מספרים קוונטיים ואורביטלים: כללים, ספירות וצורות

אלקטרונים כגלים: אורך הגל של דה ברויי

בשנת 1924 הציע דה ברויי שלכל חלקיק נע יש אורך גל λ = h/(mv), כאשר h הוא קבוע פלאנק, m המסה ו-v המהירות. בעצמים יומיומיים אורך הגל קטן מכדי שאפשר יהיה להבחין בו. לכדור בייסבול של 0.145 kg במהירות 40.0 m/s יש λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. לאלקטרון, שמסתו 9.109 × 10⁻³¹ kg ‏(NIST CODATA), אורך הגל דומה לגודלו של אטום.

דוגמה פתורה 1. לאלקטרון שנע במהירות 2.188 × 10⁶ m/s יש λ = h/(mv). עם ערכי CODATA ‏h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s ו-m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, ‏λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, או 0.3324 nm. זו המהירות שהמודל של בוהר מייחס לאלקטרון במסלול הנמוך ביותר של מימן, שהרדיוס שלו הוא רדיוס בוהר, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m ‏(NIST CODATA). היקף המסלול הוא 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, ולכן אורך גל אחד של האלקטרון נכנס סביבו, בהתאמה טובה מ-0.02%. רמות אנרגיה מקוונטטות הן מה שמתקבל כשגל אלקטרון חייב להתאים למרחב שלו בלי לבטל את עצמו, בדומה למיתר גיטרה שיכול לרטוט רק בתדירויות מסוימות.

אי-ודאות וסופם של המסלולים הקבועים

עקרון אי-הוודאות של הייזנברג מציב גבול לדיוק שבו אפשר לדעת יחד מיקום ותנע: Δx·Δp ≥ ħ/2, כאשר ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

דוגמה פתורה 2. הגבילו אלקטרון לאזור ברוחב 1.0 × 10⁻¹⁰ m, בערך גודלו של אטום. אז Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, ו-Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. אי-הוודאות במהירות היא חלק ניכר מהמהירות עצמה, ולכן למסלול מוגדר, כמו מסלולו של כוכב לכת, אין משמעות עבור אלקטרון באטום.

מכניקת הקוונטים מחליפה את המסלול בפונקציית גל, ψ. הריבוע שלה, ψ², הוא צפיפות ההסתברות: כשמכפילים אותה בנפח של אזור קטן, מתקבלת ההסתברות למצוא שם את האלקטרון. אורביטל הוא פונקציית גל של אלקטרון אחד, וציורי האורביטלים המוכרים הם משטחים שתוחמים את רוב ההסתברות הזו, לעתים קרובות 90%.

הערכים המותרים של n, ‏l, ‏mₗ ו-mₛ

פתרון משוואת הגל של אטום המימן מניב שלושה מספרים קוונטיים, שכל אחד מהם מוגבל על ידי זה שקודם לו. מספר רביעי מתאר את הספין של האלקטרון. ההגבלות הן כל העניין.

• המספר הקוונטי הראשי n = 1, 2, 3, …. הוא קובע את הקליפה, ובמימן גם את האנרגיה. n גדול יותר פירושו אורביטל גדול יותר ובעל אנרגיה גבוהה יותר.
• המספר הקוונטי של התנע הזוויתי l = 0, 1, …, n − 1. הוא קובע את תת-הקליפה ואת הצורה: l = 0, 1, 2, 3 הם s, ‏p, ‏d, ‏f.
• המספר הקוונטי המגנטי mₗ = −l, …, 0, …, +l, שנותן 2l + 1 ערכים. הוא קובע את כיוון האורביטל במרחב.
• מספר הספין הקוונטי mₛ = +½ או −½. הוא אינו תלוי בשלושת האחרים.

דוגמה פתורה: בדיקה של שש קבוצות של מספרים קוונטיים

כדי לבדוק קבוצה (n, l, mₗ, mₛ), בדקו כל מספר מול זה שקודם לו, לפי הסדר. עצרו בהפרה הראשונה.

‏(3, 3, 0, +½) אינה מותרת: l חייב להיות לכל היותר n − 1 = 2. ‏(4, 2, −3, −½) אינה מותרת: כאשר l = 2, ‏mₗ נע רק מ-−2 עד +2. ‏(3, 2, 1, 0) אינה מותרת: mₛ חייב להיות +½ או −½, לעולם לא 0. ‏(2, 1, −1, −½) מותרת ומתארת אלקטרון באורביטל 2p. ‏(5, 0, 0, +½) מותרת ומתארת אלקטרון 5s. ‏(4, 3, −3, +½) מותרת ומתארת אלקטרון 4f.

כדי לתת שם לאורביטל מקבוצה מותרת, כתבו את n ואחריו את האות של l. הערך של mₗ בוחר אורביטל אחד בתוך תת-הקליפה, אבל אינו משנה את שמו בסימון הזה.

