Dimensieanalyse en eenheidsomrekeningen

Waarom een omrekeningsfactor een vermomde 1 is

Een gelijkheid zoals 1 L = 1000 mL zegt dat beide kanten dezelfde hoeveelheid beschrijven. Als je de ene kant door de andere deelt, krijg je dus een verhouding die precies 1 is: (1000 mL / 1 L) = 1 en (1 L / 1000 mL) = 1. Een grootheid met 1 vermenigvuldigen verandert de grootheid niet; het verandert alleen hoe ze wordt uitgedrukt. Dat is de volledige rechtvaardiging van de methode.

Omdat elke gelijkheid twee verhoudingen geeft, kies je de richting die de eenheid die je hebt wegstreept en de eenheid die je wilt overhoudt. Om 0.355 L om te rekenen naar milliliter schrijf je 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. De liters vallen weg, omdat L één keer in een teller en één keer in een noemer voorkomt. Als de eenheden niet wegvallen, staat de factor ondersteboven, en dat weet je al voordat je iets hebt uitgerekend.

Exacte en gemeten gelijkheden

Sommige gelijkheden zijn definities en dus exact: elk SI-voorvoegsel (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ en 1 inch = 2.54 cm. Exacte factoren beperken de significante cijfers nooit. Andere gelijkheden komen uit metingen, zoals een dichtheid of de massa van één munt, en hun significante cijfers tellen zoals bij elke andere gemeten waarde.

Voorvoegselfactoren zijn de meest voorkomende bron van fouten door ondersteboven staande factoren. Lees 1 µg = 10⁻⁶ g als: een microgram is een miljoenste van een gram. De kleine eenheid krijgt de 1 en de grote eenheid krijgt de kleine macht van tien, of gelijkwaardig 1 g = 10⁶ µg. Als je 1 g = 10⁻⁶ µg schrijft, keer je de verhouding om, met een fout van een factor 10¹².

• Lengte: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 inch = 2.54 cm (exact).
• Volume: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Massa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Tijd: 1 h = 60 min = 3600 s.

Meerdere factoren in één regel ketenen

Als geen enkele gelijkheid de begin- en doeleenheid met elkaar verbindt, vermenigvuldig je een keten van factoren, die elk de eenheid wegstrepen die de vorige invoerde. Als je de hele keten opschrijft voordat je rekent, kun je in één oogopslag controleren of alles wegvalt en vermijd je afronding tussen de stappen.

Uitgewerkt voorbeeld 1. Een pomp levert oplosmiddel met 1.75 mL/min. Wat is het debiet in liter per uur? Er moeten twee eenheden veranderen, één in de teller en één in de noemer. Stel op: 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Milliliters vallen weg, minuten vallen weg en L/h blijft over. De berekening is 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Beide factoren zijn exact, dus het antwoord behoudt de drie significante cijfers van 1.75 mL/min.

Een snelle redelijkheidscontrole helpt hier: een uur is 60 minuten, dus het volume per uur moet groter zijn dan per minuut, ongeveer 105 mL. Uitgedrukt in liters is dat ruwweg een tiende liter, wat overeenkomt met 0.105 L/h.

Kwadratische en kubieke eenheden vragen om kwadratische en kubieke factoren

Een afgeleide eenheid zoals cm³ betekent cm × cm × cm. Om die om te rekenen moet je de lengtefactor voor elke dimensie één keer toepassen, wat je doet door de hele factor, getal en eenheid samen, tot de bijbehorende macht te verheffen. (1 m / 100 cm)³ is gelijk aan 1 m³ / 10⁶ cm³, niet aan 1 m³ / 100 cm³.

Uitgewerkt voorbeeld 2. Een opbergkast heeft een binnenvolume van 0.0465 m³. Druk dit uit in kubieke centimeter en in liter. In kubieke centimeter: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. In liter gebruik je 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Ter controle geeft 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) ook 46.5 L.

