Gaswetten: van de wet van Boyle tot PV = nRT

Vier variabelen die een gasmonster beschrijven

Een gasmonster wordt beschreven door zijn druk P, volume V, temperatuur T en hoeveelheid n. Druk komt in verschillende eenheden voor: één atmosfeer is 101.325 kPa, of 760 mmHg, en voor alle praktische doeleinden is één torr gelijk aan één mmHg. De hoeveelheid is altijd in mol, niet in gram.

De temperatuur moet in kelvin zijn: tel 273.15 op bij een waarde in graden Celsius. De gaswetten zijn evenredigheden, en een evenredigheid werkt alleen op een schaal waarvan nul werkelijk nul betekent. Van 10 °C naar 20 °C verdubbelt het volume van een gas niet, maar een verdubbeling van 283 K naar 566 K verdubbelt wel het volume van een gas bij constante druk.

Boyle, Charles en Avogadro als stukjes van één wet

Elke klassieke wet houdt twee variabelen constant. Wet van Boyle: bij constante n en T geldt P₁V₁ = P₂V₂, dus een gas samendrukken tot het halve volume verdubbelt zijn druk. Wet van Charles: bij constante n en P geldt V₁/T₁ = V₂/T₂, dus het volume stijgt evenredig met de temperatuur in kelvin. Wet van Avogadro: bij constante P en T geldt V₁/n₁ = V₂/n₂, dus gelijke gasvolumes bevatten gelijke aantallen moleculen.

Samen geven ze de gecombineerde gaswet voor een vaste hoeveelheid gas, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂. Zodra je deze vorm vertrouwt, streep je weg wat constant blijft en geven de overige variabelen het juiste speciale geval.

Uitgewerkt voorbeeld 1. Een cilinder met een beweegbare zuiger bevat 1.75 L stikstof bij 18.0 °C en 0.985 atm. Het gas wordt afgekoeld tot −8.0 °C terwijl de druk op de zuiger wordt verlaagd tot 0.712 atm. Reken eerst de temperaturen om: T₁ = 291.15 K en T₂ = 265.15 K. Los op voor V₂ = V₁ × (P₁/P₂) × (T₂/T₁) = 1.75 L × (0.985 atm / 0.712 atm) × (265.15 K / 291.15 K) = 2.20 L. Controleer de richting van elke factor: lagere druk zet het gas uit (verhouding boven 1) en afkoelen laat het krimpen (verhouding onder 1).

Opgaven oplossen met PV = nRT

Als je de hoeveelheid gas aan de gecombineerde wet toevoegt, krijg je de ideale gaswet, PV = nRT. Elke eerdere wet is een speciaal geval daarvan.

Gebruik bij druk in atmosfeer en volume in liter R = 0.08206 L·atm/(mol·K); gebruik bij druk in pascal en volume in kubieke meter R = 8.314 J/(mol·K).

Bij 273.15 K en 1 atm neemt één mol van een ideaal gas 22.41 L in. Sinds 1982 definieert IUPAC de standaarddruk als 1 bar, waarbij het molaire volume bij 273.15 K 22.71 L is. Controleer welke afspraak je cursus gebruikt voordat je 22.4 L per mol als snelle vuistregel gebruikt.

Uitgewerkt voorbeeld 2. Een stalen cilinder van 2.50 L bevat 0.180 mol argon bij 22.0 °C. Vind de druk uit P = nRT/V. T = 22.0 + 273.15 = 295.15 K. P = (0.180 mol)(0.08206 L·atm/(mol·K))(295.15 K) / 2.50 L = 1.74 atm. In kilopascal is het resultaat 1.74 atm × 101.325 kPa/atm = 177 kPa.

Gasdichtheid en molaire massa uit een kolfmeting

Omdat n = m/M, waarbij m de massa is en M de molaire massa, kan de ideale gaswet worden herschreven als PM = dRT, met d = m/V de gasdichtheid. Bij vaste temperatuur en druk is de gasdichtheid evenredig met de molaire massa, dus het wegen van een bekend volume gas geeft de molaire massa.

