شیمی هسته‌ای: انرژی بستگی، حالت‌های واپاشی و نیمه‌عمرها

نسبت نوترون به پروتون و نوار پایداری

هسته پروتون‌ها و نوترون‌ها را در بر دارد که روی هم نوکلئون نامیده می‌شوند. پروتون‌ها یکدیگر را از نظر الکتریکی می‌رانند و نیروی هسته‌ای قوی، که فقط در فاصله‌های بسیار کوتاه عمل می‌کند، همه نوکلئون‌ها را کنار هم نگه می‌دارد. پایدار بودن یک هسته عمدتاً به توازن میان پروتون‌ها و نوترون‌ها بستگی دارد.

اگر شمار نوترون‌ها را بر حسب شمار پروتون‌ها برای نوکلیدهای پایدار رسم کنید، در نوار باریکی به نام نوار پایداری قرار می‌گیرند. هسته‌های پایدار سبک تقریباً شمار برابری از هر کدام دارند: نیتروژن-14 از هر کدام هفت تا دارد. هسته‌های سنگین‌تر به نوترون‌های اضافی نیاز دارند تا دافعه فزاینده پروتون‌ها را جبران کنند. OpenStax نسبت n:p را برای آهن-56 برابر 1.15 و برای سرب-207 برابر 1.52 می‌دهد. همه ایزوتوپ‌های همه عنصرهای پس از بیسموت (Z = 83) پرتوزا هستند.

نوکلیدی که بیرون از نوار است طوری واپاشی می‌کند که به سوی نوار حرکت کند. همین یک ایده بیشتر حالت‌های واپاشی را پیش‌بینی می‌کند، همان‌طور که فهرست حالت‌های واپاشی در ادامه نشان می‌دهد.

کاستی جرم و انرژی بستگی هسته‌ای

جرم هسته از جرم پروتون‌ها و نوترون‌های جداگانه‌ای که از آن‌ها ساخته شده کمتر است. جرم گم‌شده، یعنی کاستی جرم، از راه E = mc² با انرژی بستگی هسته‌ای متناظر است. بر حسب یکای جرم اتمی، 1 u هم‌ارز 931.494 MeV است (مقدار CODATA از NIST).

مثال حل‌شده 1. انرژی بستگی هلیم-4 را بیابید. استفاده از جرم‌های اتمی الکترون‌ها را موازنه نگه می‌دارد: دو اتم هیدروژن-1 دو پروتون و دو الکترون را تأمین می‌کنند. NIST جرم ¹H را 1.007 825 032 u و جرم ⁴He را 4.002 603 254 u فهرست می‌کند و CODATA جرم نوترون را 1.008 664 916 u می‌دهد. ذره‌های جداگانه: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. کاستی جرم: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. انرژی بستگی: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV، یا 7.074 MeV به ازای هر نوکلئون. OpenStax مقدار 28.4 MeV را نقل می‌کند چون از جرم‌های گردشده تا چهار رقم اعشار استفاده می‌کند، که نشان می‌دهد تفاوت کوچک میان دو عدد بزرگ چقدر به گردکردن حساس است.

اگر به یک مول مقیاس داده شود، 28.30 MeV به ازای هر هسته برابر 2.73 × 10¹² J/mol است. سوزاندن یک مول متان حدود 890 kJ آزاد می‌کند (از آنتالپی‌های تشکیل پیوست G)، پس تشکیل هلیم-4 از نوکلئون‌هایش به ازای هر مول تقریباً سه میلیون برابر انرژی آزاد می‌کند. انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون نزدیک عدد جرمی 56 بیشینه است؛ OpenStax برای آهن-56 مقدار 8.820 MeV به ازای هر نوکلئون را حساب می‌کند. به همین دلیل هم گداخت هسته‌های سبک و هم شکافت هسته‌های بسیار سنگین انرژی آزاد می‌کنند.

