एकात्मिक दर नियम: संहती, वेळ आणि अर्धायुष्य

दर नियमाचे वेळेनुसार संहतीत रूपांतर

दर = k[A] सारखा विभेदक दर नियम एका क्षणीच्या दराला संहतीशी जोडतो. अभिक्रिया चालते तसे [A] कमी होते, म्हणून दरही कमी होतो. दर नियमाचे वेळेनुसार संकलन केल्यास, जी कलनशास्त्रातील पायरी तुम्हाला प्रत्येक प्रश्नात पुन्हा करावी लागत नाही, कोणत्याही वेळी t ला असलेल्या [A] साठी प्रारंभिक संहती [A]₀ आणि दर स्थिरांक k यांच्या संदर्भात समीकरण मिळते.

खालील समीकरणे स्थिर तापमानावर ज्यांचा दर एकाच अभिक्रियाकारकाच्या, A च्या, संहतीवर अवलंबून असतो अशा अभिक्रियांना लागू होतात. इतर अभिक्रियाकारक इतक्या मोठ्या जादा प्रमाणात असतात की त्यांच्या संहती जेमतेम बदलतात, तेव्हाही ती लागू होतात. त्या स्थितीला छद्म-प्रथम-कोटी (किंवा छद्म-शून्य-कोटी) वर्तन म्हणतात.

शेजारी शेजारी ठेवायची तीन समीकरणे

प्रत्येक एकात्मिक दर नियम x-अक्षावर वेळ असलेल्या सरळ रेषेच्या, y = mx + b, रूपात पुनर्मांडता येतो. अर्धायुष्य, t½, म्हणजे [A] ला त्याच्या सध्याच्या मूल्याच्या अर्ध्यापर्यंत कमी होण्यासाठी लागणारा वेळ. ते प्रत्येक समीकरणात [A] = ½[A]₀ ठेवून मिळते.

फक्त प्रथम कोटीचे अर्धायुष्य संहतीपासून स्वतंत्र असते. किरणोत्सारी क्षयासह प्रथम कोटीच्या प्रक्रियांचे वर्णन इतक्या वेळा त्यांच्या अर्धायुष्यांनी का केले जाते, हे ही एकच वस्तुस्थिती स्पष्ट करते.

• शून्य कोटी: [A] = [A]₀ − kt. t विरुद्ध [A] चा आलेख −k उताराची सरळ रेषा असतो. अर्धायुष्य: t½ = [A]₀/(2k), म्हणून अभिक्रिया पुढे जाते तसे ते कमी होते.
• प्रथम कोटी: ln[A] = ln[A]₀ − kt, किंवा [A] = [A]₀e⁻ᵏᵗ. t विरुद्ध ln[A] चा आलेख −k उताराची सरळ रेषा असतो. अर्धायुष्य: t½ = ln 2 / k = 0.693/k, प्रत्येक टप्प्यावर सारखेच.
• द्वितीय कोटी: 1/[A] = 1/[A]₀ + kt. t विरुद्ध 1/[A] चा आलेख +k उताराची सरळ रेषा असतो. अर्धायुष्य: t½ = 1/(k[A]₀), म्हणून प्रत्येक अर्धायुष्य आधीच्या अर्धायुष्याच्या दुप्पट लांब असते.

सोडवलेले उदाहरण: सायक्लोब्युटेन, प्रथम कोटीचे विघटन

OpenStax विभाग 12.4 सायक्लोब्युटेनच्या विघटनासाठी, C₄H₈ → 2 C₂H₄, 500 °C वर प्रथम कोटीचा दर स्थिरांक 9.2 × 10⁻³ s⁻¹ देतो. अर्धायुष्य t½ = 0.693 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 75 s आहे, k शी जुळण्यासाठी दोन सार्थ अंकांपर्यंत.

