સંકલિત વેગ નિયમો: સાંદ્રતા, સમય અને અર્ધઆયુ

વેગ નિયમને સમય સામે સાંદ્રતામાં ફેરવવો

rate = k[A] જેવો વિકલ વેગ નિયમ વેગને કોઈ એક ક્ષણની સાંદ્રતા સાથે જોડે છે. પ્રક્રિયા આગળ વધે તેમ [A] ઘટે છે, તેથી વેગ પણ ઘટે છે. વેગ નિયમનું સમય પર સંકલન કરવાથી, જે કલનશાસ્ત્રનું એવું પગલું છે જે તમારે દરેક પ્રશ્નમાં ફરી કરવાની જરૂર નથી, કોઈ પણ સમય t એ [A] માટેનું સમીકરણ મળે છે, શરૂઆતની સાંદ્રતા [A]₀ અને વેગ અચળાંક k ના સંદર્ભમાં.

નીચેનાં સમીકરણો એવી પ્રક્રિયાઓને લાગુ પડે છે જેમનો વેગ અચળ તાપમાને એક પ્રક્રિયક, A, ની સાંદ્રતા પર આધાર રાખે છે. જ્યારે અન્ય પ્રક્રિયકો એટલા મોટા વધારામાં હાજર હોય કે તેમની સાંદ્રતાઓ ભાગ્યે જ બદલાય, ત્યારે પણ તે લાગુ પડે છે. એ પરિસ્થિતિને આભાસી-પ્રથમ-ક્રમની (અથવા આભાસી-શૂન્ય-ક્રમની) વર્તણૂક કહે છે.

સાથે સાથે રાખવાનાં ત્રણ સમીકરણો

દરેક સંકલિત વેગ નિયમને x-અક્ષ પર સમય સાથે, સીધી રેખા y = mx + b ના સ્વરૂપમાં ફરી ગોઠવી શકાય છે. અર્ધઆયુ, t½, એટલે [A] ને તેના વર્તમાન મૂલ્યના અડધા સુધી ઘટતાં લાગતો સમય. તે દરેક સમીકરણમાં [A] = ½[A]₀ મૂકવાથી મળે છે.

ફક્ત પ્રથમ ક્રમનું અર્ધઆયુ સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે. આ એક જ હકીકત સમજાવે છે કે રેડિયોઍક્ટિવ ક્ષય સહિત પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન આટલી વાર તેમના અર્ધઆયુ દ્વારા કેમ થાય છે.

• શૂન્ય ક્રમ: [A] = [A]₀ − kt. t સામે [A] નો આલેખ −k ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. અર્ધઆયુ: t½ = [A]₀/(2k), તેથી પ્રક્રિયા આગળ વધે તેમ તે ટૂંકું થાય છે.
• પ્રથમ ક્રમ: ln[A] = ln[A]₀ − kt, અથવા [A] = [A]₀e⁻ᵏᵗ. t સામે ln[A] નો આલેખ −k ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. અર્ધઆયુ: t½ = ln 2 / k = 0.693/k, દરેક તબક્કે સમાન.
• દ્વિતીય ક્રમ: 1/[A] = 1/[A]₀ + kt. t સામે 1/[A] નો આલેખ +k ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. અર્ધઆયુ: t½ = 1/(k[A]₀), તેથી દરેક અર્ધઆયુ તેના આગલા અર્ધઆયુ કરતાં બમણું લાંબું હોય છે.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ: સાયક્લોબ્યુટેન, પ્રથમ ક્રમનું વિઘટન

OpenStax વિભાગ 12.4 સાયક્લોબ્યુટેનના વિઘટન, C₄H₈ → 2 C₂H₄, માટે 500 °C પર પ્રથમ ક્રમનો વેગ અચળાંક 9.2 × 10⁻³ s⁻¹ આપે છે. અર્ધઆયુ t½ = 0.693 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 75 s છે, k સાથે મેળ ખાય તે માટે બે સાર્થક અંકો સુધી.

