क्वांटम संख्याएँ और कक्षक: नियम, गिनती और आकृतियाँ

तरंग के रूप में इलेक्ट्रॉन: दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य

1924 में दे ब्रॉग्ली ने प्रस्ताव रखा कि हर गतिमान कण की एक तरंगदैर्ध्य λ = h/(mv) होती है, जहाँ h प्लांक स्थिरांक, m द्रव्यमान और v चाल है। रोज़मर्रा की वस्तुओं के लिए तरंगदैर्ध्य इतनी छोटी होती है कि उस पर ध्यान ही नहीं जाता। 40.0 m/s से चलती 0.145 kg की बेसबॉल की λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m है। इलेक्ट्रॉन के लिए, जिसका द्रव्यमान 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) है, तरंगदैर्ध्य परमाणु के आकार के तुलनीय होती है।

हल किया गया उदाहरण 1। 2.188 × 10⁶ m/s से चलते इलेक्ट्रॉन की λ = h/(mv) है। CODATA मानों h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s और m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg के साथ λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, यानी 0.3324 nm। यह वही चाल है जो बोर मॉडल हाइड्रोजन की निम्नतम कक्षा में इलेक्ट्रॉन को देता है, जिसकी त्रिज्या बोर त्रिज्या, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA), है। कक्षा की परिधि 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m है, इसलिए उसके चारों ओर इलेक्ट्रॉन की एक तरंगदैर्ध्य समा जाती है, और सहमति 0.02% से बेहतर है। क्वांटीकृत ऊर्जा स्तर वही हैं जो तब मिलते हैं जब किसी इलेक्ट्रॉन तरंग को स्वयं को निरस्त किए बिना अपने स्थान में समाना होता है, जैसे गिटार का तार केवल कुछ निश्चित आवृत्तियों पर ही कंपन कर सकता है।

अनिश्चितता और निश्चित कक्षाओं का अंत

हाइज़ेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत इस पर सीमा लगाता है कि स्थिति और संवेग को एक साथ कितनी अच्छी तरह जाना जा सकता है: Δx·Δp ≥ ħ/2, जहाँ ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s है।

हल किया गया उदाहरण 2। किसी इलेक्ट्रॉन को 1.0 × 10⁻¹⁰ m चौड़े क्षेत्र में सीमित करें, जो लगभग परमाणु के आकार का है। तब Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, और Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s। चाल की अनिश्चितता स्वयं चाल का एक बड़ा अंश है, इसलिए किसी ग्रह की कक्षा जैसा निश्चित पथ परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए अर्थहीन है।

क्वांटम यांत्रिकी पथ की जगह तरंग फलन, ψ, लाती है। उसका वर्ग, ψ², प्रायिकता घनत्व है: किसी छोटे क्षेत्र के आयतन से गुणा करने पर यह वहाँ इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता देता है। कक्षक एक इलेक्ट्रॉन का तरंग फलन है, और कक्षकों के परिचित चित्र ऐसी सतहें हैं जो उस प्रायिकता के अधिकांश भाग को, अक्सर 90% को, घेरती हैं।

n, l, mₗ और mₛ के अनुमत मान

हाइड्रोजन परमाणु के लिए तरंग समीकरण हल करने पर तीन क्वांटम संख्याएँ मिलती हैं, जिनमें से हर एक अपने से पहले वाली संख्या से प्रतिबंधित होती है। चौथी संख्या इलेक्ट्रॉन के चक्रण का वर्णन करती है। पूरा खेल इन्हीं प्रतिबंधों का है।

• मुख्य क्वांटम संख्या n = 1, 2, 3, …। यह कोश तय करती है और, हाइड्रोजन में, ऊर्जा भी। बड़े n का अर्थ है बड़ा, उच्च-ऊर्जा कक्षक।
• कोणीय संवेग क्वांटम संख्या l = 0, 1, …, n − 1। यह उपकोश और आकृति तय करती है: l = 0, 1, 2, 3 क्रमशः s, p, d, f हैं।
• चुंबकीय क्वांटम संख्या mₗ = −l, …, 0, …, +l, जिससे 2l + 1 मान मिलते हैं। यह अंतरिक्ष में कक्षक का अभिविन्यास तय करती है।
• चक्रण क्वांटम संख्या mₛ = +½ या −½। यह बाकी तीन पर निर्भर नहीं करती।

हल किया गया उदाहरण: क्वांटम संख्याओं के छह समुच्चयों को परखना

किसी समुच्चय (n, l, mₗ, mₛ) को परखने के लिए हर संख्या को क्रम से उससे पहले वाली संख्या के सापेक्ष जाँचें। पहले उल्लंघन पर रुक जाएँ।

(3, 3, 0, +½) अनुमत नहीं है: l अधिकतम n − 1 = 2 हो सकता है। (4, 2, −3, −½) अनुमत नहीं है: l = 2 के साथ mₗ केवल −2 से +2 तक होता है। (3, 2, 1, 0) अनुमत नहीं है: mₛ को +½ या −½ होना चाहिए, कभी 0 नहीं। (2, 1, −1, −½) अनुमत है और 2p कक्षक के एक इलेक्ट्रॉन का वर्णन करता है। (5, 0, 0, +½) अनुमत है और एक 5s इलेक्ट्रॉन का वर्णन करता है। (4, 3, −3, +½) अनुमत है और एक 4f इलेक्ट्रॉन का वर्णन करता है।

किसी अनुमत समुच्चय से कक्षक का नाम बताने के लिए n लिखें और उसके बाद l का अक्षर। mₗ का मान उपकोश के भीतर एक कक्षक चुनता है, पर इस संकेतन में उसका नाम नहीं बदलता।