ספירת אורביטלים ואלקטרונים תחת הגבלה

שאלות ספירה הופכות לשגרה אם רושמים את ערכי l המותרים, אחר כך את ערכי mₗ של כל אחד, ורק אז מחילים את ההגבלה. כל אורביטל, כלומר כל צירוף מותר של (n, l, mₗ), מכיל שני אלקטרונים, אחד בכל ספין.

קליפה עם מספר קוונטי ראשי n מכילה n² אורביטלים ו-2n² אלקטרונים. עבור n = 4, ‏l יכול להיות 0, 1, 2 או 3, ומתקבלים 1 + 3 + 5 + 7 = 16 אורביטלים ו-32 אלקטרונים.

דוגמה פתורה 3. לכמה אלקטרונים באטום יכולים להיות n = 3 ו-mₗ = +1? ערכי l עבור n = 3 הם 0, 1 ו-2. mₗ = +1 אפשרי רק כאשר l ≥ 1, ולכן יש אורביטל אחד כזה ב-3p ואחד ב-3d: שני אורביטלים, ארבעה אלקטרונים. לכמה יכולים להיות n = 5 ו-mₛ = +½? בקליפה 5 יש 5² = 25 אורביטלים, ובכל אחד אלקטרון אחד עם +½, ולכן 25. לכמה יכולים להיות n = 4 ו-l = 2? זו תת-הקליפה 4d: ‏5 אורביטלים ו-10 אלקטרונים.

צורות אורביטלים וספירת צמתים

צומת הוא מקום שבו ψ, ולכן גם ההסתברות למצוא את האלקטרון, שווה לאפס. לאורביטל יש בסך הכול n − 1 צמתים. מתוכם l הם צמתים זוויתיים, מישורים או חרוטים שעוברים דרך הגרעין, ו-n − l − 1 הנותרים הם צמתים רדיאליים, קליפות כדוריות במרחקים קבועים. OpenStax Chemistry 2e (סעיף 6.3) נותן את כלל הצמתים הרדיאליים.

אורביטלי s ‏(l = 0) הם כדוריים וללא צמתים זוויתיים, ולכן לאורביטל 2s יש צומת רדיאלי אחד ולאורביטל 3s יש שניים. לאורביטלי p ‏(l = 1) יש שתי אונות משני צדי הגרעין ומישור צמתי אחד ביניהן; שלושתם מסומנים pₓ, ‏p_y ו-p_z לפי הציר שלאורכו הם מכוונים. לאורביטלי d ‏(l = 2) יש שני צמתים זוויתיים. לארבעה מהם יש ארבע אונות; לחמישי, d_z², יש שתי אונות לאורך ציר z וטבעת סביב האמצע.

דוגמה פתורה 4. לאורביטל 3p יש 3 − 1 − 1 = 1 צומת רדיאלי וצומת זוויתי 1. לאורביטל 4d יש צומת רדיאלי 1 ו-2 צמתים זוויתיים, 3 בסך הכול. לאורביטל 3d אין צמתים רדיאליים, ולאורביטל 6s יש 5.

כשאורביטלים באותה קליפה נבדלים באנרגיה

במימן האנרגיה תלויה רק ב-n, ולכן ל-3s, ל-3p ול-3d יש אותה אנרגיה. באטומים עם יותר מאלקטרון אחד, האלקטרונים האחרים מסוכים את הגרעין באופן לא אחיד. אלקטרון s חודר קרוב יותר לגרעין מאלקטרון p או d באותה קליפה, חש יותר ממטען הגרעין ונמוך יותר באנרגיה. התוצאה היא הפיצול s < p < d < f בתוך קליפה, שקובע את סדר המילוי שמוסבר במדריך על תצורות אלקטרונים.

אורביטלים באותה תת-קליפה, כמו שלושת אורביטלי 2p, נשארים שווים באנרגיה באטום מבודד. הם נקראים מנוונים. אטומים שכנים במולקולה או בגביש יכולים להסיר את הניוון הזה.

טעויות במספרים קוונטיים שכדאי לבדוק

כמעט כל שגיאה נובעת מדילוג על שלב הרישום. כשיש ספק, רשמו כל ערך מותר לפני שאתם סופרים.

• מתן ערך ל-l השווה ל-n. ה-l המרבי המותר הוא n − 1, ולכן אין אורביטל 1p או 2d.
• ספירת ערכי mₗ מ-0 עד l במקום מ-−l עד +l, מה שגורם לספירת חסר של אורביטלים.
• ספירת אורביטלים כשהשאלה מבקשת אלקטרונים, או להפך. כל אורביטל מכיל שני אלקטרונים.
• מתן הערך 0 או 1 ל-mₛ. הספין הוא +½ או −½ בלבד.
• שימוש ב-n − l − 1 כמספר הכולל של הצמתים. הנוסחה הזו סופרת צמתים רדיאליים בלבד; הסך הכולל הוא n − 1.
• התייחסות למשטח הגבול של 90% כאל קצה חד. צפיפות האלקטרונים דועכת בהדרגה ואין לה גבול חד.