เคมีนิวเคลียร์: พลังงานยึดเหนี่ยว รูปแบบการสลาย และครึ่งชีวิต

อัตราส่วนนิวตรอนต่อโปรตอนและแถบเสถียรภาพ

นิวเคลียสประกอบด้วยโปรตอนและนิวตรอน ซึ่งเรียกรวมกันว่านิวคลีออน โปรตอนผลักกันด้วยแรงทางไฟฟ้า และแรงนิวเคลียร์อย่างเข้ม ซึ่งออกแรงได้เฉพาะในระยะที่สั้นมาก ยึดนิวคลีออนทั้งหมดไว้ด้วยกัน นิวเคลียสจะเสถียรหรือไม่ขึ้นกับสมดุลระหว่างโปรตอนและนิวตรอนเป็นหลัก

หากพล็อตจำนวนนิวตรอนเทียบกับจำนวนโปรตอนของนิวไคลด์ที่เสถียร จะได้จุดที่อยู่ในแถบเสถียรภาพแคบ ๆ นิวเคลียสเสถียรที่เบามีจำนวนทั้งสองอย่างใกล้เคียงกัน: ไนโตรเจน-14 มีอย่างละเจ็ด นิวเคลียสที่หนักกว่าต้องการนิวตรอนเพิ่มเพื่อชดเชยแรงผลักระหว่างโปรตอนที่เพิ่มขึ้น OpenStax ให้อัตราส่วน n:p เท่ากับ 1.15 สำหรับเหล็ก-56 และ 1.52 สำหรับตะกั่ว-207 ไอโซโทปทุกไอโซโทปของทุกธาตุที่อยู่ถัดจากบิสมัท (Z = 83) เป็นสารกัมมันตรังสี

นิวไคลด์ที่อยู่นอกแถบจะสลายในแบบที่พามันเข้าหาแถบ แนวคิดเดียวนี้ทำนายรูปแบบการสลายส่วนใหญ่ได้ ดังที่รายการรูปแบบการสลายด้านล่างแสดง

มวลพร่องและพลังงานยึดเหนี่ยวนิวเคลียส

นิวเคลียสมีมวลน้อยกว่าโปรตอนและนิวตรอนแยกกันที่ประกอบเป็นนิวเคลียสนั้น มวลที่หายไป หรือมวลพร่อง สอดคล้องกับพลังงานยึดเหนี่ยวนิวเคลียสผ่าน E = mc² ในหน่วยมวลอะตอม 1 u สมมูลกับ 931.494 MeV (ค่า CODATA จาก NIST)

ตัวอย่างการคำนวณที่ 1 หาพลังงานยึดเหนี่ยวของฮีเลียม-4 การใช้มวลอะตอมทำให้อิเล็กตรอนสมดุลกัน: อะตอมไฮโดรเจน-1 สองอะตอมให้โปรตอนสองตัวและอิเล็กตรอนสองตัว NIST ระบุ 1.007 825 032 u สำหรับ ¹H และ 4.002 603 254 u สำหรับ ⁴He และ CODATA ให้ 1.008 664 916 u สำหรับนิวตรอน อนุภาคแยกกัน: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u มวลพร่อง: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u พลังงานยึดเหนี่ยว: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV หรือ 7.074 MeV ต่อนิวคลีออน OpenStax อ้าง 28.4 MeV เพราะใช้มวลที่ปัดเป็นทศนิยมสี่ตำแหน่ง ซึ่งแสดงให้เห็นว่าผลต่างเล็กน้อยระหว่างตัวเลขขนาดใหญ่ไวต่อการปัดเศษเพียงใด

เมื่อคิดต่อโมล 28.30 MeV ต่อนิวเคลียสเท่ากับ 2.73 × 10¹² J/mol การเผาไหม้มีเทนหนึ่งโมลปล่อยพลังงานประมาณ 890 kJ (จากเอนทัลปีของการเกิดในภาคผนวก G) การเกิดฮีเลียม-4 จากนิวคลีออนจึงปล่อยพลังงานต่อโมลมากกว่าราวสามล้านเท่า พลังงานยึดเหนี่ยวต่อนิวคลีออนมีค่ามากที่สุดใกล้เลขมวล 56 OpenStax คำนวณได้ 8.820 MeV ต่อนิวคลีออนสำหรับเหล็ก-56 นี่คือเหตุผลที่ทั้งการหลอมนิวเคลียสเบาและการแบ่งแยกนิวเคลียสที่หนักมากต่างปล่อยพลังงานออกมา

