ספרות משמעותיות בחישובי כימיה

מספרים שנמדדו לעומת מספרים מדויקים

ערך שנמדד אינו ודאי, משום שלכל מכשיר יש גבול. כשקוראים ביורטה מדורגת במרווחים של 0.1 mL, רושמים את הסימונים הוודאיים ומעריכים ספרה אחת נוספת ביניהם, ולכן לקריאה כמו 18.36 mL יש ארבע ספרות משמעותיות: שלוש ספרות ודאיות וספרה אחת מוערכת. כתיבת 18.360 mL הייתה טוענת לדיוק שהביורטה אינה מסוגלת לספק.

למספרים מדויקים אין אי-ודאות מדידה. הם נובעים מספירה (12 מבחנות במעמד), מהגדרות (1 אינץ' הוא בדיוק 2.54 cm, ו-1 L הוא בדיוק 1000 mL) ומהמקדמים והתחתיות בנוסחאות ובמשוואות כימיות. יש להתייחס למספרים מדויקים כאל בעלי מספר בלתי מוגבל של ספרות משמעותיות, ולכן הם אף פעם אינם מגבילים את הדיוק של תוצאה מחושבת.

ספירת ספרות, כולל האפסים הבעייתיים

ספרות שאינן אפס הן תמיד משמעותיות. אפסים משמעותיים או לא, לפי השאלה אם הם מדווחים על מידע שנמדד או רק מסמנים את מיקום הנקודה העשרונית. הכללים שלהלן מכסים כל מקרה שתיתקלו בו בכימיה כללית.

אפסים בסוף מספר שלם ללא נקודה עשרונית הם המקרה היחיד שבאמת אינו חד-משמעי. מסה שנכתבה 1200 g עשויה להיות ידועה בשתיים, בשלוש או בארבע ספרות משמעותיות. סימון מדעי מסיר את העמימות: ל-1.2 × 10³ g יש שתיים, ל-1.20 × 10³ g יש שלוש, ול-1.200 × 10³ g יש ארבע.

• אפסים בין ספרות שאינן אפס הם משמעותיים: ל-30.506 g יש חמש.
• אפסים מובילים אינם משמעותיים לעולם; הם רק קובעים את מיקום הנקודה העשרונית: ל-0.004070 m יש ארבע (4, 0, 7, 0).
• אפסים בסוף המספר מימין לנקודה העשרונית הם משמעותיים: ל-2.500 mL יש ארבע.
• אפסים בסוף מספר שלם ללא נקודה עשרונית אינם חד-משמעיים; השתמשו בסימון מדעי כדי לציין את כוונתכם.

חיבור וחיסור: ליישר את מקומות העשרוניים

כשמחברים או מחסרים כמויות, האי-ודאות הקובעת היא האי-ודאות המוחלטת במקום העשרוני האחרון, ולא מספר הספרות המשמעותיות. יש לעגל את התוצאה לאותו מספר של מקומות עשרוניים כמו במדידה שיש בה הכי פחות מקומות עשרוניים.

דוגמה פתורה 1. אתם משלבים שלוש מנות של חומר מוצק ששקלתם במאזניים שונים: 12.6 g, 0.237 g ו-105.42 g. המחשבון מציג 118.257 g. המסה הראשונה ידועה רק עד מקום העשיריות, ולכן גם הסכום ידוע רק עד מקום העשיריות: 118.3 g. שימו לב שבתשובה יש ארבע ספרות משמעותיות אף על פי שלאחד הנתונים היו רק שלוש; בחיבור, מספר הספרות אינו מה שמגביל את התוצאה.

חיסור יכול להשמיד ספרות משמעותיות. נניח שבקבוק עם נוזל שוקל 58.36 g במאזניים עליונים, והבקבוק הריק שקל 57.912 g במאזניים אנליטיים. ההפרש במחשבון הוא 0.448 g, אבל המסה הראשונה ידועה רק עד מקום המאיות, ולכן מסת הנוזל היא 0.45 g. שתי ספרות משמעותיות שורדות מנתונים שהיו בהם ארבע וחמש. כשהפרש קטן בין שני מספרים גדולים חשוב, שקלו את שניהם במאזניים המדויקים יותר.

כפל וחילוק: לספור ספרות משמעותיות

במכפלות ובמנות, מה שעובר הלאה הוא האי-ודאות היחסית. יש לעגל את התוצאה לאותו מספר של ספרות משמעותיות כמו בנתון שיש בו הכי פחות ספרות משמעותיות.

דוגמה פתורה 2. גוש מלבני מודד 4.20 cm על 2.15 cm על 1.8 cm. הנפח הוא 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ במחשבון. לגובה יש רק שתי ספרות משמעותיות, ולכן הנפח מדווח כ-16 cm³. רק מדידה מדויקת יותר של הגובה, למשל 1.80 cm בעזרת קליבר, הייתה מצדיקה ספרה שלישית.