پنج حالت واپاشی و آنچه هر کدام تغییر می‌دهد

هر حالت واپاشی عدد جرمی A و عدد اتمی Z را به شکلی ثابت تغییر می‌دهد. دانستن اینکه نوکلید در کدام سوی نوار قرار دارد به شما می‌گوید کدام حالت‌ها محتمل‌اند.

• واپاشی آلفا یک هسته هلیم-4، ⁴₂He، گسیل می‌کند. A به اندازه 4 و Z به اندازه 2 کاهش می‌یابد. برای هسته‌های سنگین پس از بیسموت رایج است.
• واپاشی بتا یک الکترون، ⁰₋₁e، گسیل می‌کند، در حالی که یک نوترون به پروتون تبدیل می‌شود. A تغییر نمی‌کند و Z به اندازه 1 افزایش می‌یابد. در نوکلیدهای غنی از نوترون بالای نوار رخ می‌دهد.
• گسیل پوزیترون یک پوزیترون، ⁰₊₁e، گسیل می‌کند، در حالی که یک پروتون به نوترون تبدیل می‌شود. A تغییر نمی‌کند و Z به اندازه 1 کاهش می‌یابد. در نوکلیدهای غنی از پروتون زیر نوار رخ می‌دهد.
• گیراندازی الکترون یک الکترون درونی را به درون هسته می‌کشد، جایی که با یک پروتون ترکیب می‌شود و نوترون می‌سازد. A تغییر نمی‌کند و Z به اندازه 1 کاهش می‌یابد، همان تغییری که گسیل پوزیترون پدید می‌آورد.
• گسیل گاما یک فوتون پرانرژی، ⁰₀γ، را از هسته‌ای در حالت برانگیخته آزاد می‌کند. A و Z تغییر نمی‌کنند. اغلب همراه حالت‌های دیگر رخ می‌دهد.

موازنه معادله هسته‌ای با پایستگی A و Z

معادله هسته‌ای وقتی موازنه است که مجموع عددهای جرمی (بالانویس‌ها) در دو طرف برابر باشد و مجموع عددهای اتمی (زیرنویس‌ها) نیز. آنگاه عدد اتمی فراورده عنصر را مشخص می‌کند.

اورانیم-238 واپاشی آلفا انجام می‌دهد: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. بررسی: 238 = 234 + 4 و 92 = 90 + 2. کربن-14 واپاشی بتا انجام می‌دهد: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e، که در آن 6 = 7 + (−1). فلوئور-18، که در تصویربرداری PET به کار می‌رود، گسیل پوزیترون انجام می‌دهد: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. پتاسیم-40 می‌تواند گیراندازی الکترون انجام دهد، که الکترون در آن به صورت واکنش‌دهنده نوشته می‌شود: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

برای یافتن ذره‌ای مجهول، تفریق کنید. توریم-234 به پروتاکتینیم-234 واپاشیده می‌شود: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. برای X، A = 234 − 234 = 0 و Z = 90 − 91 = −1، پس X همان ⁰₋₁e است و این واپاشی بتاست. پیش‌بینی‌ها با نوار سازگارند: کربن-14 نسبت n:p برابر 1.33 دارد، که برای هسته‌ای به این سبکی زیاد است، و واپاشی بتا آن را در نیتروژن-14 به 1.00 می‌رساند.

محاسبه‌های نیمه‌عمر برای واپاشی مرتبه اول

واپاشی پرتوزا فرایندی مرتبه اول است: در زمانی معین، کسر یکسانی از هسته‌های باقی‌مانده واپاشی می‌کند، مقدار آغازین هر چه باشد. نیمه‌عمر، t½، زمانی است که نیمی از هسته‌ها واپاشی کنند. این کمیت عملاً مستقل از دما، فشار و شکل شیمیایی است و همین آن را برای سن‌یابی سودمند می‌کند. مقدار باقی‌مانده پس از زمان t برابر N = N₀ × (½)^(t/t½) است. به همین ترتیب، ln(N/N₀) = −kt با ثابت واپاشی k = 0.693/t½.

