Газові закони: від закону Бойля–Маріотта до PV = nRT

Чотири змінні, що описують зразок газу

Зразок газу описують його тиск P, об’єм V, температура T і кількість речовини n. Тиск наводять у кількох одиницях: одна атмосфера — це 101.325 kPa, або 760 mmHg, а для всіх практичних цілей один torr дорівнює одному mmHg. Кількість речовини завжди в молях, а не в грамах.

Температура має бути в кельвінах: додайте 273.15 до значення за Цельсієм. Газові закони — це пропорційності, а пропорційність працює лише на шкалі, де нуль означає нуль. Перехід від 10 °C до 20 °C не подвоює об’єм газу, але подвоєння від 283 K до 566 K подвоює об’єм газу, що перебуває за сталого тиску.

Бойль–Маріотт, Шарль та Авогадро як зрізи одного закону

Кожен класичний закон тримає сталими дві змінні. Закон Бойля–Маріотта: за сталих n і T, P₁V₁ = P₂V₂, тож стиснення газу до половини об’єму подвоює його тиск. Закон Шарля: за сталих n і P, V₁/T₁ = V₂/T₂, тож об’єм зростає пропорційно температурі за Кельвіном. Закон Авогадро: за сталих P і T, V₁/n₁ = V₂/n₂, тож однакові об’єми газів містять однакове число молекул.

Разом вони дають об’єднаний газовий закон для сталої кількості газу, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂. Коли ви довіряєте цій формі, закресліть усе, що лишається сталим, і змінні, що лишилися, дадуть правильний окремий випадок.

Розв’язаний приклад 1. Циліндр із рухомим поршнем містить 1.75 L азоту за 18.0 °C і 0.985 atm. Газ охолоджують до −8.0 °C, знижуючи тиск на поршень до 0.712 atm. Спершу перетворіть температури: T₁ = 291.15 K і T₂ = 265.15 K. Розв’яжіть для V₂ = V₁ × (P₁/P₂) × (T₂/T₁) = 1.75 L × (0.985 atm / 0.712 atm) × (265.15 K / 291.15 K) = 2.20 L. Перевірте напрямок кожного множника: нижчий тиск розширює газ (відношення більше за 1), а охолодження стискає його (відношення менше за 1).

Розв’язування задач за допомогою PV = nRT

Додавання кількості газу до об’єднаного закону дає закон ідеального газу, PV = nRT. Кожен із попередніх законів є його окремим випадком.

Для тиску в атмосферах і об’єму в літрах користуйтеся R = 0.08206 L·atm/(mol·K); для тиску в паскалях і об’єму в кубічних метрах — R = 8.314 J/(mol·K).

За 273.15 K і 1 atm один моль ідеального газу займає 22.41 L. З 1982 року IUPAC означає стандартний тиск як 1 bar, за якого молярний об’єм за 273.15 K становить 22.71 L. З’ясуйте, якої домовленості дотримується ваш курс, перш ніж покладатися на 22.4 L на моль як на скорочення.

Розв’язаний приклад 2. Сталевий циліндр на 2.50 L містить 0.180 mol аргону за 22.0 °C. Знайдіть тиск з P = nRT/V. T = 22.0 + 273.15 = 295.15 K. P = (0.180 mol)(0.08206 L·atm/(mol·K))(295.15 K) / 2.50 L = 1.74 atm. У кілопаскалях результат — 1.74 atm × 101.325 kPa/atm = 177 kPa.

Густина газу й молярна маса за вимірюванням у колбі

Оскільки n = m/M, де m — маса, а M — молярна маса, закон ідеального газу можна переписати як PM = dRT, де d = m/V — густина газу. За сталих температури й тиску густина газу пропорційна молярній масі, тож зважування відомого об’єму газу дає його молярну масу.

