രസതന്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ സാർഥക അക്കങ്ങൾ

അളന്ന സംഖ്യകളും കൃത്യസംഖ്യകളും

ഓരോ ഉപകരണത്തിനും ഒരു പരിധിയുള്ളതിനാൽ അളന്ന മൂല്യത്തിൽ അനിശ്ചിതത്വമുണ്ട്. 0.1 mL അകലത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയ ബ്യൂററ്റ് വായിക്കുമ്പോൾ ഉറപ്പുള്ള അടയാളങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തി അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു അക്കം കൂടി ഏകദേശം കണക്കാക്കുന്നു; അതിനാൽ 18.36 mL എന്ന വായനയ്ക്ക് നാല് സാർഥക അക്കങ്ങളുണ്ട്: മൂന്ന് ഉറപ്പുള്ള അക്കങ്ങളും ഒരു കണക്കാക്കിയ അക്കവും. 18.360 mL എന്ന് എഴുതിയാൽ ബ്യൂററ്റിന് നൽകാനാകാത്ത കൃത്യത അവകാശപ്പെടുന്നതായി മാറും.

കൃത്യസംഖ്യകൾക്ക് അളവിലെ അനിശ്ചിതത്വമില്ല. അവ എണ്ണലിൽ നിന്നും (ഒരു റാക്കിലെ 12 ടെസ്റ്റ് ട്യൂബുകൾ), നിർവചനങ്ങളിൽ നിന്നും (1 ഇഞ്ച് കൃത്യമായി 2.54 cm ആണ്, 1 L കൃത്യമായി 1000 mL ആണ്), രാസസൂത്രവാക്യങ്ങളിലെയും സമവാക്യങ്ങളിലെയും ഗുണാങ്കങ്ങളിൽ നിന്നും സബ്സ്ക്രിപ്റ്റുകളിൽ നിന്നും വരുന്നു. കൃത്യസംഖ്യകൾക്ക് പരിധിയില്ലാത്ത സാർഥക അക്കങ്ങളുണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കുക; അതിനാൽ അവ കണക്കാക്കിയ ഫലത്തിന്റെ കൃത്യതയെ ഒരിക്കലും പരിമിതപ്പെടുത്തില്ല.

അക്കങ്ങൾ എണ്ണൽ, പ്രശ്നക്കാരായ പൂജ്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ

പൂജ്യമല്ലാത്ത അക്കങ്ങൾ എപ്പോഴും സാർഥകമാണ്. പൂജ്യങ്ങൾ അളന്ന വിവരം അറിയിക്കുന്നുണ്ടോ അതോ ദശാംശബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം മാത്രം സൂചിപ്പിക്കുന്നുണ്ടോ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് സാർഥകമോ അല്ലാത്തതോ ആകുന്നു. പൊതു രസതന്ത്രത്തിൽ നിങ്ങൾ കാണുന്ന എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളെയും താഴെയുള്ള നിയമങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ദശാംശബിന്ദുവില്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ അവസാനത്തിലെ പൂജ്യങ്ങളാണ് യഥാർഥത്തിൽ അവ്യക്തമായ ഒരേയൊരു സാഹചര്യം. 1200 g എന്ന് എഴുതിയ പിണ്ഡം രണ്ടോ മൂന്നോ നാലോ സാർഥക അക്കങ്ങളിൽ അറിയാവുന്നതാകാം. ശാസ്ത്രീയ സംഖ്യാരീതി ഈ അവ്യക്തത ഒഴിവാക്കുന്നു: 1.2 × 10³ g-ന് രണ്ടും 1.20 × 10³ g-ന് മൂന്നും 1.200 × 10³ g-ന് നാലും സാർഥക അക്കങ്ങളുണ്ട്.

• പൂജ്യമല്ലാത്ത അക്കങ്ങൾക്കിടയിലെ പൂജ്യങ്ങൾ സാർഥകമാണ്: 30.506 g-ന് അഞ്ചെണ്ണമുണ്ട്.
• മുന്നിലെ പൂജ്യങ്ങൾ ഒരിക്കലും സാർഥകമല്ല; അവ ദശാംശബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം മാത്രം കാണിക്കുന്നു: 0.004070 m-ന് നാലെണ്ണമുണ്ട് (4, 0, 7, 0).
• ദശാംശബിന്ദുവിന്റെ വലതുവശത്തെ അവസാന പൂജ്യങ്ങൾ സാർഥകമാണ്: 2.500 mL-ന് നാലെണ്ണമുണ്ട്.
• ദശാംശബിന്ദുവില്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യയിലെ അവസാന പൂജ്യങ്ങൾ അവ്യക്തമാണ്; നിങ്ങളുടെ ഉദ്ദേശ്യം വ്യക്തമാക്കാൻ ശാസ്ത്രീയ സംഖ്യാരീതി ഉപയോഗിക്കുക.

