אור וספקטרים אטומיים: פוטונים, רמות אנרגיה וקווי המימן

אורך גל, תדירות ומהירות האור

אור הוא גל אלקטרומגנטי. אורך הגל שלו, λ, הוא המרחק בין שיאים, והתדירות שלו, ν, היא מספר השיאים שעוברים בנקודה בכל שנייה, בהרץ (s⁻¹). בריק כל אורכי הגל נעים באותה מהירות, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, ערך מוגדר מדויק שמפרט NIST. שלושת הגדלים קשורים ב-c = λν, ולכן אורך גל ותדירות הם ביחס הפוך: חציית אחד מכפילה את השני.

האור הנראה משתרע מכ-400 nm (סגול) עד 700 nm (אדום). לאור אולטרה-סגול יש אורכי גל קצרים יותר ותדירויות גבוהות יותר; לאינפרה-אדום יש אורכי גל ארוכים יותר ותדירויות נמוכות יותר. המירו ננומטרים למטרים לפני השימוש ב-c = λν: ‏1 nm = 10⁻⁹ m.

אנרגיית פוטון והאפקט הפוטואלקטרי

אור נבלע ונפלט במנות שנקראות פוטונים. כל פוטון נושא אנרגיה E = hν = hc/λ, כאשר h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s הוא קבוע פלאנק, גם הוא מדויק. אורך גל קצר יותר פירושו יותר אנרגיה לכל פוטון. אור בהיר יותר באותו צבע פירושו יותר פוטונים, לא פוטונים אנרגטיים יותר.

דוגמה פתורה 1. האור הצהוב של מנורת נתרן הוא בסביבות 589.0 nm. התדירות שלו היא ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. פוטון אחד נושא E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. הכפילו במספר אבוגדרו, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, כדי לקבל מול של פוטונים: 2.031 × 10⁵ J, או 203.1 kJ/mol. זה בסדר גודל של האנרגיה של קשר כימי חלש, ולכן אור נראה ואור אולטרה-סגול יכולים להניע תגובות פוטוכימיות.

האפקט הפוטואלקטרי מדגים את תמונת הפוטון באופן ישיר. אור פולט אלקטרונים ממתכת רק אם כל פוטון נושא לפחות את פונקציית העבודה של המתכת, Φ. כל אנרגיה עודפת הופכת לאנרגיה הקינטית של האלקטרון: KEmax = hν − Φ.

דוגמה פתורה 2. נניח שלמשטח מתכת יש אורך גל סף של 540 nm (ערך נתון לתרגיל הזה). פונקציית העבודה שלו היא Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. לאור סגול ב-405 nm יש פוטונים של 4.905 × 10⁻¹⁹ J, ולכן KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. בעיגול לשלוש ספרות משמעותיות זה 1.23 × 10⁻¹⁹ J, או 0.765 eV. אור אדום ב-650 nm, חזק ככל שיהיה, אינו פולט אלקטרונים, כי לכל פוטון יש רק 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

למה אטומים נותנים ספקטרי קווים ולא קשת בענן

מוצק חם, כמו חוט להט של נורה, פולט ספקטרום רציף. גז חם של אטומים בלחץ נמוך פולט רק אורכי גל מסוימים. אלקטרונים באטום יכולים לאכלס רק רמות אנרגיה מסוימות. כשאלקטרון יורד מרמה גבוהה יותר לרמה נמוכה יותר, האטום פולט פוטון יחיד שהאנרגיה שלו שווה לפער: ΔE = hν. מכיוון שקיימים רק פערים מסוימים, מופיעים רק אורכי גל מסוימים.

בליעה היא התהליך ההפוך. האירו אור לבן דרך גז קר, והאטומים יסלקו בדיוק את אורכי הגל שמתאימים לקפיצות שלהם כלפי מעלה, וישאירו קווים כהים בספקטרום שהוא רציף בכל השאר. לקפיצה בין אותן שתי רמות יש אותו אורך גל, בין שהאטום בולע ובין שהוא פולט. מערך הפערים של כל יסוד הוא ייחודי, ולכן ספקטרים מזהים יסודות בלהבות, במנורות ובכוכבים רחוקים.

רמות האנרגיה של מימן ומשוואת רידברג

באטום בעל אלקטרון אחד, רמות האנרגיה מצייתות לנוסחה פשוטה. OpenStax Chemistry 2e (סעיף 6.2) נותן Eₙ = −kZ²/n², עם k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, כאשר Z הוא מטען הגרעין ו-n = 1, 2, 3, …. האנרגיה שלילית כי האלקטרון הקשור נמוך יותר באנרגיה מאלקטרון חופשי במנוחה, שהאנרגיה שלו נקבעת כאפס. ככל ש-n גדל, הרמות מצטופפות לעבר האפס.

