Significante cijfers bij scheikundige berekeningen

Gemeten getallen versus exacte getallen

Een gemeten waarde is onzeker, omdat elk instrument een grens heeft. Als je een buret met streepjes van 0.1 mL afleest, noteer je de zekere streepjes en schat je daartussen nog één extra cijfer. Een aflezing als 18.36 mL heeft dus vier significante cijfers: drie zekere cijfers en één geschat cijfer. Als je 18.360 mL zou noteren, beweer je een nauwkeurigheid die de buret niet kan leveren.

Exacte getallen hebben geen meetonzekerheid. Ze komen voort uit tellen (12 reageerbuizen in een rek), uit definities (1 inch is precies 2.54 cm en 1 L is precies 1000 mL) en uit coëfficiënten en indices in chemische formules en reactievergelijkingen. Beschouw exacte getallen als getallen met onbeperkt veel significante cijfers, zodat ze de nauwkeurigheid van een berekend resultaat nooit beperken.

Cijfers tellen, inclusief de lastige nullen

Cijfers die niet nul zijn, zijn altijd significant. Nullen zijn wel of niet significant, afhankelijk van of ze gemeten informatie weergeven of alleen de plaats van de decimale komma aangeven. De onderstaande regels dekken elk geval dat je in de algemene scheikunde tegenkomt.

Nullen aan het einde van een geheel getal zonder decimale komma zijn het enige echt dubbelzinnige geval. Een massa die als 1200 g is genoteerd, kan op twee, drie of vier significante cijfers bekend zijn. Wetenschappelijke notatie neemt de dubbelzinnigheid weg: 1.2 × 10³ g heeft er twee, 1.20 × 10³ g heeft er drie en 1.200 × 10³ g heeft er vier.

• Nullen tussen cijfers die niet nul zijn, zijn significant: 30.506 g heeft er vijf.
• Nullen vooraan zijn nooit significant; ze geven alleen de plaats van de decimale komma aan: 0.004070 m heeft er vier (4, 0, 7, 0).
• Nullen aan het einde rechts van een decimale komma zijn significant: 2.500 mL heeft er vier.
• Nullen aan het einde van een geheel getal zonder decimale komma zijn dubbelzinnig; gebruik wetenschappelijke notatie om je bedoeling aan te geven.

Optellen en aftrekken: lijn de decimalen uit

Bij het optellen of aftrekken van grootheden telt de absolute onzekerheid in de laatste decimaal, niet het aantal significante cijfers. Rond het resultaat af op hetzelfde aantal decimalen als de meting met de minste decimalen.

Uitgewerkt voorbeeld 1. Je voegt drie porties van een vaste stof samen die op verschillende balansen zijn gewogen: 12.6 g, 0.237 g en 105.42 g. De rekenmachine toont 118.257 g. De eerste massa is alleen tot op de tienden bekend, dus de som is ook alleen tot op de tienden bekend: 118.3 g. Merk op dat het antwoord vier significante cijfers heeft, hoewel één van de invoerwaarden er maar drie had; bij optellen beperkt het aantal cijfers het resultaat dus niet.

Aftrekken kan significante cijfers vernietigen. Stel dat een kolf met een vloeistof 58.36 g weegt op een bovenweger en dat de lege kolf 57.912 g woog op een analytische balans. Het verschil is op de rekenmachine 0.448 g, maar de eerste massa is alleen tot op de honderdsten bekend, dus de massa van de vloeistof is 0.45 g. Er blijven twee significante cijfers over van invoerwaarden met vier en vijf. Als een klein verschil tussen twee grote getallen ertoe doet, weeg dan beide op de nauwkeurigere balans.

Vermenigvuldigen en delen: tel de significante cijfers

Bij producten en quotiënten werkt de relatieve onzekerheid door. Rond het resultaat af op hetzelfde aantal significante cijfers als de invoerwaarde met de minste significante cijfers.

Uitgewerkt voorbeeld 2. Een rechthoekig blok meet 4.20 cm bij 2.15 cm bij 1.8 cm. Het volume is 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ op de rekenmachine. De hoogte heeft maar twee significante cijfers, dus het volume wordt opgegeven als 16 cm³. Alleen door de hoogte nauwkeuriger te meten, bijvoorbeeld als 1.80 cm met een schuifmaat, zou je een derde cijfer kunnen rechtvaardigen.

