Anàlisi dimensional i conversions d'unitats

Per què un factor de conversió és un 1 disfressat

Una igualtat com 1 L = 1000 mL diu que els dos membres descriuen la mateixa quantitat. Dividir un membre per l'altre dona, doncs, una raó igual a exactament 1: (1000 mL / 1 L) = 1 i (1 L / 1000 mL) = 1. Multiplicar una quantitat per 1 no la canvia; només canvia com s'expressa. Aquesta és tota la justificació del mètode.

Com que cada igualtat dona dues raons, tries l'orientació que simplifica la unitat que tens i deixa la unitat que vols. Per convertir 0.355 L en mil·lilitres, escriu 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Els litres se simplifiquen perquè L apareix una vegada al numerador i una al denominador. Si les unitats no se simplifiquen, el factor està del revés, i ho saps abans de fer cap operació.

Igualtats exactes i igualtats mesurades

Algunes igualtats són definicions i són exactes: tots els prefixos del SI (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ i 1 polzada = 2.54 cm. Els factors exactes no limiten mai les xifres significatives. Altres igualtats provenen de la mesura, com ara una densitat o la massa d'una moneda, i les seves xifres significatives es compten com les de qualsevol altre valor mesurat.

Els factors dels prefixos són la font més comuna d'errors per inversió. Llegeix 1 µg = 10⁻⁶ g com un microgram és una milionèsima de gram. La unitat petita rep l'1 i la unitat gran rep la potència de deu petita, o, de manera equivalent, 1 g = 10⁶ µg. Escriure 1 g = 10⁻⁶ µg inverteix la relació per un factor de 10¹².

• Longitud: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 polzada = 2.54 cm (exacte).
• Volum: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Massa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Temps: 1 h = 60 min = 3600 s.

Encadenar diversos factors en una sola línia

Quan cap igualtat única connecta les unitats de partida i les de destinació, multiplica una cadena de factors, cadascun dels quals simplifica la unitat introduïda pel factor anterior. Escriure tota la cadena abans de calcular et permet comprovar la simplificació d'un cop d'ull i evita arrodonir entre passos.

Exemple resolt 1. Una bomba subministra dissolvent a 1.75 mL/min. Quin és el cabal en litres per hora? Han de canviar dues unitats, una del numerador i una del denominador. Planteja 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Els mil·lilitres se simplifiquen, els minuts se simplifiquen i queda L/h. L'operació és 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Tots dos factors són exactes, de manera que la resposta conserva les tres xifres significatives de 1.75 mL/min.

Aquí va bé una comprovació ràpida de versemblança: una hora són 60 minuts, de manera que el volum per hora ha de ser més gran que per minut, uns 105 mL. Expressat en litres, és aproximadament una dècima de litre, cosa que concorda amb 0.105 L/h.

Les unitats al quadrat i al cub necessiten factors al quadrat i al cub

Una unitat derivada com cm³ vol dir cm × cm × cm. Convertir-la exigeix aplicar el factor de longitud una vegada per cada dimensió, cosa que es fa elevant tot el factor, nombre i unitat junts, a la potència corresponent. (1 m / 100 cm)³ és igual a 1 m³ / 10⁶ cm³, no a 1 m³ / 100 cm³.

Exemple resolt 2. Un armari d'emmagatzematge té un volum interior de 0.0465 m³. Expressa'l en centímetres cúbics i en litres. En centímetres cúbics: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. En litres, fes servir 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Com a comprovació creuada, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) també dona 46.5 L.

Els cabals i altres unitats compostes segueixen la mateixa lògica. Una pressió en N/m², una velocitat en m/s i una concentració en mol/L tenen cadascuna totes les unitats convertides per separat, respectant els exponents.

La densitat com a pont entre massa i volum

La densitat és la massa dividida pel volum, de manera que funciona com a factor de conversió en qualsevol de les dues orientacions: (g / mL) converteix un volum en una massa, i (mL / g) converteix una massa en un volum. A diferència dels factors dels prefixos, una densitat es mesura, depèn de la temperatura i limita les xifres significatives.

Exemple resolt 3. OpenStax Chemistry 2e (taula 1.4) dona la densitat de la glicerina com 1.26 g/cm³ a prop de la temperatura ambient. Quin volum de glicerina conté 15.0 g? Inverteix la densitat perquè els grams se simplifiquin: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, que són 11.9 mL perquè 1 cm³ = 1 mL exactament. La calculadora mostra 11.905, i totes dues dades tenen tres xifres significatives.

Ara fes el camí invers amb una cadena més llarga: quina és la massa, en quilograms, de 2.50 L de glicerina? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Un litre d'aigua té una massa propera a 1 kg, i la glicerina és una mica més densa que l'aigua, de manera que és raonable obtenir una mica més de 2.5 kg.

Escales de temperatura i altres conversions amb desplaçament

El mètode del factor d'unitats serveix per a relacions proporcionals, en què el zero d'una unitat vol dir zero a l'altra. Les escales Celsius, Fahrenheit i kelvin no comparteixen el zero, de manera que per convertir una temperatura cal una equació amb un desplaçament afegit: T(K) = T(°C) + 273.15 i T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Per exemple, 21.47 °C són 21.47 + 273.15 = 294.62 K i 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Els canvis de temperatura són diferents. Un canvi d'1 °C equival a un canvi d'1 K i a un canvi d'1.8 °F, sense desplaçament, perquè el desplaçament s'anul·la quan es resten dues temperatures. Tingues present aquesta distinció quan una equació de calor o de velocitat fa servir ΔT en lloc de T.

Errors de conversió i com detectar-los

L'anàlisi dimensional garanteix que la unitat final és correcta si cada factor és una igualtat vertadera. No garanteix que hagis triat la magnitud correcta, de manera que cal combinar la comprovació de les unitats amb una estimació de la mida.

Abans de multiplicar, decideix si el nombre ha de créixer o de disminuir. Convertir a una unitat més petita, com de litres a mil·lilitres, dona un nombre més gran; convertir a una unitat més gran en dona un de més petit. Si el resultat va en sentit contrari, un factor té els nombres invertits, que és exactament el que passa amb un prefix mal recordat, fins i tot quan les unitats semblen simplificar-se.

• Factor invertit: si la unitat que volies eliminar sobreviu, gira aquest factor.
• Prefix invertit: comprova que la unitat més petita tingui el recompte més gran, com a 1 kg = 1000 g.
• Oblidar la potència: els factors d'àrea i de volum s'han d'elevar al quadrat o al cub, incloent-hi el nombre.
• Ometre les unitats a mig càlcul: escriu les unitats en cada nombre perquè una simplificació que falta continuï sent visible.
• Tractar un factor mesurat com si fos exacte: una densitat o una massa mesurada per unitat limita les xifres significatives.
• Unitats correctes, física errònia: els grams de dissolució i els grams de solut se simplifiquen tots dos com a g, de manera que etiqueta cada magnitud amb allò que descriu.