किसी प्रतिबंध के तहत कक्षकों और इलेक्ट्रॉनों को गिनना

गिनती वाले प्रश्न सामान्य काम बन जाते हैं यदि आप अनुमत l मान सूचीबद्ध करें, फिर हर एक के लिए mₗ मान, और उसके बाद ही प्रतिबंध लागू करें। हर कक्षक, यानी हर अनुमत (n, l, mₗ) संयोजन, में दो इलेक्ट्रॉन आते हैं, हर चक्रण का एक।

मुख्य क्वांटम संख्या n वाले कोश में n² कक्षक और 2n² इलेक्ट्रॉन होते हैं। n = 4 के लिए l का मान 0, 1, 2 या 3 हो सकता है, जिससे 1 + 3 + 5 + 7 = 16 कक्षक और 32 इलेक्ट्रॉन मिलते हैं।

हल किया गया उदाहरण 3। किसी परमाणु में कितने इलेक्ट्रॉनों के लिए n = 3 और mₗ = +1 हो सकते हैं? n = 3 के लिए l के मान 0, 1 और 2 हैं। mₗ = +1 केवल तब संभव है जब l ≥ 1 हो, इसलिए ऐसा एक कक्षक 3p में और एक 3d में है: दो कक्षक, चार इलेक्ट्रॉन। कितने इलेक्ट्रॉनों के लिए n = 5 और mₛ = +½ हो सकते हैं? कोश 5 में 5² = 25 कक्षक हैं, हर एक में एक +½ इलेक्ट्रॉन, इसलिए 25। कितने इलेक्ट्रॉनों के लिए n = 4 और l = 2 हो सकते हैं? यह 4d उपकोश है: 5 कक्षक और 10 इलेक्ट्रॉन।

कक्षकों की आकृतियाँ और नोड गिनना

नोड वह स्थान है जहाँ ψ, और इसलिए इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता, शून्य होती है। किसी कक्षक में कुल n − 1 नोड होते हैं। इनमें से l कोणीय नोड हैं, जो नाभिक से गुज़रने वाले तल या शंकु होते हैं, और शेष n − l − 1 त्रिज्य नोड हैं, जो निश्चित दूरियों पर गोलीय कोश होते हैं। OpenStax Chemistry 2e (खंड 6.3) त्रिज्य नोड का नियम देती है।

s कक्षक (l = 0) गोलीय होते हैं और उनमें कोई कोणीय नोड नहीं होता, इसलिए 2s कक्षक में एक त्रिज्य नोड होता है और 3s कक्षक में दो। p कक्षकों (l = 1) में नाभिक के विपरीत ओर दो पालियाँ होती हैं और उनके बीच एक नोडीय तल होता है; तीनों को उस अक्ष के अनुसार pₓ, p_y और p_z नाम दिया जाता है जिसकी दिशा में वे होते हैं। d कक्षकों (l = 2) में दो कोणीय नोड होते हैं। उनमें से चार में चार पालियाँ होती हैं; पाँचवें, d_z², में z अक्ष के अनुदिश दो पालियाँ और बीच में एक वलय होता है।

हल किया गया उदाहरण 4। 3p कक्षक में 3 − 1 − 1 = 1 त्रिज्य नोड और 1 कोणीय नोड होता है। 4d कक्षक में 1 त्रिज्य नोड और 2 कोणीय नोड होते हैं, कुल 3। 3d कक्षक में कोई त्रिज्य नोड नहीं होता, और 6s कक्षक में 5 होते हैं।

जब एक ही कोश के कक्षकों की ऊर्जा भिन्न होती है

हाइड्रोजन में ऊर्जा केवल n पर निर्भर करती है, इसलिए 3s, 3p और 3d की ऊर्जा समान होती है। एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं में अन्य इलेक्ट्रॉन नाभिक को असमान रूप से परिरक्षित करते हैं। s इलेक्ट्रॉन उसी कोश के p या d इलेक्ट्रॉन की तुलना में नाभिक के अधिक निकट तक भेदन करता है, नाभिकीय आवेश का अधिक भाग अनुभव करता है और कम ऊर्जा पर होता है। परिणाम है कोश के भीतर s < p < d < f का विभाजन, जो इलेक्ट्रॉनिक विन्यास वाली मार्गदर्शिका में बताए गए भरण क्रम को तय करता है।

एक ही उपकोश के कक्षक, जैसे तीनों 2p कक्षक, किसी पृथक परमाणु में समान ऊर्जा के बने रहते हैं। उन्हें समऊर्जी कहा जाता है। अणु या क्रिस्टल में आसपास के परमाणु इस समऊर्जिता को तोड़ सकते हैं।

क्वांटम संख्याओं की गलतियाँ जिनकी जाँच करनी चाहिए

लगभग हर त्रुटि सूची बनाने का चरण छोड़ देने से होती है। संदेह हो तो गिनने से पहले हर अनुमत मान लिख लें।

• l को n के बराबर मान लेना। सबसे बड़ा अनुमत l, n − 1 है, इसलिए 1p या 2d कक्षक नहीं होता।
• mₗ मानों को −l से +l के बजाय 0 से l तक गिनना, जिससे कक्षक कम गिने जाते हैं।
• प्रश्न इलेक्ट्रॉन पूछे तब कक्षक गिनना, या इसका उलटा। हर कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन आते हैं।
• mₛ को 0 या 1 मान देना। चक्रण केवल +½ या −½ होता है।
• n − l − 1 को नोडों की कुल संख्या मानना। वह सूत्र केवल त्रिज्य नोड गिनता है; कुल संख्या n − 1 है।
• 90% वाली सीमा सतह को कठोर किनारा मानना। इलेक्ट्रॉन घनत्व धीरे-धीरे क्षीण होता है और उसकी कोई तीक्ष्ण सीमा नहीं होती।