לפוטון שנפלט כשהאלקטרון יורד מ-nᵢ ל-n_f נמוך יותר יש אנרגיה ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). חלוקה ב-hc נותנת את משוואת רידברג למימן, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), עם R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

דוגמה פתורה 3. מצאו את אורך הגל של קו המימן n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, תוך שמירה על ספרה נוספת אחת עד הסוף. עם hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m, ‏λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, או 656.4 nm. ה-NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data מפרט את הקו האדום הזה ב-656.3 nm באוויר. ההבדל בספרה האחרונה נובע מעיגול k וממהירות האור הנמוכה מעט באוויר.

דוגמה פתורה 4. אנרגיית היינון של מימן היא האנרגיה הדרושה להעברת האלקטרון מ-n = 1 ל-n = ∞, והיא k עצמו: 2.179 × 10⁻¹⁸ J לאטום. למול, (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, או 1312 kJ/mol. הערך במאגר הנתונים של ספקטרים אטומיים של NIST, ‏13.598 eV, מומר ל-1312.0 kJ/mol.

סדרות ליימן, באלמר ופשן

קווים שמסתיימים באותה רמה תחתונה יוצרים סדרה. בכל סדרה הקווים מתקרבים זה לזה ככל ש-nᵢ גדל, ושואפים לגבול הסדרה, שבו האלקטרון מתחיל כחופשי.

• סדרת ליימן, שמסתיימת ב-n = 1: אולטרה-סגול. הקו 2 → 1 נמצא ב-121.6 nm, וגבול הסדרה בסביבות 91.2 nm.
• סדרת באלמר, שמסתיימת ב-n = 2: ארבעת קווי המימן הנראים, בכ-656, 486, 434 ו-410 nm עבור nᵢ = 3, 4, 5 ו-6. גבול הסדרה בסביבות 365 nm, בתחום האולטרה-סגול.
• סדרת פשן, שמסתיימת ב-n = 3: אינפרה-אדום. הקו 4 → 3 נמצא בסביבות 1875 nm.

טעויות בספקטרים ובדיקות מהירות

רוב השגיאות בבעיות האלה הן שגיאות יחידות או שגיאות סימן. שתי בדיקות תופסות את רובן: פוטון נראה צריך לשאת בערך 2.8 עד 5.0 × 10⁻¹⁹ J, ופער אנרגיה גדול יותר חייב לתת אורך גל קצר יותר.

• השארת אורך הגל בננומטרים בשימוש ב-c = λν או ב-E = hc/λ. המירו קודם למטרים.
• שימוש במשוואת רידברג כש-nᵢ ו-n_f מוחלפים, מה שנותן אורך גל שלילי.
• ציפייה שכל קווי המימן יהיו נראים. כל סדרת ליימן היא אולטרה-סגולה וסדרת פשן היא אינפרה-אדומה.
• המחשבה שאור בהיר יותר פולט פוטואלקטרונים מהירים יותר. העוצמה משנה את מספר האלקטרונים, לא את האנרגיה המרבית שלהם.
• החלת Eₙ = −kZ²/n² על הליום או על כל אטום עם יותר מאלקטרון אחד. היא תקפה רק למינים בעלי אלקטרון אחד כמו H, ‏He⁺ ו-Li²⁺.
• שכחת מספר אבוגדרו בהמרת אנרגיה לפוטון ל-kJ/mol, או הפעלתו פעמיים.

מה תמונת בוהר מסבירה והיכן היא נעצרת

המודל של בוהר לאטום המימן, שבו האלקטרון נע במסלולים מעגליים בעלי אנרגיה קבועה, משחזר את קווי המימן ואת התלות ב-Z² ביונים כמו He⁺. ב-He⁺ כל אנרגיית מעבר של מימן גדולה פי ארבעה, ולכן הקו 2 → 1 שלו נמצא בסביבות 30.4 nm.

המודל נכשל באטומים עם שני אלקטרונים או יותר, כי הדחייה בין אלקטרון לאלקטרון משנה את הרמות. הוא גם מצייר אלקטרונים במסלולים מוגדרים, דבר שמכניקת הקוונטים שוללת. התאוריה המודרנית שומרת את רמות האנרגיה של בוהר למימן אבל מחליפה את המסלולים באורביטלים, שמתארים היכן סביר למצוא אלקטרון.