Dimensioanalyysi ja yksikkömuunnokset

Miksi muuntokerroin on valepukuinen ykkönen

Yhtäsuuruus, kuten 1 L = 1000 mL, kertoo, että molemmat puolet kuvaavat samaa määrää. Kun toinen puoli jaetaan toisella, saadaan suhde, joka on täsmälleen 1: (1000 mL / 1 L) = 1 ja (1 L / 1000 mL) = 1. Suuren kertominen ykkösellä ei muuta suuretta, vaan muuttaa vain sen ilmaisutapaa. Tämä on koko menetelmän perustelu.

Koska jokaisesta yhtäsuuruudesta saadaan kaksi suhdetta, valitset suunnan, joka supistaa nykyisen yksikön ja jättää halutun yksikön. Muuntaaksesi 0.355 L millilitroiksi kirjoita 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Litrat supistuvat, koska L esiintyy kerran osoittajassa ja kerran nimittäjässä. Jos yksiköt eivät supistu, kerroin on väärin päin, ja tiedät sen jo ennen laskemista.

Tarkat ja mitatut yhtäsuuruudet

Jotkin yhtäsuuruudet ovat määritelmiä ja siksi tarkkoja: kaikki SI-etuliitteet (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ ja 1 tuuma = 2.54 cm. Tarkat kertoimet eivät koskaan rajoita merkitseviä numeroita. Toiset yhtäsuuruudet perustuvat mittaukseen, kuten tiheys tai yhden kolikon massa, ja niiden merkitsevät numerot lasketaan kuten minkä tahansa muun mitatun arvon.

Etuliitekertoimet ovat yleisin syy väärin päin asetettuihin kertoimiin. Lue 1 µg = 10⁻⁶ g näin: yksi mikrogramma on gramman miljoonasosa. Pieni yksikkö saa luvun 1 ja suuri yksikkö pienen kymmenpotenssin, tai vastaavasti 1 g = 10⁶ µg. Merkintä 1 g = 10⁻⁶ µg kääntäisi suhteen väärin päin kertoimella 10¹².

• Pituus: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 tuuma = 2.54 cm (tarkka).
• Tilavuus: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Massa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Aika: 1 h = 60 min = 3600 s.

Useiden kertoimien ketjuttaminen yhdelle riville

Kun mikään yksittäinen yhtäsuuruus ei yhdistä lähtö- ja kohdeyksikköä, kerro keskenään ketju kertoimia, joista kukin supistaa edellisen tuoman yksikön. Kun kirjoitat koko ketjun ennen laskemista, näet supistumisen yhdellä silmäyksellä ja vältät välivaiheiden pyöristämisen.

Läpikäyty esimerkki 1. Pumppu syöttää liuotinta nopeudella 1.75 mL/min. Mikä on virtausnopeus litroina tunnissa? Kahden yksikön täytyy muuttua, toisen osoittajassa ja toisen nimittäjässä. Aseta 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Millilitrat supistuvat, minuutit supistuvat ja jäljelle jää L/h. Lasku on 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Molemmat kertoimet ovat tarkkoja, joten vastaukseen jää luvun 1.75 mL/min kolme merkitsevää numeroa.

Nopea järkevyystarkistus auttaa tässä: tunti on 60 minuuttia, joten tunnissa kertyvän tilavuuden täytyy olla suurempi kuin minuutissa, noin 105 mL. Litroina se on noin kymmenesosa litrasta, mikä vastaa arvoa 0.105 L/h.

Neliö- ja kuutioyksiköt tarvitsevat neliöidyt ja kuutioidut kertoimet

Johdettu yksikkö, kuten cm³, tarkoittaa cm × cm × cm. Sen muuntaminen vaatii pituuskertoimen käyttämistä kerran jokaista ulottuvuutta kohti, mikä tehdään korottamalla koko kerroin, luku ja yksikkö yhdessä, vastaavaan potenssiin. (1 m / 100 cm)³ on 1 m³ / 10⁶ cm³, ei 1 m³ / 100 cm³.

Läpikäyty esimerkki 2. Säilytyskaapin sisätilavuus on 0.0465 m³. Ilmaise se kuutiosenttimetreinä ja litroina. Kuutiosenttimetreinä: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. Litroina käytetään yhtälöä 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Tarkistuksena myös 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) antaa 46.5 L.