Logaritmen volgen een verwante regel die bij pH-berekeningen voorkomt: het aantal decimalen in de logaritme is gelijk aan het aantal significante cijfers in de oorspronkelijke waarde. Een waterstofionenconcentratie van 3.4 × 10⁻⁴ mol/L heeft twee significante cijfers, dus de pH wordt met twee decimalen opgegeven: 3.47.

Eén keer afronden, aan het einde van een berekening met meerdere stappen

Houd bij een berekening met meerdere stappen in elke tussenwaarde minstens een of twee extra cijfers aan (reservecijfers) en rond alleen het eindantwoord af. Houd bij hoeveel significante cijfers elke stap rechtvaardigt, maar gooi pas aan het einde cijfers weg. Afronden bij elke stap voegt telkens een kleine fout toe, en die fouten kunnen het laatste opgegeven cijfer doen verschuiven.

Uitgewerkt voorbeeld 3. Je lost 1.37 g natriumchloride op in water en verdunt dit in een maatkolf tot precies 50.00 mL. Met de standaard atoomgewichten van IUPAC, afgerond op twee decimalen (Na 22.99, Cl 35.45), is de molaire massa van NaCl gelijk aan 58.44 g/mol. De hoeveelheid is 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, ongerond bewaard. Het volume is 0.05000 L, dus de concentratie is 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, wat wordt afgerond op 0.469 mol/L omdat de massa drie significante cijfers heeft.

Als je de hoeveelheid eerst had afgerond op 0.0234 mol, kreeg je 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. Het verschil is klein, maar het is een echte fout die door de rekenkunde is ingebracht en niet door de metingen, en bij langere reeksen kan die fout groeien.

Wanneer je halve waarden naar boven afrondt of naar het even cijfer

Als het eerste cijfer dat je weglaat kleiner is dan 5, laat je het behouden cijfer ongemoeid; is het groter dan 5, of is het 5 gevolgd door cijfers die niet nul zijn, dan rond je naar boven af. Dus 0.064371 wordt 0.0644 en 7.2849 wordt 7.28 bij drie significante cijfers.

Het enige omstreden geval is een weggelaten cijfer dat precies 5 is, met niets erna. OpenStax Chemistry 2e rondt zo af dat het behouden cijfer even is (6.125 wordt 6.12, terwijl 6.135 wordt 6.14), wat een lichte opwaartse vertekening over veel afrondingen voorkomt. Veel docenten ronden 5 gewoon naar boven af. Controleer welke afspraak je cursus hanteert en pas die consequent toe; het raakt alleen dit ene geval.

Fouten met significante cijfers waarop je in je eigen werk moet letten

De meeste fouten met significante cijfers komen voort uit een handvol voorspelbare slipjes. Lees voordat je een antwoord omkadert de invoerwaarden nog eens door en vraag je af welke het resultaat beperkt en volgens welke regel.

Een snelle gewoonte maakt dit routine: noteer naast elk antwoord de beperkende invoerwaarde en de toegepaste regel, decimalen of aantal cijfers. Als het antwoord meer cijfers toont dan die invoerwaarde rechtvaardigt, rond het dan af; toont het er minder, zoek dan naar een nul aan het einde die de rekenmachine heeft weggelaten.

• Een exact getal het antwoord laten beperken. Een factor 1000 mL/L of een coëfficiënt 2 verlaagt het aantal significante cijfers nooit.
• De vermenigvuldigingsregel gebruiken voor een som. Sommen en verschillen worden beperkt door decimalen, niet door het aantal cijfers.
• Elke tussenwaarde afronden. Houd reservecijfers aan en rond één keer af, aan het einde.
• Betekenisvolle nullen aan het einde weglaten. Een rekenmachine toont 2.5 terwijl de meting 2.50 mL was; schrijf de nul terug.
• Nullen vooraan meetellen. 0.0081 g heeft twee significante cijfers, geen vier.
• Een geheel getal met dubbelzinnige nullen opgeven. Schrijf 3.40 × 10² g in plaats van 340 g als drie cijfers betekenis hebben.