Análise dimensional e conversións de unidades

Por que un factor de conversión é un 1 disfrazado

Unha igualdade como 1 L = 1000 mL di que os dous lados describen a mesma cantidade. Dividir un lado polo outro dá, polo tanto, unha razón igual a exactamente 1: (1000 mL / 1 L) = 1 e (1 L / 1000 mL) = 1. Multiplicar unha cantidade por 1 non a modifica; só cambia como se expresa. Esa é toda a xustificación do método.

Como cada igualdade dá dúas razóns, escolles a orientación que cancela a unidade que tes e deixa a que queres. Para converter 0.355 L en mililitros, escribe 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Os litros cancélanse porque L aparece unha vez no numerador e outra no denominador. Se as unidades non se cancelan, o factor está do revés, e sábelo antes de facer calquera operación.

Igualdades exactas e medidas

Algunhas igualdades son definicións e son exactas: todos os prefixos do SI (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ e 1 polgada = 2.54 cm. Os factores exactos nunca limitan as cifras significativas. Outras igualdades proceden de medidas, como unha densidade ou a masa dunha moeda, e as súas cifras significativas contan coma as de calquera outro valor medido.

Os factores con prefixos son a fonte máis común de erros por inversión. Le 1 µg = 10⁻⁶ g como un micrograma é a millonésima parte dun gramo. A unidade pequena leva o 1 e a unidade grande leva a potencia de dez pequena, ou, de forma equivalente, 1 g = 10⁶ µg. Escribir 1 g = 10⁻⁶ µg inverte a relación nun factor de 10¹².

• Lonxitude: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 polgada = 2.54 cm (exacto).
• Volume: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Masa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Tempo: 1 h = 60 min = 3600 s.

Encadear varios factores nunha soa liña

Cando ningunha igualdade única conecta as unidades inicial e final, multiplica unha cadea de factores, cada un cancelando a unidade introducida polo anterior. Escribir toda a cadea antes de calcular permite comprobar as cancelacións dunha ollada e evita redondear entre pasos.

Exemplo resolto 1. Unha bomba subministra disolvente a 1.75 mL/min. Cal é o caudal en litros por hora? Hai que cambiar dúas unidades, unha no numerador e outra no denominador. Plantexa 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Os mililitros cancélanse, os minutos cancélanse e queda L/h. A aritmética é 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Ambos os factores son exactos, así que a resposta conserva as tres cifras significativas de 1.75 mL/min.

Unha comprobación rápida de razoabilidade axuda aquí: unha hora ten 60 minutos, así que o volume por hora ten que ser maior que por minuto, uns 105 mL. Expresado en litros, é aproximadamente unha décima de litro, o que coincide con 0.105 L/h.

As unidades ao cadrado e ao cubo precisan factores ao cadrado e ao cubo

Unha unidade derivada como cm³ significa cm × cm × cm. Converterla esixe aplicar o factor de lonxitude unha vez por cada dimensión, o que se fai elevando todo o factor, número e unidade xuntos, á potencia correspondente. (1 m / 100 cm)³ é igual a 1 m³ / 10⁶ cm³, non a 1 m³ / 100 cm³.

Exemplo resolto 2. Un armario de almacenaxe ten un volume interior de 0.0465 m³. Exprésao en centímetros cúbicos e en litros. En centímetros cúbicos: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. En litros, usa 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Como comprobación cruzada, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) tamén dá 46.5 L.

As velocidades de cambio e outras unidades compostas seguen a mesma lóxica. Unha presión en N/m², unha velocidade en m/s e unha concentración en mol/L teñen cada unha todas as súas unidades convertidas por separado, respectando os expoñentes.

A densidade como ponte entre masa e volume

A densidade é a masa dividida polo volume, así que funciona como factor de conversión en calquera das dúas orientacións: (g / mL) converte un volume en masa, e (mL / g) converte unha masa en volume. A diferenza dos factores con prefixos, a densidade é medida, depende da temperatura e limita as cifras significativas.

Exemplo resolto 3. OpenStax Chemistry 2e (Táboa 1.4) indica que a densidade da glicerina é 1.26 g/cm³ preto da temperatura ambiente. Que volume de glicerina contén 15.0 g? Inverte a densidade para que os gramos se cancelen: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, que son 11.9 mL porque 1 cm³ = 1 mL exactamente. A calculadora mostra 11.905, e os dous datos teñen tres cifras significativas.

Agora fai o camiño inverso cunha cadea máis longa: cal é a masa, en quilogramos, de 2.50 L de glicerina? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Un litro de auga ten unha masa próxima a 1 kg, e a glicerina é algo máis densa ca a auga, polo que algo máis de 2.5 kg é razoable.

Escalas de temperatura e outras conversións con desfasamento

O método do factor de conversión manexa relacións proporcionais, nas que o cero nunha unidade significa cero na outra. As escalas Celsius, Fahrenheit e kelvin non comparten o cero, así que converter unha temperatura require unha ecuación cun desfasamento engadido: T(K) = T(°C) + 273.15, e T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Por exemplo, 21.47 °C son 21.47 + 273.15 = 294.62 K e 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Os cambios de temperatura son diferentes. Un cambio de 1 °C equivale a un cambio de 1 K e a un cambio de 1.8 °F, sen desfasamento, porque este se cancela ao restar dúas temperaturas. Ten presente a distinción cando unha ecuación de calor ou de velocidade use ΔT en vez de T.

Erros de conversión e como detectalos

A análise dimensional garante que a unidade final é correcta se cada factor é unha igualdade verdadeira. Non garante que escollas a magnitude correcta, así que combina a comprobación das unidades cunha estimación do tamaño.

Antes de multiplicar, decide se o número debe aumentar ou diminuír. Converter a unha unidade máis pequena, como de litros a mililitros, dá un número maior; converter a unha unidade máis grande dá un número menor. Se o resultado vai na dirección equivocada, un factor ten os números trocados, que é exactamente o que fai un prefixo mal lembrado aínda que as unidades parezan cancelarse.

• Factor invertido: se a unidade que querías eliminar sobrevive, dálle a volta a ese factor.
• Prefixo trocado: comproba que a unidade máis pequena teña a cantidade maior, como en 1 kg = 1000 g.
• Esquecer a potencia: os factores de área e de volume deben elevarse ao cadrado ou ao cubo, incluído o número.
• Omitir as unidades a medio cálculo: escribe as unidades en cada número para que unha cancelación que falta siga á vista.
• Tratar como exacto un factor medido: unha densidade ou unha masa medida por elemento limita as cifras significativas.
• Unidades correctas, física errada: os gramos de disolución e os gramos de soluto cancélanse ambos como g, así que etiqueta cada cantidade con aquilo que describe.