Nopeudet ja muut yhdistetyt yksiköt noudattavat samaa logiikkaa. Paine yksikössä N/m², nopeus yksikössä m/s ja pitoisuus yksikössä mol/L muunnetaan niin, että jokainen yksikkö muunnetaan erikseen ja eksponentit otetaan huomioon.

Tiheys siltana massan ja tilavuuden välillä

Tiheys on massa jaettuna tilavuudella, joten se toimii muuntokertoimena kumpaan suuntaan tahansa: (g / mL) muuttaa tilavuuden massaksi ja (mL / g) muuttaa massan tilavuudeksi. Toisin kuin etuliitekertoimet, tiheys on mitattu, riippuu lämpötilasta ja rajoittaa merkitseviä numeroita.

Läpikäyty esimerkki 3. OpenStax Chemistry 2e (taulukko 1.4) ilmoittaa glyserolin tiheydeksi 1.26 g/cm³ huoneenlämpötilan tienoilla. Minkä tilavuuden 15.0 g glyserolia vie? Käännä tiheys niin, että grammat supistuvat: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, joka on 11.9 mL, koska 1 cm³ = 1 mL tarkasti. Laskin näyttää 11.905, ja molemmissa lähtöarvoissa on kolme merkitsevää numeroa.

Kulje nyt toiseen suuntaan pidemmän ketjun kautta: mikä on 2.50 L glyserolia massa kilogrammoina? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Litran vettä massa on lähes 1 kg, ja glyseroli on hieman vettä tiheämpää, joten hieman yli 2.5 kg on järkevä tulos.

Lämpötila-asteikot ja muut muunnokset, joissa on siirtymä

Kerroinmerkintämenetelmä käsittelee verrannollisia riippuvuuksia, joissa nolla yhdessä yksikössä tarkoittaa nollaa toisessa. Celsius-, Fahrenheit- ja kelvin-asteikoilla ei ole yhteistä nollapistettä, joten lämpötilan muuntaminen vaatii yhtälön, jossa on lisätty siirtymä: T(K) = T(°C) + 273.15 ja T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Esimerkiksi 21.47 °C on 21.47 + 273.15 = 294.62 K ja 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Lämpötilan muutokset ovat erilaisia. Muutos 1 °C vastaa muutosta 1 K ja muutosta 1.8 °F ilman siirtymää, koska siirtymä supistuu, kun kaksi lämpötilaa vähennetään toisistaan. Pidä ero mielessä, kun lämpö- tai nopeusyhtälössä käytetään suuretta ΔT eikä suuretta T.

Muunnosvirheet ja miten ne huomataan

Dimensioanalyysi takaa, että lopullinen yksikkö on oikea, jos jokainen kerroin on todellinen yhtäsuuruus. Se ei takaa, että valitsit oikean suureen, joten yhdistä yksiköiden tarkistus suuruusluokan arvioon.

Päätä ennen kertomista, pitäisikö luvun kasvaa vai pienentyä. Pienempään yksikköön, esimerkiksi litroista millilitroihin, muuntaminen antaa suuremman luvun; suurempaan yksikköön muuntaminen antaa pienemmän. Jos tulos liikkuu väärään suuntaan, kertoimen luvut ovat väärin päin, mikä juuri tapahtuu väärin muistetulla etuliitteellä, vaikka yksiköt näyttäisivät supistuvan.

• Käänteinen kerroin: jos yksikkö, jonka halusit poistaa, jää jäljelle, käännä kyseinen kerroin.
• Väärin päin oleva etuliite: tarkista, että pienemmällä yksiköllä on suurempi lukumäärä, kuten yhtälössä 1 kg = 1000 g.
• Potenssin unohtaminen: pinta-ala- ja tilavuuskertoimet täytyy korottaa neliöön tai kuutioon, luku mukaan lukien.
• Yksiköiden pudottaminen kesken laskun: kirjoita yksiköt jokaisen luvun perään, jotta puuttuva supistuminen pysyy näkyvissä.
• Mitatun kertoimen käsittely tarkkana: tiheys tai mitattu massa kappaletta kohti rajoittaa merkitseviä numeroita.
• Oikeat yksiköt, väärä fysiikka: liuoksen grammat ja liuenneen aineen grammat supistuvat molemmat yksikkönä g, joten merkitse kunkin suureen perään, mitä se kuvaa.