核化学：结合能、衰变方式与半衰期

中子–质子比与稳定带

原子核包含质子和中子，二者合称核子。质子之间存在静电排斥，而只在极短距离内起作用的强核力把所有核子束缚在一起。原子核是否稳定，主要取决于质子与中子之间的平衡。

如果以中子数对质子数作图，稳定核素会落在一条狭窄的稳定带中。轻的稳定原子核中两者的数目大致相等：氮-14 各有七个。较重的原子核需要额外的中子来抵消不断增大的质子排斥。OpenStax 给出铁-56 的 n:p 比为 1.15，铅-207 为 1.52。铋（Z = 83）之后每种元素的每种同位素都具有放射性。

偏离稳定带的核素会以使自己向稳定带靠近的方式衰变。正如下面的衰变方式列表所示，这一个思想就能预测大多数衰变方式。

质量亏损与核结合能

原子核的质量小于组成它的各个独立质子和中子的质量之和。缺少的质量即质量亏损，通过 E = mc² 对应于核结合能。以原子质量单位表示，1 u 相当于 931.494 MeV（NIST 发布的 CODATA 数值）。

例题 1。求氦-4 的结合能。使用原子质量可以使电子保持平衡：两个氢-1 原子提供两个质子和两个电子。NIST 列出 ¹H 为 1.007 825 032 u，⁴He 为 4.002 603 254 u，CODATA 给出中子为 1.008 664 916 u。独立粒子：2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u。质量亏损：4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u。结合能：0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV，即每个核子 7.074 MeV。OpenStax 引用的是 28.4 MeV，因为它使用的是修约到四位小数的质量，这说明两个大数之间的微小差值对修约有多敏感。

换算成每摩尔，每个原子核 28.30 MeV 相当于 2.73 × 10¹² J/mol。燃烧一摩尔甲烷约放出 890 kJ（根据附录 G 的生成焓），所以由核子形成氦-4 时每摩尔放出的能量大约是它的三百万倍。每个核子的结合能在质量数 56 附近最大；OpenStax 计算出铁-56 的每核子结合能为 8.820 MeV。这就是为什么轻原子核的聚变和极重原子核的裂变都会放出能量。

五种衰变方式及其各自引起的变化

每种衰变方式都以固定的方式改变质量数 A 和原子序数 Z。知道核素位于稳定带的哪一侧，就能判断可能发生哪些衰变方式。

• α 衰变放出一个氦-4 原子核 ⁴₂He。A 减少 4，Z 减少 2。它常见于铋之后的重原子核。
• β 衰变在一个中子变成质子时放出一个电子 ⁰₋₁e。A 不变，Z 增加 1。它发生在位于稳定带上方的富中子核素中。
• 正电子发射在一个质子变成中子时放出一个正电子 ⁰₊₁e。A 不变，Z 减少 1。它发生在位于稳定带下方的富质子核素中。
• 电子俘获把一个内层电子拉入原子核，它在那里与一个质子结合生成一个中子。A 不变，Z 减少 1，与正电子发射的变化相同。
• γ 发射从处于激发态的原子核中放出一个高能光子 ⁰₀γ。A 和 Z 都不变。它常常伴随其他衰变方式发生。

通过 A 和 Z 守恒配平核反应方程式

当两边的质量数（上标）之和相等、原子序数（下标）之和也相等时，核反应方程式就配平了。然后由生成物的原子序数确定是哪种元素。

铀-238 发生 α 衰变：²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He。检验：238 = 234 + 4，92 = 90 + 2。碳-14 发生 β 衰变：¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e，其中 6 = 7 + (−1)。用于 PET 扫描的氟-18 发生正电子发射：¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e。钾-40 可以发生电子俘获，此时电子写作反应物：⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar。

要求出未知粒子，就做减法。钍-234 衰变为镤-234：²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X。对于 X，A = 234 − 234 = 0，Z = 90 − 91 = −1，所以 X 是 ⁰₋₁e，这是 β 衰变。这些预测与稳定带相符：碳-14 的 n:p 比为 1.33，对于这么轻的原子核来说偏高，β 衰变使它在氮-14 中变为 1.00。

一级衰变的半衰期计算

放射性衰变是一级过程：在给定的时间内，剩余原子核中衰变的比例相同，与起始量无关。半衰期 t½ 是一半原子核发生衰变所需的时间。它基本上与温度、压强和化学形态无关，这正是它可用于定年的原因。经过时间 t 后剩余的量为 N = N₀ × (½)^(t/t½)。等价地，ln(N/N₀) = −kt，衰变常数 k = 0.693/t½。

例题 2。用于治疗甲状腺疾病的碘-131 的 t½ = 8.02 天（OpenStax 表 21.2）。一份 50.0 mg 的样品经过 30.0 天后还剩多少？t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 个半衰期。N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg。快速估算可以确认这一结果：经过 3 个半衰期后应剩 6.25 mg，经过 4 个半衰期后剩 3.13 mg，所以答案必定介于二者之间。

例题 3。氟-18 的 t½ = 110. 分钟。它的放射性活度要经过多长时间才会降到起始值的 10.0%？活度与原子核数成正比，所以求解 (½)^(t/110.) = 0.100。t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min，约 6.1 小时。这么短的时间窗口就是氟-18 必须在使用地点附近制备的原因。

例题：用放射性碳为木制器物定年

活的生物体通过与环境交换碳，使碳-14 与碳-12 的比例保持稳定。生物死亡后，碳-14 以 t½ = 5730 年（OpenStax 第 21.3 节）衰变而得不到补充，所以这一比例以可预测的方式下降。

一件木制工具所含的碳-14 是活木材中的 28.0%。求解 0.280 = (½)^(t/5730 y)。取对数得 t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ 年，约 1.84 个半衰期。检验这个估计：经过一个半衰期后剩 50%，经过两个半衰期后剩 25%，而 28.0% 正好略少于两个半衰期。

OpenStax 指出，这种方法在约 30 000 年以内是准确的，最多可以对约 50 000 年给出合理的年代。超过这个范围，剩余的碳-14 太少，无法可靠地测量。真实的放射性碳年龄还要针对过去大气中碳-14 的变化进行校正。

核反应方程式和衰变计算中的错误

两项检查能发现大多数问题：在每个方程式中分别配平 A 和 Z，并在使用计算器之前估算经过了多少个半衰期。

• 把 β 衰变和正电子发射引起的变化弄反。β 衰变使 Z 增加 1；正电子发射和电子俘获使 Z 减少 1。
• 只配平质量数而没有配平原子序数，或者反过来。
• 从原子质量中减去裸质子的质量而没有考虑电子。使用氢-1 的原子质量可以避免这个问题。
• 用起始量除以半衰期的个数，而不是反复减半。
• 混用时间单位，例如半衰期以天为单位，而经过的时间以小时为单位。
• 在质量亏损计算中，先修约质量再求差值。