核化学:結合エネルギー、崩壊様式、半減期

中性子と陽子の比と安定帯

原子核には陽子と中性子が含まれ、あわせて核子と呼ばれます。陽子どうしは電気的に反発し合い、ごく短い距離でしか働かない強い核力が、すべての核子をまとめています。原子核が安定かどうかは、主に陽子と中性子の釣り合いによって決まります。

安定な核種について中性子の数を陽子の数に対してプロットすると、狭い安定帯に収まります。軽い安定な原子核では、両者の数はほぼ等しく、窒素14はそれぞれ7個ずつもっています。重い原子核では、大きくなる陽子間の反発を打ち消すために、余分の中性子が必要です。OpenStax によれば、n:p 比は鉄56で 1.15、鉛207で 1.52 です。ビスマス(Z = 83)より後のすべての元素は、どの同位体も放射性です。

安定帯から外れた核種は、安定帯に近づくように崩壊します。下の崩壊様式の一覧が示すように、このひとつの考え方で、ほとんどの崩壊様式を予測できます。

質量欠損と原子核の結合エネルギー

原子核の質量は、それをつくっているばらばらの陽子と中性子の質量より小さくなります。足りない質量、すなわち質量欠損は、E = mc² によって原子核の結合エネルギーに対応します。原子質量単位では、1 u は 931.494 MeV に相当します(NIST の CODATA 値)。

例題1。ヘリウム4の結合エネルギーを求めます。原子の質量を使うと、電子の釣り合いが保たれます。水素1原子2個が、陽子2個と電子2個を供給します。NIST は ¹H を 1.007 825 032 u、⁴He を 4.002 603 254 u とし、CODATA は中性子を 1.008 664 916 u としています。ばらばらの粒子:2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u。質量欠損:4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u。結合エネルギー:0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV、すなわち核子1個あたり 7.074 MeV。OpenStax は小数第4位までに丸めた質量を使うので 28.4 MeV としており、大きな数どうしの小さな差が丸めにどれほど敏感かがわかります。

1モルあたりに換算すると、原子核1個あたり 28.30 MeV は 2.73 × 10¹² J/mol です。メタン1モルを燃やすと約 890 kJ が放出される(付録Gの生成エンタルピーから)ので、核子からヘリウム4ができるときには、1モルあたりおよそ300万倍のエネルギーが放出されます。核子1個あたりの結合エネルギーは質量数56付近で最大になり、OpenStax は鉄56について核子1個あたり 8.820 MeV と計算しています。そのため、軽い原子核の融合と、非常に重い原子核の分裂のどちらでもエネルギーが放出されます。

五つの崩壊様式と、それぞれが変えるもの

各崩壊様式は、質量数 A と原子番号 Z を決まった仕方で変えます。核種が安定帯のどちら側にあるかがわかれば、どの崩壊様式が起こりやすいかがわかります。

• アルファ崩壊は、ヘリウム4の原子核 ⁴₂He を放出します。A は4減り、Z は2減ります。ビスマスより重い原子核でよく見られます。
• ベータ崩壊は、中性子が陽子に変わるときに電子 ⁰₋₁e を放出します。A は変わらず、Z は1増えます。安定帯より上にある中性子過剰の核種で起こります。
• 陽電子放出は、陽子が中性子に変わるときに陽電子 ⁰₊₁e を放出します。A は変わらず、Z は1減ります。安定帯より下にある陽子過剰の核種で起こります。
• 電子捕獲は、内側の電子を原子核に取り込み、それが陽子と結びついて中性子になります。A は変わらず、Z は1減り、陽電子放出と同じ変化です。
• ガンマ線放出は、励起状態にある原子核から高エネルギーの光子 ⁰₀γ を放出します。A も Z も変わりません。ほかの崩壊様式に伴うことがよくあります。

A と Z の保存によって核反応式の係数を合わせる

核反応式は、質量数(上付きの数字)の合計が両辺で等しく、原子番号(下付きの数字)の合計も等しいとき、釣り合っています。生成物の原子番号から、その元素がわかります。