Розв’язаний приклад 3. Колба на 0.500 L, заповнена невідомим газом за 35.0 °C і 0.968 atm, містить 0.967 g газу. Підстановка n = m/M у закон ідеального газу й перетворення дає M = (m × R × T)/(P × V) = (0.967 g)(0.08206 L·atm/(mol·K))(308.15 K) / [(0.968 atm)(0.500 L)] = 50.5 g/mol. За стандартними атомними масами IUPAC, округленими до двох десяткових розрядів (H 1.01, C 12.01, Cl 35.45), хлорометан, CH₃Cl, має M = 12.01 + 3(1.01) + 35.45 = 50.49 g/mol, тож дані узгоджуються з цим газом. Узгодженість не є доведенням: інший газ зі схожою молярною масою дав би той самий результат.

Парціальні тиски в сумішах та гази, зібрані над водою

У суміші газів, що не реагують, кожен газ поводиться так, ніби він сам. Закон Дальтона стверджує, що загальний тиск дорівнює сумі парціальних тисків: P_total = P_A + P_B + …. Кожен парціальний тиск дорівнює мольній частці цього газу, помноженій на загальний тиск, P_A = x_A × P_total, де x_A = n_A/n_total.

Розв’язаний приклад 4. Посудина на 4.00 L за 25.0 °C містить 0.150 mol N₂ і 0.0450 mol CO₂. Загальна кількість — 0.195 mol, тож P_total = (0.195 mol)(0.08206 L·atm/(mol·K))(298.15 K) / 4.00 L = 1.19 atm. Мольна частка N₂ дорівнює 0.150/0.195 = 0.769, що дає P(N₂) = 0.917 atm, а P(CO₂) = 0.275 atm. Вони в сумі дають 1.19 atm, як і має бути.

Газ, зібраний над водою, змішаний з водяною парою, тому спершу відніміть тиск насиченої пари води за цієї температури. Для водню, зібраного за 23 °C із загальним тиском 754 torr, тиск насиченої пари води становить 21.1 torr (OpenStax, табл. 9.2), тож P(H₂) = 754 − 21.1 = 733 torr, або 0.964 atm. У зразку на 0.312 L n = (P × V)/(R × T) = (0.964 atm)(0.312 L) / [(0.08206 L·atm/(mol·K))(296.15 K)] = 0.0124 mol H₂.

Помилки в газових законах, які слід виловити перед надсиланням

Більшість хибних відповідей у задачах про гази походить із кількох передбачуваних огріхів, для кожного з яких є своя перевірка.

Найкорисніша звичка — передбачити, чи відповідь має зрости, чи зменшитися, ще до обчислення. Якщо арифметика суперечить, шукайте перевернуте відношення.

• Цельсій у рівнянні: температура 25 замість 298.15 K дає відповідь, хибну приблизно в 12 разів. Для звичайних лабораторних умов кожне підставлене T має бути приблизно від 250 K до 400 K.
• Невідповідне R: використання 8.314 з atm та L спотворює відповідь приблизно в 100 разів.
• Грами замість молів: n у PV = nRT — це кількість речовини в молях. Якщо задача дає масу, спершу поділіть на молярну масу або скористайтеся PM = dRT.
• Забута водяна пара: газ, зібраний над водою, не сухий. Відніміть тиск насиченої пари за температури збирання.

Коли реальні гази перестають поводитися ідеально

Закон ідеального газу припускає, що молекули не займають об’єму і не притягуються одна до одної. Реальні гази наближаються до цього за низького тиску й високої температури. За високого тиску власний об’єм молекул стає помітною часткою посудини, тож газ менш стисливий, ніж передбачено. За низької температури притягання зближує молекули, і виміряний тиск падає нижче ідеального значення.

Рівняння Ван дер Ваальса додає дві поправки: доданок із a для притягання та доданок із b для розміру молекул. Гази з сильними міжмолекулярними силами мають більші значення a і більше відхиляються: OpenStax, табл. 9.3, наводить a = 5.46 L²·atm/mol² для водяної пари проти 1.39 для азоту та 0.0342 для гелію. Біля 1 atm і кімнатної температури закон ідеального газу зазвичай точний до кількох відсотків, але не довіряйте йому поблизу точки, де газ конденсується.