3.00 min नंतर सायक्लोब्युटेनचा किती अंश उरतो? k s⁻¹ मध्ये असल्याने आधी वेळेचे सेकंदांत रूपांतर करा: t = 180 s. घातांक kt = (9.2 × 10⁻³ s⁻¹)(180 s) = 1.656 आहे, म्हणून [A]/[A]₀ = e⁻ᵏᵗ = e चा −1.656 घात = 0.19, आणि 19 टक्के उरते. प्रारंभिक संहती 0.0800 mol/L असेल, तर [A] = 0.0800 × 0.19 = 0.015 mol/L. अंश शोधण्यासाठी तुम्हाला प्रारंभिक संहतीची गरज पडली नाही. हे फक्त प्रथम कोटीच्या अभिक्रियांबाबत खरे आहे.

मूळ प्रमाणाच्या 5.0 टक्क्यांपर्यंत कमी व्हायला किती वेळ लागतो? t = ln([A]₀/[A]) / k अशी पुनर्मांडणी करा = ln(1/0.050) / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 2.996 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 3.3 × 10² s, म्हणजे सुमारे 5.4 min. पडताळा म्हणून, ते सुमारे 4.3 अर्धायुष्ये आहे, आणि (½)⁴·³ ≈ 0.05.

सोडवलेले उदाहरण: ब्युटाडाइनचे द्वितयीकरण, द्वितीय कोटीची अभिक्रिया

ब्युटाडाइनचे रेणू जोड्यांमध्ये संयोग पावतात, 2 C₄H₆ → C₈H₁₂, अशा अभिक्रियेत जी ब्युटाडाइनच्या संदर्भात द्वितीय कोटीची आहे. OpenStax विभाग 12.4 त्याने वर्णन केलेल्या परिस्थितीत k = 5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ उद्धृत करतो. [C₄H₆]₀ = 0.0500 mol/L पासून सुरुवात करा.

पहिले अर्धायुष्य t½ = 1/(k[A]₀) = 1 / (5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ × 0.0500 mol/L) = 347 min आहे. दुसरे अर्धायुष्य 0.0250 mol/L वर सुरू होते आणि 1/(5.76 × 10⁻² × 0.0250) = 694 min टिकते, दुप्पट लांब. संहती कमी होते तसे वाढणारे अर्धायुष्य हे द्वितीय कोटीच्या गतिकीचे लक्षण आहे.

2.00 h नंतरची संहती शोधण्यासाठी मिनिटे वापरा, म्हणजे एकके k शी जुळतील: t = 120 min. 1/[A] = 1/0.0500 + (5.76 × 10⁻²)(120) = 20.0 + 6.912 = 26.91 L/mol, म्हणून [A] = 0.0372 mol/L. उत्तर प्रारंभिक मूल्यापेक्षा कमी आणि त्याच्या अर्ध्यापेक्षा जास्त आहे, जसे पहिल्या अर्धायुष्यापेक्षा कमी वेळेला असलेच पाहिजे.

प्रथम कोटीच्या प्रश्नांमध्ये अर्धायुष्ये मोजणे

प्रथम कोटीच्या अभिक्रियेसाठी n अर्धायुष्यांनंतर उरलेला अंश (½)ⁿ असतो. एका अर्धायुष्यानंतर 50 टक्के उरते; दोननंतर 25 टक्के; तीननंतर 12.5 टक्के. लक्ष्य संहती पूर्ण संख्येइतक्या वेळा अर्धी केल्यावर येत असेल, तर लॉगरिदम वापरण्याऐवजी तुम्ही मोजू शकता.

सोडवलेले उदाहरण. OpenStax विभाग 12.4 नोंदवतो की हायड्रोजन पेरॉक्साइडचे 40 °C वर प्रथम कोटीच्या गतिकीने विघटन होते, अर्धायुष्य 2.16 × 10⁴ s, म्हणजे 6.00 h. दर स्थिरांक k = 0.693 / (2.16 × 10⁴ s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹ आहे. 0.800 mol/L वरून 0.100 mol/L पर्यंत जाणे म्हणजे तीन वेळा अर्धे होणे (0.800 → 0.400 → 0.200 → 0.100), म्हणून त्याला 3 × 6.00 h = 18.0 h लागतात.