ウラン238はアルファ崩壊をします。²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He。確認:238 = 234 + 4、92 = 90 + 2。炭素14はベータ崩壊をします。¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e で、6 = 7 + (−1) です。PET検査に使われるフッ素18は、陽電子放出をします。¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e。カリウム40は電子捕獲をすることがあり、電子は反応物として書きます。⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar。

未知の粒子を求めるには、引き算をします。トリウム234はプロトアクチニウム234に崩壊します。²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X。X について、A = 234 − 234 = 0、Z = 90 − 91 = −1 なので、X は ⁰₋₁e で、これはベータ崩壊です。この予測は安定帯と合っています。炭素14の n:p 比は 1.33 で、これほど軽い原子核としては高く、ベータ崩壊によって窒素14の 1.00 になります。

一次の崩壊の半減期の計算

放射性崩壊は一次の過程です。ある時間のうちに、初めの量にかかわらず、残っている原子核の同じ割合が崩壊します。半減期 t½ は、原子核の半分が崩壊するのにかかる時間です。半減期は温度、圧力、化学的な形態に実質的に依存せず、これが年代測定に役立つ理由です。時間 t のあとに残っている量は N = N₀ × (½)^(t/t½) です。同じことですが、崩壊定数 k = 0.693/t½ を使って ln(N/N₀) = −kt とも書けます。

例題2。甲状腺の病気の治療に使われるヨウ素131は、t½ = 8.02 日です(OpenStax の表21.2)。50.0 mg の試料は、30.0 日後にどれだけ残っているでしょうか。t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 半減期。N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg。簡単な見積もりで確認できます。3半減期後には 6.25 mg、4半減期後には 3.13 mg が残るはずなので、答えはその間になければなりません。

例題3。フッ素18は t½ = 110. 分です。その放射能が初めの値の 10.0 パーセントに下がるまで、どれだけかかるでしょうか。放射能は原子核の数に比例するので、(½)^(t/110.) = 0.100 を解きます。t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min、約6.1時間です。この短い時間枠のために、フッ素18は使う場所の近くでつくらなければなりません。

例題:木製の遺物の放射性炭素年代測定

生きている生物は、環境と炭素を交換することで、炭素14と炭素12の比を一定に保っています。死後、炭素14は t½ = 5730 年(OpenStax の21.3節)で崩壊し、補充されないので、比は予測可能な形で下がります。

ある木製の道具には、生きている木に含まれる炭素14の 28.0 パーセントが含まれています。0.280 = (½)^(t/5730 y) を解きます。対数をとると t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ 年、すなわち約1.84半減期です。見積もりで確認しましょう。1半減期後には50パーセント、2半減期後には25パーセントが残るので、28.0 パーセントは2半減期の少し手前です。

OpenStax によれば、この方法は約30 000年まで正確で、最大で約50 000年まで妥当な年代を与えます。それを超えると、確実に測定するには残っている炭素14が少なすぎます。実際の放射性炭素年代は、過去の大気中の炭素14の変化についても補正されます。

核反応式と崩壊の計算の誤り

二つの確認でほとんどの問題に気づけます。どの反応式でも A と Z を別々に釣り合わせること、そして電卓を使う前に何半減期が経過したかを見積もることです。

• ベータ崩壊と陽電子放出の変化を取り違える。ベータ崩壊は Z を1増やし、陽電子放出と電子捕獲は Z を1減らします。
• 質量数は釣り合わせたのに原子番号を釣り合わせない、またはその逆。
• 電子を考慮せずに、原子の質量から裸の陽子の質量を引く。水素1の原子の質量を使えば、この問題は避けられます。
• 初めの量を、半分にすることを繰り返すのではなく、半減期の数で割る。
• 日単位の半減期と時間単位の経過時間のように、時間の単位を混在させる。
• 質量欠損の計算で、差をとる前に質量を丸める。