לוגריתמים כפופים לכלל קרוב שמופיע בעבודה עם pH: מספר המקומות העשרוניים בלוגריתם שווה למספר הספרות המשמעותיות בערך המקורי. לריכוז יוני מימן של 3.4 × 10⁻⁴ mol/L יש שתי ספרות משמעותיות, ולכן ה-pH שלו מדווח בשני מקומות עשרוניים: 3.47.

עיגול פעם אחת, בסוף חישוב רב-שלבי

בחישוב בעל כמה שלבים, שמרו לפחות ספרה אחת או שתיים נוספות (ספרות שמירה) בכל ערך ביניים, ועגלו רק את התשובה הסופית. עקבו אחרי מספר הספרות המשמעותיות שכל שלב מצדיק, אבל אל תשליכו ספרות עד הסוף. עיגול בכל שלב מוסיף שגיאה קטנה בכל פעם, והשגיאות האלה עלולות לשנות את הספרה האחרונה שמדווחת.

דוגמה פתורה 3. אתם ממיסים 1.37 g של נתרן כלורי במים ומדללים אותו לנפח של בדיוק 50.00 mL בבקבוק מדידה. בשימוש במשקלים אטומיים סטנדרטיים של IUPAC מעוגלים לשני מקומות עשרוניים (Na 22.99, Cl 35.45), המסה המולרית של NaCl היא 58.44 g/mol. הכמות היא 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, ללא עיגול. הנפח הוא 0.05000 L, ולכן הריכוז הוא 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, שמעוגל ל-0.469 mol/L משום שלמסה יש שלוש ספרות משמעותיות.

אילו עיגלתם את הכמות ל-0.0234 mol קודם, הייתם מקבלים 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. ההפרש קטן, אבל זו שגיאה אמיתית שנוצרה מהחישוב ולא מהמדידות, ובשרשראות ארוכות יותר היא עלולה לגדול.

מתי לעגל ספרות באמצע כלפי מעלה או לספרה הזוגית

אם הספרה הראשונה שמשמיטים קטנה מ-5, משאירים את הספרה האחרונה שנשמרת כפי שהיא; אם היא גדולה מ-5, או שהיא 5 שאחריה ספרות שאינן אפס, מעגלים כלפי מעלה. לכן 0.064371 מעוגל ל-0.0644 ו-7.2849 מעוגל ל-7.28 בשלוש ספרות משמעותיות.

המקרה היחיד השנוי במחלוקת הוא ספרה משמטת שהיא בדיוק 5 ואחריה אין דבר. OpenStax Chemistry 2e מעגל כך שהספרה שנשמרת תהיה זוגית (6.125 הופך ל-6.12, ואילו 6.135 הופך ל-6.14), וזה מונע הטיה קלה כלפי מעלה לאורך עיגולים רבים. מורים רבים פשוט מעגלים 5 כלפי מעלה. בדקו באיזו שיטה הקורס שלכם משתמש והחילו אותה בעקביות; היא משפיעה רק על המקרה הזה.

שגיאות בספרות משמעותיות שכדאי לחפש בעבודה שלכם

רוב השגיאות בספרות משמעותיות נובעות ממספר קטן של טעויות צפויות. לפני שמסמנים תשובה במסגרת, קראו שוב את הנתונים ושאלו איזה מהם מגביל את התוצאה ולפי איזה כלל.

הרגל קצר הופך את זה לשגרה: ליד כל תשובה, רשמו את הנתון המגביל ואת הכלל שהפעלתם, מקומות עשרוניים או מספר ספרות. אם בתשובה יש יותר ספרות ממה שהנתון הזה מצדיק, עגלו אותה; אם יש בה פחות, חפשו אפס בסוף שהמחשבון השמיט.

• לתת למספר מדויק להגביל את התשובה. גורם של 1000 mL/L או מקדם של 2 לעולם אינם מקטינים ספרות משמעותיות.
• להשתמש בכלל הכפל עבור סכום. סכומים והפרשים מוגבלים לפי מקומות עשרוניים, לא לפי מספר ספרות.
• לעגל כל ערך ביניים. שמרו ספרות שמירה ועגלו פעם אחת בסוף.
• להשמיט אפסים משמעותיים בסוף המספר. המחשבון מציג 2.5 כשהמדידה הייתה 2.50 mL; החזירו את האפס.
• לספור אפסים מובילים. ל-0.0081 g יש שתי ספרות משמעותיות, לא ארבע.
• לדווח על מספר שלם עם אפסים לא חד-משמעיים. כתבו 3.40 × 10² g ולא 340 g כשיש שלוש ספרות בעלות משמעות.