ניתוח ממדים והמרות יחידות

למה גורם המרה הוא 1 במסווה

שוויון כמו 1 L = 1000 mL אומר ששני הצדדים מתארים אותה כמות. חילוק של צד אחד בשני נותן לכן יחס ששווה בדיוק ל-1: (1000 mL / 1 L) = 1 ו-(1 L / 1000 mL) = 1. הכפלת כמות ב-1 אינה משנה את הכמות; היא משנה רק את אופן הביטוי שלה. זו כל ההצדקה של השיטה.

מכיוון שכל שוויון נותן שני יחסים, בוחרים את הכיוון שמצמצם את היחידה שיש לכם ומשאיר את היחידה שאתם רוצים. כדי להמיר 0.355 L למיליליטרים, כותבים 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. הליטרים מצטמצמים כי L מופיע פעם אחת במונה ופעם אחת במכנה. אם היחידות אינן מצטמצמות, הגורם הפוך, ואתם יודעים זאת עוד לפני כל חישוב.

שוויונות מדויקים ושוויונות שנמדדו

חלק מהשוויונות הם הגדרות ולכן מדויקים: כל קידומת SI (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ ו-1 אינץ' = 2.54 cm. גורמים מדויקים לעולם אינם מגבילים ספרות משמעותיות. שוויונות אחרים נובעים ממדידה, כמו צפיפות או המסה של מטבע אחד, והספרות המשמעותיות שלהם נספרות כמו בכל ערך שנמדד אחר.

גורמי קידומת הם המקור הנפוץ ביותר לשגיאות של היפוך. קראו 1 µg = 10⁻⁶ g כך: מיקרוגרם אחד הוא מיליונית של גרם. היחידה הקטנה מקבלת את ה-1 והיחידה הגדולה מקבלת את החזקה הקטנה של עשר, או באופן שקול 1 g = 10⁶ µg. כתיבת 1 g = 10⁻⁶ µg הופכת את היחס בגורם של 10¹².

• אורך: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 אינץ' = 2.54 cm (מדויק).
• נפח: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• מסה: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• זמן: 1 h = 60 min = 3600 s.

שרשור כמה גורמים בשורה אחת

כשאין שוויון יחיד שמחבר בין יחידת המוצא ליחידת היעד, מכפילים שרשרת של גורמים, שכל אחד מהם מצמצם את היחידה שהכניס הקודם. כתיבת השרשרת כולה לפני החישוב מאפשרת לבדוק את הצמצום במבט אחד ומונעת עיגול בין השלבים.

דוגמה פתורה 1. משאבה מספקת ממס בקצב של 1.75 mL/min. מהו קצב הזרימה בליטרים לשעה? שתי יחידות צריכות להשתנות, אחת במונה ואחת במכנה. מגדירים 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). המיליליטרים מצטמצמים, הדקות מצטמצמות, ונשאר L/h. החישוב הוא 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. שני הגורמים מדויקים, ולכן התשובה שומרת על שלוש הספרות המשמעותיות של 1.75 mL/min.

בדיקת סבירות מהירה עוזרת כאן: שעה היא 60 דקות, ולכן הנפח לשעה חייב להיות גדול מהנפח לדקה, בערך 105 mL. בליטרים זה בערך עשירית ליטר, וזה תואם ל-0.105 L/h.

יחידות מרובעות ומעוקבות דורשות גורמים מרובעים ומעוקבים

יחידה נגזרת כמו cm³ פירושה cm × cm × cm. כדי להמיר אותה יש להחיל את גורם האורך פעם אחת לכל ממד, וזאת עושים על ידי העלאת הגורם כולו, מספר ויחידה יחד, בחזקה המתאימה. (1 m / 100 cm)³ שווה ל-1 m³ / 10⁶ cm³, ולא ל-1 m³ / 100 cm³.

דוגמה פתורה 2. לארון אחסון יש נפח פנימי של 0.0465 m³. הביעו אותו בסנטימטרים מעוקבים ובליטרים. בסנטימטרים מעוקבים: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. בליטרים, משתמשים ב-1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. כבדיקה נוספת, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) נותן גם הוא 46.5 L.

