотон несе щонайменше роботу виходу металу, Φ. Будь-яка надлишкова енергія стає кінетичною енергією електрона: KEmax = hν − Φ.

Розв’язаний приклад 2. Припустімо, поверхня металу має порогову довжину хвилі 540 nm (задане значення для цієї вправи). Її робота виходу Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Фіолетове світло з довжиною хвилі 405 nm має фотони з енергією 4.905 × 10⁻¹⁹ J, тож KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Після округлення до трьох значущих цифр це 1.23 × 10⁻¹⁹ J, або 0.765 eV. Червоне світло з довжиною хвилі 650 nm, хоч яким інтенсивним воно було б, не вибиває жодного електрона, бо кожен фотон має лише 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Чому атоми дають лінійчасті спектри замість веселки

Гаряче тверде тіло, як-от нитка розжарення лампи, випромінює неперервний спектр. Гарячий газ атомів за низького тиску випромінює лише певні довжини хвиль. Електрони в атомі можуть займати лише певні енергетичні рівні. Коли електрон переходить з вищого рівня на нижчий, атом випромінює один фотон, енергія якого дорівнює проміжку: ΔE = hν. Оскільки існують лише певні проміжки, з’являються лише певні довжини хвиль.

Поглинання — обернений процес. Пропустіть біле світло крізь холодний газ, і атоми вилучать саме ті довжини хвиль, що відповідають їхнім переходам угору, залишивши темні лінії в спектрі, який в іншому є неперервним. Перехід між тими самими двома рівнями має ту саму довжину хвилі, хоч атом поглинає, хоч випромінює. Набір проміжків кожного елемента унікальний, тож спектри дозволяють ідентифікувати елементи в полум’ї, лампах і далеких зорях.

Енергетичні рівні Гідрогену та рівняння Рідберга

Для одноелектронного атома енергетичні рівні підпорядковуються простій формулі. OpenStax Chemistry 2e (розділ 6.2) наводить Eₙ = −kZ²/n², де k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z — заряд ядра, а n = 1, 2, 3, …. Енергія від’ємна, бо зв’язаний електрон має нижчу енергію, ніж вільний електрон у стані спокою, енергію якого прийнято за нуль. Зі зростанням n рівні згущуються, наближаючись до нуля.

Фотон, випромінений під час переходу електрона з nᵢ на нижчий n_f, має енергію ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Ділення на hc дає рівняння Рідберга для Гідрогену, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), де R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Розв’язаний приклад 3. Знайдіть довжину хвилі лінії Гідрогену n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J; до кінця зберігаємо одну додаткову цифру. З hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m маємо λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, або 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data наводить для цієї червоної лінії 656.3 nm у повітрі. Розбіжність в останній цифрі зумовлена округленням k і трохи меншою швидкістю світла в повітрі.

Розв’язаний приклад 4. Енергія йонізації Гідрогену — це енергія, потрібна, щоб перевести електрон з n = 1 на n = ∞, і вона дорівнює самому k: 2.179 × 10⁻¹⁸ J на атом. На моль (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, або 1312 kJ/mol. Значення з NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, відповідає 1312.0 kJ/mol.

Серії Лаймана, Бальмера та Пашена

Лінії, що закінчуються на тому самому нижньому рівні, утворюють серію. Усі вони зближуються зі зростанням nᵢ і наближаються до межі серії, де електрон спочатку вільний.

• Серія Лаймана, що закінчується на n = 1: ультрафіолет. Лінія 2 → 1 лежить при 121.6 nm, а межа серії — близько 91.2 nm.
• Серія Бальмера, що закінчується на n = 2: чотири видимі лінії Гідрогену, приблизно при 656, 486, 434 і 410 nm для nᵢ = 3, 4, 5 і 6. Межа серії — близько 365 nm, в ультрафіолеті.
• Серія Пашена, що закінчується на n = 3: інфрачервоний діапазон. Лінія 4 → 3 лежить близько 1875 nm.

Помилки зі спектрами та швидкі перевірки

Більшість помилок у цих задачах — помилки в одиницях або в знаках. Дві перевірки ловлять більшість із них: фотон видимого світла має нести приблизно від 2.8 до 5.0 × 10⁻¹⁹ J, а більший енергетичний проміжок мусить давати коротшу довжину хвилі.

• Залишення довжини хвилі в нанометрах під час використання c = λν або E = hc/λ. Спершу переведіть у метри.
• Використання рівняння Рідберга з переставленими nᵢ і n_f, що дає від’ємну довжину хвилі.
• Очікування, що кожна лінія Гідрогену видима. Уся серія Лаймана лежить в ультрафіолеті, а серія Пашена — в інфрачервоному діапазоні.
• Думка, що яскравіше світло вибиває швидші фотоелектрони. Інтенсивність змінює кількість електронів, а не їхню максимальну енергію.
• Застосування Eₙ = −kZ²/n² до Гелію чи будь-якого атома з більш ніж одним електроном. Формула справджується лише для одноелектронних частинок, як-от H, He⁺ і Li²⁺.
• Забування числа Авогадро під час переведення енергії на фотон у kJ/mol або його подвійне застосування.

Що пояснює модель Бора і де вона перестає працювати

Модель Бора для атома Гідрогену, у якій електрон рухається коловими орбітами з фіксованою енергією, відтворює лінії Гідрогену та масштабування як Z² для йонів, як-от He⁺. Для He⁺ кожна енергія переходу Гідрогену вчетверо більша, тож його лінія 2 → 1 лежить близько 30.4 nm.

Модель не працює для атомів із двома чи більше електронами, бо відштовхування між електронами змінює рівні. Вона також зображує електрони на визначених траєкторіях, що квантова механіка виключає. Сучасна теорія зберігає енергетичні рівні Бора для Гідрогену, але замінює орбіти орбіталями, які описують, де електрон імовірно можна знайти.