സങ്കലനവും വ്യവകലനവും: ദശാംശസ്ഥാനങ്ങൾ ഒരേ നിരയിൽ ക്രമീകരിക്കുക

അളവുകൾ കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുമ്പോൾ പ്രധാനമാകുന്ന അനിശ്ചിതത്വം സാർഥക അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണമല്ല, അവസാന ദശാംശസ്ഥാനത്തിലെ കേവല അനിശ്ചിതത്വമാണ്. ഏറ്റവും കുറച്ച് ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളുള്ള അളവിനോട് ഒത്ത ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് ഫലം റൗണ്ട് ചെയ്യുക.

ഉദാഹരണം 1. വ്യത്യസ്ത ത്രാസുകളിൽ തൂക്കിയ ഒരു ഖരപദാർഥത്തിന്റെ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങൾ നിങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു: 12.6 g, 0.237 g, 105.42 g. കാൽക്കുലേറ്റർ 118.257 g കാണിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ പിണ്ഡം ദശാംശത്തിലെ പത്തിന്റെ സ്ഥാനം വരെ മാത്രമേ അറിയൂ; അതിനാൽ തുകയും പത്തിന്റെ സ്ഥാനം വരെ മാത്രമേ അറിയൂ: 118.3 g. ഒരു ഇൻപുട്ടിന് മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ മാത്രമേ ഉണ്ടായിരുന്നുള്ളൂവെങ്കിലും ഉത്തരത്തിന് നാല് സാർഥക അക്കങ്ങളുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക; സങ്കലനത്തിൽ ഫലത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നത് അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണമല്ല.

വ്യവകലനം സാർഥക അക്കങ്ങളെ നശിപ്പിക്കാം. ഒരു ദ്രാവകമുള്ള ഫ്ലാസ്ക് ടോപ്പ്-ലോഡിങ് ത്രാസിൽ 58.36 g ഉം ശൂന്യമായ ഫ്ലാസ്ക് അനലിറ്റിക്കൽ ത്രാസിൽ 57.912 g ഉം ആയിരുന്നുവെന്ന് കരുതുക. കാൽക്കുലേറ്ററിൽ വ്യത്യാസം 0.448 g ആണ്, പക്ഷേ ആദ്യത്തെ പിണ്ഡം നൂറിന്റെ സ്ഥാനം വരെ മാത്രമേ അറിയൂ; അതിനാൽ ദ്രാവകത്തിന്റെ പിണ്ഡം 0.45 g ആണ്. നാലും അഞ്ചും അക്കങ്ങളുണ്ടായിരുന്ന ഇൻപുട്ടുകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് സാർഥക അക്കങ്ങൾ മാത്രം ശേഷിക്കുന്നു. രണ്ട് വലിയ സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ചെറിയ വ്യത്യാസം പ്രധാനമാകുമ്പോൾ രണ്ടും കൂടുതൽ കൃത്യതയുള്ള ത്രാസിൽ തൂക്കുക.

ഗുണനവും ഹരണവും: സാർഥക അക്കങ്ങൾ എണ്ണുക

ഗുണനഫലങ്ങൾക്കും ഹരണഫലങ്ങൾക്കും ആപേക്ഷിക അനിശ്ചിതത്വമാണ് തുടർന്നുപോകുന്നത്. ഏറ്റവും കുറച്ച് സാർഥക അക്കങ്ങളുള്ള ഇൻപുട്ടിന്റെ അത്രയും സാർഥക അക്കങ്ങളിലേക്ക് ഫലം റൗണ്ട് ചെയ്യുക.

