การวิเคราะห์เชิงมิติและการแปลงหน่วย

เหตุใดตัวประกอบการแปลงหน่วยจึงเป็น 1 ที่ปลอมตัวมา

ความเท่ากันอย่าง 1 L = 1000 mL บอกว่าทั้งสองข้างแทนปริมาณเดียวกัน การหารข้างหนึ่งด้วยอีกข้างจึงให้อัตราส่วนที่เท่ากับ 1 พอดี: (1000 mL / 1 L) = 1 และ (1 L / 1000 mL) = 1 การคูณปริมาณด้วย 1 ไม่เปลี่ยนปริมาณนั้น เพียงเปลี่ยนวิธีแสดงเท่านั้น นี่คือเหตุผลทั้งหมดที่รองรับวิธีนี้

เพราะความเท่ากันหนึ่งข้อให้อัตราส่วนสองแบบ คุณจึงเลือกด้านที่ตัดหน่วยที่คุณมีและเหลือหน่วยที่คุณต้องการ เพื่อแปลง 0.355 L เป็นมิลลิลิตร ให้เขียน 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL ลิตรตัดกันเพราะ L ปรากฏหนึ่งครั้งในตัวเศษและหนึ่งครั้งในตัวส่วน หากหน่วยไม่ตัดกัน แปลว่าตัวประกอบกลับหัว และคุณรู้ได้ก่อนคำนวณตัวเลขใดๆ

ความเท่ากันที่แน่นอนและที่ได้จากการวัด

ความเท่ากันบางข้อเป็นนิยามและแน่นอน ได้แก่ คำอุปสรรค SI ทุกตัว (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ และ 1 นิ้ว = 2.54 cm ตัวประกอบที่แน่นอนไม่เคยจำกัดเลขนัยสำคัญ ความเท่ากันข้ออื่นมาจากการวัด เช่น ความหนาแน่นหรือมวลของเหรียญหนึ่งเหรียญ และเลขนัยสำคัญของค่าเหล่านี้นับเหมือนค่าที่วัดได้อื่นๆ

ตัวประกอบของคำอุปสรรคเป็นแหล่งที่มาที่พบบ่อยที่สุดของความผิดพลาดแบบกลับหัว ให้อ่าน 1 µg = 10⁻⁶ g ว่าหนึ่งไมโครกรัมคือหนึ่งในล้านของกรัม หน่วยที่เล็กได้เลข 1 และหน่วยที่ใหญ่ได้เลขยกกำลังสิบที่เล็ก หรือเขียนอีกแบบได้ว่า 1 g = 10⁶ µg การเขียน 1 g = 10⁻⁶ µg ทำให้ความสัมพันธ์กลับด้านและผิดไปเป็นตัวประกอบ 10¹²

• ความยาว: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 นิ้ว = 2.54 cm (แน่นอน)
• ปริมาตร: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L
• มวล: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g
• เวลา: 1 h = 60 min = 3600 s

ต่อตัวประกอบหลายตัวเป็นลูกโซ่ในบรรทัดเดียว

เมื่อไม่มีความเท่ากันข้อใดเชื่อมหน่วยตั้งต้นกับหน่วยเป้าหมายโดยตรง ให้คูณตัวประกอบต่อกันเป็นลูกโซ่ โดยแต่ละตัวตัดหน่วยที่ตัวก่อนหน้านำเข้ามา การเขียนลูกโซ่ทั้งหมดก่อนคำนวณช่วยให้ตรวจการตัดหน่วยได้ในพริบตา และหลีกเลี่ยงการปัดเศษระหว่างขั้น

ตัวอย่างการคำนวณที่ 1 ปั๊มส่งตัวทำละลายด้วยอัตรา 1.75 mL/min อัตราการไหลเป็นลิตรต่อชั่วโมงคือเท่าใด ต้องเปลี่ยนสองหน่วย หน่วยหนึ่งในตัวเศษและอีกหน่วยหนึ่งในตัวส่วน ตั้งเป็น 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h) มิลลิลิตรตัดกัน นาทีตัดกัน และเหลือ L/h การคำนวณคือ 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h ตัวประกอบทั้งสองแน่นอน คำตอบจึงคงเลขนัยสำคัญสามหลักของ 1.75 mL/min

การตรวจความสมเหตุสมผลอย่างรวดเร็วช่วยได้ตรงนี้: หนึ่งชั่วโมงมี 60 นาที ปริมาตรต่อชั่วโมงจึงต้องมากกว่าต่อนาที ประมาณ 105 mL เมื่อแสดงเป็นลิตรจะได้ราวหนึ่งในสิบของลิตร ซึ่งตรงกับ 0.105 L/h

หน่วยกำลังสองและกำลังสามต้องใช้ตัวประกอบกำลังสองและกำลังสาม

หน่วยอนุพัทธ์อย่าง cm³ หมายถึง cm × cm × cm การแปลงหน่วยนี้ต้องใช้ตัวประกอบความยาวหนึ่งครั้งต่อหนึ่งมิติ ซึ่งทำได้โดยยกตัวประกอบทั้งตัว ทั้งตัวเลขและหน่วย ขึ้นเป็นกำลังที่ตรงกัน (1 m / 100 cm)³ เท่ากับ 1 m³ / 10⁶ cm³ ไม่ใช่ 1 m³ / 100 cm³

ตัวอย่างการคำนวณที่ 2 ตู้เก็บของมีปริมาตรภายใน 0.0465 m³ จงแสดงเป็นลูกบาศก์เซนติเมตรและเป็นลิตร ในหน่วยลูกบาศก์เซนติเมตร: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³ ในหน่วยลิตร ใช้ 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L เพื่อตรวจสอบซ้ำ 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) ก็ให้ 46.5 L เช่นกัน