3.00 min પછી સાયક્લોબ્યુટેનનો કેટલો અંશ બાકી રહે છે? પહેલાં સમયને સેકન્ડમાં ફેરવો, કારણ કે k એ s⁻¹ માં છે: t = 180 s. ઘાતાંક kt = (9.2 × 10⁻³ s⁻¹)(180 s) = 1.656 છે, તેથી [A]/[A]₀ = e⁻ᵏᵗ = e ની ઘાત −1.656 = 0.19, અને 19 ટકા બાકી રહે છે. જો શરૂઆતની સાંદ્રતા 0.0800 mol/L હોય, તો [A] = 0.0800 × 0.19 = 0.015 mol/L. અંશ શોધવા માટે તમને શરૂઆતની સાંદ્રતાની જરૂર ન પડી. એ ફક્ત પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાઓ માટે જ સાચું છે.

મૂળ જથ્થાના 5.0 ટકા સુધી ઘટતાં કેટલો સમય લાગે છે? ફરી ગોઠવીને t = ln([A]₀/[A]) / k = ln(1/0.050) / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 2.996 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 3.3 × 10² s, લગભગ 5.4 min. ચકાસણી તરીકે, તે લગભગ 4.3 અર્ધઆયુ છે, અને (½)⁴·³ ≈ 0.05.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ: બ્યુટાડાઇનનું ડાઇમરીકરણ, દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા

બ્યુટાડાઇનના અણુઓ જોડીમાં જોડાય છે, 2 C₄H₆ → C₈H₁₂, એવી પ્રક્રિયામાં જે બ્યુટાડાઇનમાં દ્વિતીય ક્રમની છે. OpenStax વિભાગ 12.4 તેણે વર્ણવેલી પરિસ્થિતિઓ હેઠળ k = 5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ ટાંકે છે. [C₄H₆]₀ = 0.0500 mol/L થી શરૂ કરો.

પ્રથમ અર્ધઆયુ t½ = 1/(k[A]₀) = 1 / (5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ × 0.0500 mol/L) = 347 min છે. બીજું અર્ધઆયુ 0.0250 mol/L થી શરૂ થાય છે અને 1/(5.76 × 10⁻² × 0.0250) = 694 min ચાલે છે, બમણું લાંબું. સાંદ્રતા ઘટે તેમ વધતું અર્ધઆયુ દ્વિતીય ક્રમની ગતિકીની ઓળખ છે.

2.00 h પછીની સાંદ્રતા શોધવા, મિનિટ વાપરો જેથી એકમો k સાથે મેળ ખાય: t = 120 min. 1/[A] = 1/0.0500 + (5.76 × 10⁻²)(120) = 20.0 + 6.912 = 26.91 L/mol, તેથી [A] = 0.0372 mol/L. જવાબ શરૂઆતના મૂલ્ય કરતાં ઓછો અને તેના અડધા કરતાં વધુ છે, જેવો પ્રથમ અર્ધઆયુ કરતાં ટૂંકા સમયે હોવો જ જોઈએ.

પ્રથમ ક્રમના પ્રશ્નોમાં અર્ધઆયુ ગણવાં

પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે, n અર્ધઆયુ પછી બાકી રહેતો અંશ (½)ⁿ છે. એક અર્ધઆયુ પછી 50 ટકા બાકી રહે છે; બે પછી, 25 ટકા; ત્રણ પછી, 12.5 ટકા. જ્યારે લક્ષ્ય સાંદ્રતા પૂર્ણ સંખ્યાના અડધા થવા જેટલી દૂર હોય, ત્યારે તમે લઘુગણક વાપરવાને બદલે ગણતરી કરી શકો છો.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ. OpenStax વિભાગ 12.4 નોંધે છે કે હાઇડ્રોજન પેરોક્સાઇડ 40 °C પર 2.16 × 10⁴ s, એટલે કે 6.00 h, ના અર્ધઆયુ સાથે પ્રથમ ક્રમની ગતિકીથી વિઘટન પામે છે. વેગ અચળાંક k = 0.693 / (2.16 × 10⁴ s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹ છે. 0.800 mol/L થી 0.100 mol/L સુધી જવું એ ત્રણ વાર અડધું થવું છે (0.800 → 0.400 → 0.200 → 0.100), તેથી તેમાં 3 × 6.00 h = 18.0 h લાગે છે.