ഉദാഹരണം 2. ഒരു ചതുരക്കട്ടയുടെ അളവുകൾ 4.20 cm, 2.15 cm, 1.8 cm ആണ്. വ്യാപ്തം 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = കാൽക്കുലേറ്ററിൽ 16.254 cm³ ആണ്. ഉയരത്തിന് രണ്ട് സാർഥക അക്കങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ; അതിനാൽ വ്യാപ്തം 16 cm³ എന്ന് രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരു മൂന്നാമത്തെ അക്കം ന്യായീകരിക്കാനുള്ള ഏക മാർഗം ഉയരം കൂടുതൽ സൂക്ഷ്മമായി അളക്കുക എന്നതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന് കാലിപ്പർ ഉപയോഗിച്ച് 1.80 cm എന്ന് അളക്കുക.

pH കണക്കുകളിൽ കാണുന്ന ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു നിയമം ലോഗരിതങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു: ലോഗരിതത്തിലെ ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളുടെ എണ്ണം യഥാർഥ മൂല്യത്തിലെ സാർഥക അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. 3.4 × 10⁻⁴ mol/L എന്ന ഹൈഡ്രജൻ അയോൺ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് രണ്ട് സാർഥക അക്കങ്ങളുണ്ട്; അതിനാൽ അതിന്റെ pH രണ്ട് ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളിൽ, 3.47 എന്ന് രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

ബഹുഘട്ട കണക്കുകൂട്ടലിൽ ഒരിക്കൽ മാത്രം, അവസാനം, റൗണ്ട് ചെയ്യുക

പല ഘട്ടങ്ങളുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിൽ ഓരോ ഇടക്കാല മൂല്യത്തിലും കുറഞ്ഞത് ഒന്നോ രണ്ടോ അധിക അക്കങ്ങൾ (ഗാർഡ് അക്കങ്ങൾ) നിലനിർത്തുക, അന്തിമ ഉത്തരം മാത്രം റൗണ്ട് ചെയ്യുക. ഓരോ ഘട്ടവും എത്ര സാർഥക അക്കങ്ങൾ ന്യായീകരിക്കുന്നുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, പക്ഷേ അവസാനം വരെ അക്കങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കരുത്. ഓരോ ഘട്ടത്തിലും റൗണ്ട് ചെയ്താൽ ഓരോ തവണയും ചെറിയ പിശക് കൂടിച്ചേരും; ആ പിശകുകൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്ന അവസാന അക്കത്തെ മാറ്റിയേക്കാം.

ഉദാഹരണം 3. നിങ്ങൾ 1.37 g സോഡിയം ക്ലോറൈഡ് വെള്ളത്തിൽ ലയിപ്പിച്ച് വ്യാപ്തമാപന ഫ്ലാസ്കിൽ കൃത്യമായി 50.00 mL ആക്കുന്നു. രണ്ട് ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്ത IUPAC സാധാരണ ആറ്റോമിക ഭാരങ്ങൾ (Na 22.99, Cl 35.45) ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ NaCl-ന്റെ മോളാർ പിണ്ഡം 58.44 g/mol ആണ്. അളവ് 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol ആണ്, റൗണ്ട് ചെയ്യാതെ നിലനിർത്തിയത്. വ്യാപ്തം 0.05000 L ആണ്; അതിനാൽ സാന്ദ്രത 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L ആണ്. പിണ്ഡത്തിന് മൂന്ന് സാർഥക അക്കങ്ങളുള്ളതിനാൽ ഇത് 0.469 mol/L ആയി റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നു.

അളവ് ആദ്യം 0.0234 mol ആയി റൗണ്ട് ചെയ്തിരുന്നെങ്കിൽ 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L ലഭിക്കുമായിരുന്നു. വ്യത്യാസം ചെറുതാണ്, പക്ഷേ അത് അളവുകൾ കാരണമല്ല, ഗണിതക്രിയ കാരണം വന്ന യഥാർഥ പിശകാണ്; നീണ്ട ശൃംഖലകളിൽ അത് വർധിക്കാം.

പകുതി അക്കങ്ങൾ എപ്പോൾ മുകളിലേക്കും എപ്പോൾ ഇരട്ട അക്കത്തിലേക്കും റൗണ്ട് ചെയ്യണം

ഉപേക്ഷിക്കുന്ന ആദ്യ അക്കം 5-ൽ കുറവാണെങ്കിൽ നിലനിർത്തുന്ന അക്കം മാറ്റരുത്; അത് 5-ൽ കൂടുതലോ, 5-ന് പിന്നാലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും അക്കങ്ങളുള്ളതോ ആണെങ്കിൽ മുകളിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യുക. അങ്ങനെ മൂന്ന് സാർഥക അക്കങ്ങളിൽ 0.064371 എന്നത് 0.0644 ആയും 7.2849 എന്നത് 7.28 ആയും റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നു.