Uitgewerkt voorbeeld 3. Een kolf van 0.500 L gevuld met een onbekend gas bij 35.0 °C en 0.968 atm bevat 0.967 g van het gas. Als je n = m/M in de ideale gaswet invult en herschikt, krijg je M = (m × R × T)/(P × V) = (0.967 g)(0.08206 L·atm/(mol·K))(308.15 K) / [(0.968 atm)(0.500 L)] = 50.5 g/mol. Met de standaard atoomgewichten van IUPAC, afgerond op twee decimalen (H 1.01, C 12.01, Cl 35.45), heeft chloormethaan, CH₃Cl, M = 12.01 + 3(1.01) + 35.45 = 50.49 g/mol, dus de gegevens zijn consistent met dat gas. Consistent is niet bewezen: een ander gas met een vergelijkbare molaire massa zou hetzelfde resultaat geven.

Partiële drukken in mengsels en gassen opgevangen boven water

In een mengsel van niet-reagerende gassen gedraagt elk gas zich alsof het alleen is. De wet van Dalton stelt dat de totale druk de som van de partiële drukken is: P_total = P_A + P_B + …. Elke partiële druk is gelijk aan de molfractie van dat gas maal de totale druk, P_A = x_A × P_total, waarbij x_A = n_A/n_total.

Uitgewerkt voorbeeld 4. Een vat van 4.00 L bij 25.0 °C bevat 0.150 mol N₂ en 0.0450 mol CO₂. De totale hoeveelheid is 0.195 mol, dus P_total = (0.195 mol)(0.08206 L·atm/(mol·K))(298.15 K) / 4.00 L = 1.19 atm. De molfractie van N₂ is 0.150/0.195 = 0.769, wat P(N₂) = 0.917 atm geeft, en P(CO₂) = 0.275 atm. Ze tellen op tot 1.19 atm, zoals het hoort.

Gas dat boven water wordt opgevangen is vermengd met waterdamp, dus trek eerst de dampspanning van water bij die temperatuur af. Voor waterstof opgevangen bij 23 °C met een totale druk van 754 torr is de dampspanning van water 21.1 torr (OpenStax Tabel 9.2), dus P(H₂) = 754 − 21.1 = 733 torr, oftewel 0.964 atm. In een monster van 0.312 L is n = (P × V)/(R × T) = (0.964 atm)(0.312 L) / [(0.08206 L·atm/(mol·K))(296.15 K)] = 0.0124 mol H₂.

Fouten met gaswetten die je opvangt voordat je inlevert

De meeste verkeerde antwoorden bij gasopgaven komen voort uit een paar voorspelbare slipjes, elk met een specifieke controle.

De nuttigste gewoonte is te voorspellen of het antwoord moet groeien of krimpen voordat je rekent. Als de rekenkunde het daarmee oneens is, zoek dan naar een omgekeerde verhouding.

• Celsius in de vergelijking: een temperatuur van 25 in plaats van 298.15 K geeft een antwoord dat een factor van ongeveer 12 afwijkt. Bij gewone laboratoriumomstandigheden moet elke T die je invult ruwweg tussen 250 K en 400 K liggen.
• Niet-passende R: 8.314 gebruiken met atm en L zet het antwoord een factor van ongeveer 100 mis.
• Gram in plaats van mol: n in PV = nRT is een hoeveelheid in mol. Als de opgave een massa geeft, deel dan eerst door de molaire massa, of gebruik PM = dRT.
• Waterdamp vergeten: een gas dat boven water is opgevangen is niet droog. Trek de dampspanning bij de opvangtemperatuur af.

Wanneer echte gassen ophouden zich ideaal te gedragen

De ideale gaswet gaat ervan uit dat moleculen geen volume innemen en elkaar niet aantrekken. Echte gassen benaderen dit bij lage druk en hoge temperatuur. Bij hoge druk wordt het eigen volume van de moleculen een merkbaar deel van de houder, dus het gas is minder samendrukbaar dan voorspeld. Bij lage temperatuur trekken aantrekkingskrachten moleculen naar elkaar toe en daalt de gemeten druk onder de ideale waarde.

De vergelijking van Van der Waals voegt twee correcties toe: een term in a voor aantrekking en een term in b voor moleculaire grootte. Gassen met sterke intermoleculaire krachten hebben grotere waarden van a en wijken meer af: OpenStax Tabel 9.3 geeft a = 5.46 L²·atm/mol² voor waterdamp tegenover 1.39 voor stikstof en 0.0342 voor helium. Bij ongeveer 1 atm en kamertemperatuur is de ideale gaswet meestal goed tot op een paar procent, maar vertrouw haar niet vlak bij het punt waar een gas condenseert.