รูปแบบการสลายห้าแบบและสิ่งที่แต่ละแบบเปลี่ยน

รูปแบบการสลายแต่ละแบบเปลี่ยนเลขมวล A และเลขอะตอม Z ในลักษณะที่แน่นอน การรู้ว่านิวไคลด์อยู่ด้านใดของแถบบอกได้ว่ารูปแบบใดน่าจะเกิดขึ้น

• การสลายให้แอลฟาปล่อยนิวเคลียสฮีเลียม-4 ⁴₂He A ลดลง 4 และ Z ลดลง 2 พบบ่อยในนิวเคลียสหนักที่อยู่ถัดจากบิสมัท
• การสลายให้บีตาปล่อยอิเล็กตรอน ⁰₋₁e ขณะที่นิวตรอนเปลี่ยนเป็นโปรตอน A ไม่เปลี่ยน และ Z เพิ่มขึ้น 1 เกิดในนิวไคลด์ที่มีนิวตรอนมากซึ่งอยู่เหนือแถบ
• การปล่อยโพซิตรอนปล่อยโพซิตรอน ⁰₊₁e ขณะที่โปรตอนเปลี่ยนเป็นนิวตรอน A ไม่เปลี่ยน และ Z ลดลง 1 เกิดในนิวไคลด์ที่มีโปรตอนมากซึ่งอยู่ใต้แถบ
• การจับอิเล็กตรอนดึงอิเล็กตรอนชั้นในเข้าสู่นิวเคลียส ซึ่งรวมกับโปรตอนเป็นนิวตรอน A ไม่เปลี่ยน และ Z ลดลง 1 ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงเดียวกับการปล่อยโพซิตรอน
• การปล่อยรังสีแกมมาปล่อยโฟตอนพลังงานสูง ⁰₀γ จากนิวเคลียสที่อยู่ในสถานะกระตุ้น A และ Z ไม่เปลี่ยน มักเกิดร่วมกับรูปแบบอื่น

การดุลสมการนิวเคลียร์โดยอนุรักษ์ A และ Z

สมการนิวเคลียร์ดุลแล้วเมื่อเลขมวล (ตัวยก) รวมกันได้เท่ากันทั้งสองข้าง และเลขอะตอม (ตัวห้อย) ก็เช่นกัน จากนั้นเลขอะตอมของผลิตภัณฑ์จะระบุว่าเป็นธาตุใด

ยูเรเนียม-238 สลายให้แอลฟา: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He ตรวจสอบ: 238 = 234 + 4 และ 92 = 90 + 2 คาร์บอน-14 สลายให้บีตา: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e โดย 6 = 7 + (−1) ฟลูออรีน-18 ซึ่งใช้ในการสแกน PET ปล่อยโพซิตรอน: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e โพแทสเซียม-40 จับอิเล็กตรอนได้ โดยเขียนอิเล็กตรอนเป็นสารตั้งต้น: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar

ในการหาอนุภาคที่ไม่ทราบ ให้ใช้การลบ ทอเรียม-234 สลายเป็นโพรแทกทิเนียม-234: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X สำหรับ X, A = 234 − 234 = 0 และ Z = 90 − 91 = −1 ดังนั้น X คือ ⁰₋₁e และนี่คือการสลายให้บีตา การทำนายสอดคล้องกับแถบ: คาร์บอน-14 มีอัตราส่วน n:p เท่ากับ 1.33 ซึ่งสูงสำหรับนิวเคลียสที่เบาขนาดนี้ และการสลายให้บีตาทำให้ค่านี้เป็น 1.00 ในไนโตรเจน-14

การคำนวณครึ่งชีวิตสำหรับการสลายอันดับหนึ่ง

การสลายกัมมันตรังสีเป็นกระบวนการอันดับหนึ่ง: ในเวลาที่กำหนด นิวเคลียสที่เหลืออยู่จะสลายไปในสัดส่วนเท่าเดิมไม่ว่าปริมาณเริ่มต้นจะเป็นเท่าใด ครึ่งชีวิต t½ คือเวลาที่นิวเคลียสสลายไปครึ่งหนึ่ง ซึ่งแทบไม่ขึ้นกับอุณหภูมิ ความดัน และรูปทางเคมี และนี่คือสิ่งที่ทำให้มันมีประโยชน์ในการหาอายุ ปริมาณที่เหลือหลังเวลา t คือ N = N₀ × (½)^(t/t½) หรือเขียนได้อีกแบบว่า ln(N/N₀) = −kt โดยมีค่าคงที่การสลาย k = 0.693/t½