Snelheden en andere samengestelde eenheden volgen dezelfde logica. Bij een druk in N/m², een snelheid in m/s en een concentratie in mol/L wordt elke eenheid afzonderlijk omgerekend, met inachtneming van de exponenten.

Dichtheid als brug tussen massa en volume

Dichtheid is massa gedeeld door volume, dus ze werkt als omrekeningsfactor in beide richtingen: (g / mL) zet een volume om in een massa en (mL / g) zet een massa om in een volume. Anders dan voorvoegselfactoren is een dichtheid gemeten, hangt ze af van de temperatuur en beperkt ze de significante cijfers.

Uitgewerkt voorbeeld 3. OpenStax Chemistry 2e (Tabel 1.4) geeft de dichtheid van glycerine als 1.26 g/cm³ bij ongeveer kamertemperatuur. Welk volume glycerine bevat 15.0 g? Keer de dichtheid om, zodat gram wegvalt: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, wat 11.9 mL is, omdat 1 cm³ precies 1 mL is. De rekenmachine toont 11.905 en beide invoerwaarden hebben drie significante cijfers.

Ga nu de andere kant op via een langere keten: wat is de massa, in kilogram, van 2.50 L glycerine? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Een liter water heeft een massa van bijna 1 kg en glycerine is iets dichter dan water, dus iets meer dan 2.5 kg is redelijk.

Temperatuurschalen en andere omrekeningen met een verschuiving

De factor-labelmethode regelt evenredige verbanden, waarbij nul in de ene eenheid nul in de andere betekent. De schalen van Celsius, Fahrenheit en kelvin delen geen nulpunt, dus voor het omrekenen van een temperatuur is een vergelijking met een extra verschuiving nodig: T(K) = T(°C) + 273.15 en T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Zo is 21.47 °C gelijk aan 21.47 + 273.15 = 294.62 K en aan 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Temperatuurveranderingen zijn anders. Een verandering van 1 °C is gelijk aan een verandering van 1 K en een verandering van 1.8 °F, zonder verschuiving, omdat de verschuiving wegvalt wanneer je twee temperaturen van elkaar aftrekt. Houd dit onderscheid in gedachten wanneer een warmte- of snelheidsvergelijking ΔT gebruikt in plaats van T.

Omrekenfouten en hoe je ze opspoort

Dimensieanalyse garandeert dat de eindeenheid klopt als elke factor een echte gelijkheid is. Ze garandeert niet dat je de juiste grootheid hebt gekozen, dus combineer eenhedencontrole met een schatting van de grootte.

Bepaal voordat je vermenigvuldigt of het getal groter of kleiner moet worden. Omrekenen naar een kleinere eenheid, zoals van liter naar milliliter, geeft een groter getal; omrekenen naar een grotere eenheid geeft een kleiner getal. Als het resultaat de verkeerde kant op gaat, zijn bij een factor de getallen omgedraaid, en precies dat doet een verkeerd onthouden voorvoegsel, ook als de eenheden schijnbaar wegvallen.

• Omgekeerde factor: als de eenheid die je wilde laten verdwijnen blijft staan, draai die factor dan om.
• Omgekeerd voorvoegsel: controleer of de kleinere eenheid het grotere aantal heeft, zoals in 1 kg = 1000 g.
• De macht vergeten: factoren voor oppervlakte en volume moeten worden gekwadrateerd of tot de derde macht verheven, inclusief het getal.
• Eenheden midden in de berekening weglaten: schrijf eenheden bij elk getal, zodat een ontbrekende wegstreping zichtbaar blijft.
• Een gemeten factor als exact behandelen: een dichtheid of een gemeten massa per stuk beperkt de significante cijfers.
• Juiste eenheden, verkeerde natuurkunde: gram oplossing en gram opgeloste stof vallen allebei weg als g, dus geef elke grootheid een label met wat ze beschrijft.