0.800 mol/L वरून 0.150 mol/L साठी ही संख्या पूर्ण नाही, म्हणून समीकरण वापरा: t = ln(0.800/0.150) / k = 1.674 / (3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹) = 5.22 × 10⁴ s, म्हणजे 14.5 h. ते अपेक्षेप्रमाणे दोन अर्धायुष्ये (12.0 h) आणि तीन (18.0 h) यांच्या दरम्यान येते.

संहती–वेळ तक्त्यावरून कोटी निवडणे

अनेक वेळांवर मोजलेल्या संहती तुमच्याकडे असतील, तर प्रत्येक रेषीय रूप तपासा. प्रत्येक बिंदूसाठी [A], ln[A] आणि 1/[A] काढा आणि प्रत्येक समान वेळ-टप्प्यात कोणते समान प्रमाणात बदलते ते पाहा. प्रत्यक्ष, गोंगाटयुक्त माहितीसह तिन्हींचे आलेख काढा आणि सर्वात सरळ रेषा निवडा, किंवा रेषीय जुळवण्यांच्या सहसंबंधांची तुलना करा.

सोडवलेले उदाहरण. खालील माहिती सरावासाठी तयार केली आहे. t = 0, 50, 100, 150 आणि 200 s वर [A] = 0.1000, 0.0667, 0.0500, 0.0400 आणि 0.0333 mol/L. प्रत्येक 50 s टप्प्यातील [A] मधील घट 0.0333, 0.0167, 0.0100 आणि 0.0067 mol/L आहे, जी स्थिर नाही, म्हणून अभिक्रिया शून्य कोटीची नाही. ln[A] मधील बदल −0.405, −0.288, −0.223 आणि −0.183 आहेत, जे तेही स्थिर नाहीत, म्हणून ती प्रथम कोटीची नाही. 1/[A] ची मूल्ये 10.0, 15.0, 20.0, 25.0 आणि 30.0 L/mol आहेत, दर 50 s ला 5.0 L/mol ने वाढणारी. अभिक्रिया द्वितीय कोटीची आहे, आणि उतार k = 5.0 / 50 s = 0.100 L mol⁻¹ s⁻¹ देतो.

अर्धायुष्ये कोटीची पुष्टी करतात. [A] 100 s मध्ये 0.100 वरून 0.0500 mol/L पर्यंत कमी झाले, आणि द्वितीय कोटीचे सूत्र भाकीत करते की पुढील वेळी अर्धे होणे, 0.0250 mol/L पर्यंत, 1/(0.100 × 0.0500) = 200 s घेईल.

एकात्मिक दर नियमाची उत्तरे कुठे चुकतात

बहुतेक चुका समीकरणे किंवा एकके यांची सरमिसळ केल्यामुळे होतात. झटपट तपासणी अशी की तुम्ही काढलेली प्रत्येक संहती [A]₀ पेक्षा लहान आणि शून्यापेक्षा मोठी असली पाहिजे.

• ज्या अभिक्रियेची कोटी तुम्ही निश्चित केलेली नाही तिच्यासाठी प्रथम कोटीचे समीकरण वापरणे.
• वेळेच्या एककांची सरमिसळ: s⁻¹ मधील k आणि मिनिटांतील t यामुळे kt चे मूल्य 60 पटीने चुकते.
• ln([A]/[A]₀) = kt असे लिहून वजा चिन्ह गमावणे, ज्यामुळे संहती वेळेनुसार वाढते.
• समीकरणाला ln (आधार e) लागत असताना log (आधार 10) वापरणे.
• ज्याचे अर्धायुष्य संहतीवर अवलंबून असते अशा द्वितीय कोटीच्या अभिक्रियेला t½ = 0.693/k लावणे.
• 1/[A] आलेखाचा उतार −k मानणे. द्वितीय कोटीसाठी उतार +k असतो.