ตัวอย่างการคำนวณที่ 2 ไอโอดีน-131 ซึ่งใช้รักษาโรคต่อมไทรอยด์ มี t½ = 8.02 วัน (ตาราง 21.2 ของ OpenStax) ตัวอย่าง 50.0 mg จะเหลือเท่าใดหลัง 30.0 วัน t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 ครึ่งชีวิต N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg การประมาณอย่างรวดเร็วยืนยันได้: หลัง 3 ครึ่งชีวิตจะเหลือ 6.25 mg และหลัง 4 ครึ่งชีวิตจะเหลือ 3.13 mg คำตอบจึงต้องอยู่ระหว่างสองค่านี้

ตัวอย่างการคำนวณที่ 3 ฟลูออรีน-18 มี t½ = 110. นาที นานเท่าใดกัมมันตภาพจึงลดลงเหลือ 10.0 เปอร์เซ็นต์ของค่าเริ่มต้น กัมมันตภาพแปรผันตรงกับจำนวนนิวเคลียส จึงแก้สมการ (½)^(t/110.) = 0.100 t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min ประมาณ 6.1 ชั่วโมง ช่วงเวลาสั้น ๆ นี้เป็นเหตุผลที่ต้องผลิตฟลูออรีน-18 ใกล้กับสถานที่ใช้งาน

ตัวอย่างการคำนวณ: การหาอายุโบราณวัตถุไม้ด้วยคาร์บอนกัมมันตรังสี

สิ่งมีชีวิตรักษาอัตราส่วนของคาร์บอน-14 ต่อคาร์บอน-12 ให้คงที่ด้วยการแลกเปลี่ยนคาร์บอนกับสิ่งแวดล้อม หลังจากตาย คาร์บอน-14 สลายด้วย t½ = 5730 ปี (หัวข้อ 21.3 ของ OpenStax) และไม่ได้รับการทดแทน อัตราส่วนจึงลดลงในแบบที่ทำนายได้

เครื่องมือไม้ชิ้นหนึ่งมีคาร์บอน-14 อยู่ 28.0 เปอร์เซ็นต์ของปริมาณที่พบในไม้ที่ยังมีชีวิต แก้สมการ 0.280 = (½)^(t/5730 y) การใส่ลอการิทึมให้ t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ ปี หรือประมาณ 1.84 ครึ่งชีวิต ตรวจค่าประมาณ: หลังหนึ่งครึ่งชีวิตเหลือ 50 เปอร์เซ็นต์ และหลังสองครึ่งชีวิตเหลือ 25 เปอร์เซ็นต์ และ 28.0 เปอร์เซ็นต์อยู่ก่อนถึงสองครึ่งชีวิตเพียงเล็กน้อย

OpenStax ระบุว่าวิธีนี้แม่นยำได้ถึงประมาณ 30 000 ปี และให้อายุที่สมเหตุสมผลได้สูงสุดประมาณ 50 000 ปี เกินกว่านั้นคาร์บอน-14 เหลือน้อยเกินกว่าจะวัดได้อย่างน่าเชื่อถือ อายุจากคาร์บอนกัมมันตรังสีจริงยังต้องแก้ไขตามการเปลี่ยนแปลงของคาร์บอน-14 ในบรรยากาศในอดีตด้วย

ข้อผิดพลาดในสมการนิวเคลียร์และการคำนวณการสลาย

การตรวจสอบสองอย่างจับปัญหาได้เกือบทั้งหมด: ดุล A และ Z แยกกันในทุกสมการ และประมาณว่าผ่านไปกี่ครึ่งชีวิตแล้วก่อนใช้เครื่องคิดเลข

• สลับการเปลี่ยนแปลงของบีตากับโพซิตรอน บีตาเพิ่ม Z ขึ้น 1 ส่วนการปล่อยโพซิตรอนและการจับอิเล็กตรอนลด Z ลง 1
• ดุลเลขมวลแต่ไม่ดุลเลขอะตอม หรือกลับกัน
• ลบมวลของโปรตอนเปล่าออกจากมวลอะตอมโดยไม่คิดถึงอิเล็กตรอน การใช้มวลอะตอมของไฮโดรเจน-1 ช่วยหลีกเลี่ยงปัญหานี้
• หารปริมาณเริ่มต้นด้วยจำนวนครึ่งชีวิต แทนที่จะลดลงครึ่งหนึ่งซ้ำ ๆ
• ปนหน่วยเวลา เช่น ครึ่งชีวิตเป็นวันกับเวลาที่ผ่านไปเป็นชั่วโมง
• ปัดเศษมวลก่อนหาผลต่างในการคำนวณมวลพร่อง