0.800 mol/L થી 0.150 mol/L માટે ગણતરી પૂર્ણ સંખ્યા નથી, તેથી સમીકરણ વાપરો: t = ln(0.800/0.150) / k = 1.674 / (3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹) = 5.22 × 10⁴ s, અથવા 14.5 h. અપેક્ષા મુજબ, તે બે અર્ધઆયુ (12.0 h) અને ત્રણ (18.0 h) ની વચ્ચે આવે છે.

સાંદ્રતા–સમય કોષ્ટક પરથી ક્રમ પસંદ કરવો

જો તમારી પાસે અનેક સમયે માપેલી સાંદ્રતાઓ હોય, તો દરેક રેખીય સ્વરૂપ ચકાસો. દરેક બિંદુ માટે [A], ln[A] અને 1/[A] ગણો અને જુઓ કે દરેક સરખા સમય-પગલામાં કયું સમાન જથ્થાથી બદલાય છે. વાસ્તવિક, ઘોંઘાટવાળા ડેટા સાથે, ત્રણેયનો આલેખ દોરો અને સૌથી સીધી રેખા પસંદ કરો, અથવા રેખીય ફિટના સહસંબંધની સરખામણી કરો.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ. નીચેનો ડેટા પ્રેક્ટિસ માટે બનાવવામાં આવ્યો હતો. t = 0, 50, 100, 150 અને 200 s પર, [A] = 0.1000, 0.0667, 0.0500, 0.0400 અને 0.0333 mol/L. દરેક 50 s ના પગલામાં [A] માં ઘટાડો 0.0333, 0.0167, 0.0100 અને 0.0067 mol/L છે, જે અચળ નથી, તેથી પ્રક્રિયા શૂન્ય ક્રમની નથી. ln[A] માં ફેરફારો −0.405, −0.288, −0.223 અને −0.183 છે, જે પણ અચળ નથી, તેથી તે પ્રથમ ક્રમની નથી. 1/[A] નાં મૂલ્યો 10.0, 15.0, 20.0, 25.0 અને 30.0 L/mol છે, જે દર 50 s એ 5.0 L/mol વધે છે. પ્રક્રિયા દ્વિતીય ક્રમની છે, અને ઢાળ k = 5.0 / 50 s = 0.100 L mol⁻¹ s⁻¹ આપે છે.

અર્ધઆયુ ક્રમની પુષ્ટિ કરે છે. [A] 100 s માં 0.100 થી 0.0500 mol/L સુધી ઘટ્યું, અને દ્વિતીય ક્રમનું સૂત્ર આગાહી કરે છે કે 0.0250 mol/L સુધીના પછીના અડધા થવામાં 1/(0.100 × 0.0500) = 200 s લાગશે.

સંકલિત વેગ નિયમના જવાબો ક્યાં ખોટા પડે છે

મોટા ભાગની ભૂલો સમીકરણો કે એકમોની ભેળસેળથી થાય છે. એક ઝડપી ચકાસણી એ છે કે તમે ગણેલી દરેક સાંદ્રતા [A]₀ કરતાં નાની અને શૂન્ય કરતાં મોટી હોવી જ જોઈએ.

• જે પ્રક્રિયાનો ક્રમ તમે નક્કી કર્યો નથી તેના માટે પ્રથમ ક્રમનું સમીકરણ વાપરવું.
• સમયના એકમોની ભેળસેળ: s⁻¹ માં k ને મિનિટમાં t સાથે વાપરવાથી kt નું મૂલ્ય 60 ના અવયવથી ખોટું આવે છે.
• ln([A]/[A]₀) = kt લખવું અને ઓછાનું ચિહ્ન ગુમાવવું, જેનાથી સાંદ્રતા સમય સાથે વધતી દેખાય છે.
• જ્યાં સમીકરણને ln (આધાર e) ની જરૂર હોય ત્યાં log (આધાર 10) વાપરવો.
• દ્વિતીય ક્રમની પ્રક્રિયા પર t½ = 0.693/k લાગુ કરવું, જેનું અર્ધઆયુ સાંદ્રતા પર આધાર રાખે છે.
• 1/[A] આલેખનો ઢાળ −k ગણવો. દ્વિતીય ક્રમ માટે ઢાળ +k છે.