อัตราและหน่วยประกอบอื่นๆ ใช้ตรรกะเดียวกัน ความดันในหน่วย N/m² ความเร็วในหน่วย m/s และความเข้มข้นในหน่วย mol/L ต่างก็ต้องแปลงทีละหน่วยโดยคำนึงถึงเลขชี้กำลัง

ความหนาแน่นเป็นสะพานระหว่างมวลกับปริมาตร

ความหนาแน่นคือมวลหารด้วยปริมาตร จึงใช้เป็นตัวประกอบการแปลงหน่วยได้ทั้งสองด้าน: (g / mL) เปลี่ยนปริมาตรเป็นมวล และ (mL / g) เปลี่ยนมวลเป็นปริมาตร ต่างจากตัวประกอบของคำอุปสรรค ความหนาแน่นเป็นค่าที่วัดได้ ขึ้นกับอุณหภูมิ และจำกัดเลขนัยสำคัญ

ตัวอย่างการคำนวณที่ 3 OpenStax Chemistry 2e (ตาราง 1.4) ระบุความหนาแน่นของกลีเซอรินเป็น 1.26 g/cm³ ที่ใกล้อุณหภูมิห้อง กลีเซอริน 15.0 g มีปริมาตรเท่าใด กลับค่าความหนาแน่นเพื่อให้กรัมตัดกัน: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³ ซึ่งเท่ากับ 11.9 mL เพราะ 1 cm³ = 1 mL พอดี เครื่องคิดเลขแสดง 11.905 และค่าตั้งต้นทั้งสองมีเลขนัยสำคัญสามหลัก

ทีนี้ลองไปอีกทางผ่านลูกโซ่ที่ยาวขึ้น: กลีเซอริน 2.50 L มีมวลกี่กิโลกรัม 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg น้ำหนึ่งลิตรมีมวลใกล้เคียง 1 kg และกลีเซอรินหนาแน่นกว่าน้ำเล็กน้อย ดังนั้นมากกว่า 2.5 kg เล็กน้อยจึงสมเหตุสมผล

สเกลอุณหภูมิและการแปลงอื่นๆ ที่มีค่าชดเชย

วิธีตัวประกอบหน่วยใช้กับความสัมพันธ์แบบสัดส่วน ซึ่งศูนย์ในหน่วยหนึ่งหมายถึงศูนย์ในอีกหน่วยหนึ่ง สเกลเซลเซียส ฟาเรนไฮต์ และเคลวินไม่มีจุดศูนย์ร่วมกัน การแปลงอุณหภูมิจึงต้องใช้สมการที่มีค่าชดเชยบวกเพิ่ม: T(K) = T(°C) + 273.15 และ T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32 ตัวอย่างเช่น 21.47 °C คือ 21.47 + 273.15 = 294.62 K และ 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F

การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิต่างออกไป การเปลี่ยนแปลง 1 °C เท่ากับการเปลี่ยนแปลง 1 K และการเปลี่ยนแปลง 1.8 °F โดยไม่มีค่าชดเชย เพราะค่าชดเชยตัดกันเมื่อลบอุณหภูมิสองค่า โปรดจำความแตกต่างนี้ไว้เมื่อสมการความร้อนหรืออัตราใช้ ΔT แทน T

ความผิดพลาดในการแปลงหน่วยและวิธีจับให้ได้

การวิเคราะห์เชิงมิติรับประกันว่าหน่วยสุดท้ายถูกต้อง หากตัวประกอบทุกตัวเป็นความเท่ากันที่แท้จริง แต่ไม่รับประกันว่าคุณเลือกปริมาณถูกต้อง จึงควรใช้การตรวจหน่วยคู่กับการประมาณขนาด

ก่อนคูณ ให้ตัดสินว่าตัวเลขควรเพิ่มหรือลด การแปลงไปเป็นหน่วยที่เล็กกว่า เช่นลิตรเป็นมิลลิลิตร ให้ตัวเลขที่มากขึ้น การแปลงไปเป็นหน่วยที่ใหญ่กว่าให้ตัวเลขที่น้อยลง หากผลลัพธ์เคลื่อนไปผิดทาง แสดงว่าตัวประกอบตัวหนึ่งมีตัวเลขกลับกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่เกิดจากการจำคำอุปสรรคผิดแม้ว่าหน่วยจะดูเหมือนตัดกันดี

• ตัวประกอบกลับหัว: หากหน่วยที่คุณต้องการกำจัดยังเหลืออยู่ ให้กลับตัวประกอบนั้น
• คำอุปสรรคกลับกัน: ตรวจว่าหน่วยที่เล็กกว่ามีจำนวนมากกว่า เช่น 1 kg = 1000 g
• ลืมเรื่องกำลัง: ตัวประกอบของพื้นที่และปริมาตรต้องยกกำลังสองหรือสาม รวมถึงตัวเลขด้วย
• ทิ้งหน่วยกลางการคำนวณ: เขียนหน่วยกำกับทุกตัวเลข เพื่อให้เห็นว่ามีการตัดหน่วยที่ขาดไป
• ถือว่าตัวประกอบที่วัดได้เป็นค่าแน่นอน: ความหนาแน่นหรือมวลต่อชิ้นที่วัดได้จำกัดเลขนัยสำคัญ
• หน่วยถูกแต่หลักการผิด: กรัมของสารละลายและกรัมของตัวถูกละลายต่างก็ตัดกันเป็น g ดังนั้นให้ระบุทุกปริมาณว่าหมายถึงอะไร