ഉപേക്ഷിക്കുന്ന അക്കം കൃത്യമായി 5 ആയിരിക്കുകയും അതിന് ശേഷം ഒന്നുമില്ലാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സാഹചര്യം മാത്രമാണ് തർക്കമുള്ളത്. നിലനിർത്തുന്ന അക്കം ഇരട്ടസംഖ്യയാകുന്ന വിധത്തിലാണ് OpenStax Chemistry 2e റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നത് (6.125 എന്നത് 6.12 ആകുന്നു, 6.135 എന്നത് 6.14 ആകുന്നു); ഇത് പല റൗണ്ടിങ്ങുകളിലായി ഉണ്ടാകുന്ന നേരിയ മുകളിലേക്കുള്ള ചായ്‌വ് ഒഴിവാക്കുന്നു. പല അധ്യാപകരും 5-നെ മുകളിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങളുടെ കോഴ്സ് ഏത് രീതിയാണ് പിന്തുടരുന്നതെന്ന് പരിശോധിച്ച് അത് സ്ഥിരമായി പ്രയോഗിക്കുക; ഇത് ഈ ഒരു സാഹചര്യത്തെ മാത്രമേ ബാധിക്കുന്നുള്ളൂ.

നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം ജോലിയിൽ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട സാർഥക അക്ക പിശകുകൾ

മിക്ക സാർഥക അക്ക പിശകുകളും ഏതാനും പ്രവചിക്കാവുന്ന പിഴവുകളിൽ നിന്നാണ് വരുന്നത്. ഉത്തരം ബോക്സിൽ എഴുതുംമുമ്പ് ഇൻപുട്ടുകൾ വീണ്ടും വായിച്ച് ഏതാണ് ഫലത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നതെന്നും ഏത് നിയമപ്രകാരമാണെന്നും ചോദിക്കുക.

ഒരു ചെറിയ ശീലം ഇത് ചിട്ടയാക്കും: ഓരോ ഉത്തരത്തിനും സമീപം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന ഇൻപുട്ടും നിങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ച നിയമവും, അതായത് ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളോ അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണമോ, കുറിച്ചുവയ്ക്കുക. ആ ഇൻപുട്ട് ന്യായീകരിക്കുന്നതിനെക്കാൾ കൂടുതൽ അക്കങ്ങൾ ഉത്തരത്തിലുണ്ടെങ്കിൽ റൗണ്ട് ചെയ്യുക; കുറവാണെങ്കിൽ കാൽക്കുലേറ്റർ ഒഴിവാക്കിയ അവസാന പൂജ്യം തിരയുക.

• കൃത്യസംഖ്യ ഉത്തരത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്താൻ അനുവദിക്കൽ. 1000 mL/L എന്ന ഘടകമോ 2 എന്ന ഗുണാങ്കമോ ഒരിക്കലും സാർഥക അക്കങ്ങൾ കുറയ്ക്കില്ല.
• തുകയ്ക്ക് ഗുണനനിയമം ഉപയോഗിക്കൽ. തുകകളും വ്യത്യാസങ്ങളും പരിമിതപ്പെടുന്നത് അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണത്താലല്ല, ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളാലാണ്.
• ഓരോ ഇടക്കാല മൂല്യവും റൗണ്ട് ചെയ്യൽ. ഗാർഡ് അക്കങ്ങൾ നിലനിർത്തി അവസാനം ഒരിക്കൽ മാത്രം റൗണ്ട് ചെയ്യുക.
• അർഥവത്തായ അവസാന പൂജ്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കൽ. അളവ് 2.50 mL ആയിരുന്നപ്പോൾ കാൽക്കുലേറ്റർ 2.5 കാണിക്കുന്നു; പൂജ്യം തിരികെ എഴുതുക.
• മുന്നിലെ പൂജ്യങ്ങൾ എണ്ണൽ. 0.0081 g-ന് രണ്ട് സാർഥക അക്കങ്ങളാണ്, നാലല്ല.
• അവ്യക്തമായ പൂജ്യങ്ങളുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യ രേഖപ്പെടുത്തൽ. മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ അർഥവത്താണെങ്കിൽ 340 g എന്നതിനു പകരം 3.40 × 10² g എന്ന് എഴുതുക.