קצבים ויחידות מורכבות אחרות פועלים באותו היגיון. לחץ ב-N/m², מהירות ב-m/s וריכוז ב-mol/L מצריכים המרה נפרדת של כל יחידה, תוך שמירה על החזקות.

צפיפות כגשר בין מסה לנפח

צפיפות היא מסה חלקי נפח, ולכן היא פועלת כגורם המרה בשני הכיוונים: (g / mL) הופך נפח למסה, ו-(mL / g) הופך מסה לנפח. בניגוד לגורמי קידומת, צפיפות נמדדת, תלויה בטמפרטורה ומגבילה ספרות משמעותיות.

דוגמה פתורה 3. OpenStax Chemistry 2e (טבלה 1.4) מציג את הצפיפות של גליצרין כ-1.26 g/cm³ בקרבת טמפרטורת החדר. איזה נפח של גליצרין מכיל 15.0 g? הופכים את הצפיפות כך שהגרמים יצטמצמו: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, שהם 11.9 mL כי 1 cm³ = 1 mL בדיוק. המחשבון מציג 11.905, ולשני הנתונים יש שלוש ספרות משמעותיות.

עכשיו נלך בכיוון ההפוך דרך שרשרת ארוכה יותר: מהי המסה, בקילוגרמים, של 2.50 L גליצרין? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. לליטר מים יש מסה קרובה ל-1 kg, וגליצרין צפוף מעט יותר ממים, ולכן מעט יותר מ-2.5 kg הוא סביר.

סקאלות טמפרטורה והמרות אחרות עם היסט

שיטת גורם-תווית מטפלת ביחסים ישרים, שבהם אפס ביחידה אחת פירושו אפס ביחידה האחרת. לסקאלות צלזיוס, פרנהייט וקלווין אין אפס משותף, ולכן המרת טמפרטורה דורשת משוואה עם היסט: T(K) = T(°C) + 273.15, ו-T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. לדוגמה, 21.47 °C הם 21.47 + 273.15 = 294.62 K ו-1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

שינויי טמפרטורה שונים. שינוי של 1 °C שווה לשינוי של 1 K ולשינוי של 1.8 °F, ללא היסט, משום שההיסט מצטמצם כשמחסרים שתי טמפרטורות. זכרו את ההבחנה הזו כשמשוואת חום או קצב משתמשת ב-ΔT ולא ב-T.

טעויות בהמרה ואיך לתפוס אותן

ניתוח ממדים מבטיח שהיחידה הסופית נכונה אם כל גורם הוא שוויון אמיתי. הוא אינו מבטיח שבחרתם את הכמות הנכונה, ולכן שלבו בדיקת יחידות עם הערכת גודל.

לפני שמכפילים, החליטו אם המספר אמור לגדול או לקטון. המרה ליחידה קטנה יותר, כמו מליטרים למיליליטרים, נותנת מספר גדול יותר; המרה ליחידה גדולה יותר נותנת מספר קטן יותר. אם התוצאה זזה בכיוון הלא נכון, במספרים של אחד הגורמים יש היפוך, וזה בדיוק מה שקידומת שנזכרה בטעות עושה גם כשהיחידות נראות כמצטמצמות.

• גורם הפוך: אם היחידה שרציתם להסיר שורדת, הפכו את הגורם הזה.
• קידומת הפוכה: בדקו שליחידה הקטנה יותר יש את הספירה הגדולה יותר, כמו ב-1 kg = 1000 g.
• שכחת החזקה: גורמי שטח ונפח חייבים להיות מרובעים או מעוקבים, כולל המספר.
• השמטת יחידות באמצע החישוב: כתבו יחידות ליד כל מספר כדי שצמצום חסר יישאר גלוי.
• התייחסות לגורם שנמדד כאל מדויק: צפיפות או מסה שנמדדה לפריט מגבילות ספרות משמעותיות.
• יחידות נכונות, פיזיקה שגויה: גרמים של תמיסה וגרמים של מומס מצטמצמים שניהם כ-g, ולכן סמנו כל כמות במה שהיא מתארת.