مثال حل‌شده 2. ید-131، که برای درمان بیماری تیروئید به کار می‌رود، دارای t½ = 8.02 روز است (جدول 21.2 OpenStax). از نمونه 50.0 mg پس از 30.0 روز چه مقدار باقی می‌ماند؟ t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 نیمه‌عمر. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. یک برآورد سریع آن را تأیید می‌کند: پس از 3 نیمه‌عمر 6.25 mg و پس از 4 نیمه‌عمر 3.13 mg باقی می‌ماند، پس پاسخ باید میان این دو باشد.

مثال حل‌شده 3. فلوئور-18 دارای t½ = 110. دقیقه است. چقدر طول می‌کشد تا فعالیت آن به 10.0 درصد مقدار آغازین برسد؟ فعالیت با شمار هسته‌ها متناسب است، پس (½)^(t/110.) = 0.100 را حل کنید. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min، حدود 6.1 ساعت. همین بازه کوتاه دلیل آن است که فلوئور-18 باید نزدیک محل مصرفش ساخته شود.

مثال حل‌شده: سن‌یابی یک شیء چوبی با کربن پرتوزا

جانداران زنده با مبادله کربن با محیط، نسبت ثابتی از کربن-14 به کربن-12 را نگه می‌دارند. پس از مرگ، کربن-14 با t½ = 5730 سال (بخش 21.3 OpenStax) واپاشی می‌کند و جایگزین نمی‌شود، پس این نسبت به شکلی پیش‌بینی‌پذیر کاهش می‌یابد.

یک ابزار چوبی 28.0 درصد از کربن-14 موجود در چوب زنده را دارد. 0.280 = (½)^(t/5730 y) را حل کنید. گرفتن لگاریتم t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ سال، یا حدود 1.84 نیمه‌عمر، را می‌دهد. برآورد را بررسی کنید: پس از یک نیمه‌عمر 50 درصد و پس از دو نیمه‌عمر 25 درصد باقی می‌ماند و 28.0 درصد اندکی پیش از دو نیمه‌عمر است.

OpenStax بیان می‌کند که این روش تا حدود 30 000 سال دقیق است و تا بیشینه حدود 50 000 سال تاریخ‌های معقولی می‌دهد. فراتر از آن، کربن-14 بسیار کمی برای اندازه‌گیری قابل‌اعتماد باقی می‌ماند. سن‌های واقعی کربن پرتوزا برای تغییرهای گذشته کربن-14 جو نیز تصحیح می‌شوند.

خطاها در معادله‌های هسته‌ای و حساب واپاشی

دو بررسی بیشتر مسئله‌ها را می‌گیرد: در هر معادله A و Z را جداگانه موازنه کنید، و پیش از استفاده از ماشین‌حساب برآورد کنید چند نیمه‌عمر گذشته است.

• جابه‌جا کردن تغییرهای بتا و پوزیترون. بتا Z را 1 واحد بالا می‌برد؛ گسیل پوزیترون و گیراندازی الکترون آن را 1 واحد پایین می‌آورند.
• موازنه عددهای جرمی بدون موازنه عددهای اتمی، یا برعکس.
• کم‌کردن جرم پروتون‌های عریان از جرم اتمی بدون در نظر گرفتن الکترون‌ها. استفاده از جرم‌های اتمی هیدروژن-1 از این مشکل جلوگیری می‌کند.
• تقسیم مقدار آغازین بر شمار نیمه‌عمرها به‌جای نصف‌کردن پیاپی آن.
• درهم‌آمیختن یکاهای زمان، مانند نیمه‌عمر بر حسب روز با زمان سپری‌شده بر حسب ساعت.
• گردکردن جرم‌ها پیش از گرفتن تفاضل در محاسبه کاستی جرم.