Números cuánticos y orbitales: reglas, recuentos y formas

Los electrones como ondas: la longitud de onda de De Broglie

En 1924, De Broglie propuso que toda partícula en movimiento tiene una longitud de onda λ = h/(mv), donde h es la constante de Planck, m la masa y v la velocidad. Para los objetos cotidianos, la longitud de onda es demasiado pequeña para notarla. Una pelota de béisbol de 0.145 kg a 40.0 m/s tiene λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Para un electrón, con una masa de 9.109 × 10⁻³¹ kg (CODATA del NIST), la longitud de onda es comparable al tamaño de un átomo.

Ejemplo resuelto 1. Un electrón que se mueve a 2.188 × 10⁶ m/s tiene λ = h/(mv). Con los valores CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s y m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, o 0.3324 nm. Esta velocidad es la que el modelo de Bohr asigna al electrón en la órbita más baja del hidrógeno, cuyo radio es el radio de Bohr, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (CODATA del NIST). La circunferencia de la órbita es 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, así que cabe en ella una longitud de onda del electrón, con una concordancia mejor que el 0.02%. Los niveles de energía cuantizados son lo que se obtiene cuando una onda electrónica debe caber en su espacio sin anularse a sí misma, igual que una cuerda de guitarra solo puede vibrar a ciertas frecuencias.

La incertidumbre y el fin de las órbitas fijas

El principio de incertidumbre de Heisenberg pone un límite a la precisión con que pueden conocerse a la vez la posición y el momento lineal: Δx·Δp ≥ ħ/2, donde ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Ejemplo resuelto 2. Confina un electrón en una región de 1.0 × 10⁻¹⁰ m de ancho, aproximadamente el tamaño de un átomo. Entonces Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, y Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. La incertidumbre en la velocidad es una fracción considerable de la propia velocidad, así que una trayectoria definida, como la órbita de un planeta, carece de sentido para un electrón en un átomo.

La mecánica cuántica sustituye la trayectoria por una función de onda, ψ. Su cuadrado, ψ², es la densidad de probabilidad: multiplicada por el volumen de una región pequeña, da la probabilidad de encontrar allí el electrón. Un orbital es una función de onda de un electrón, y los dibujos habituales de orbitales son superficies que encierran la mayor parte de esa probabilidad, a menudo el 90%.

Valores permitidos de n, l, mₗ y mₛ

Al resolver la ecuación de onda del átomo de hidrógeno se obtienen tres números cuánticos, cada uno restringido por el anterior. Un cuarto describe el espín del electrón. Todo consiste en esas restricciones.

• Número cuántico principal n = 1, 2, 3, …. Fija la capa y, en el hidrógeno, la energía. Un n mayor significa un orbital más grande y de mayor energía.
• Número cuántico de momento angular l = 0, 1, …, n − 1. Fija la subcapa y la forma: l = 0, 1, 2, 3 son s, p, d, f.
• Número cuántico magnético mₗ = −l, …, 0, …, +l, lo que da 2l + 1 valores. Fija la orientación del orbital en el espacio.
• Número cuántico de espín mₛ = +½ o −½. No depende de los otros tres.

Ejemplo resuelto: comprobar seis conjuntos de números cuánticos

Para comprobar un conjunto (n, l, mₗ, mₛ), contrasta cada número con el anterior, en orden. Detente en la primera infracción.

(3, 3, 0, +½) no está permitido: l debe ser como máximo n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) no está permitido: con l = 2, mₗ solo va de −2 a +2. (3, 2, 1, 0) no está permitido: mₛ debe ser +½ o −½, nunca 0. (2, 1, −1, −½) está permitido y describe un electrón en un orbital 2p. (5, 0, 0, +½) está permitido y describe un electrón 5s. (4, 3, −3, +½) está permitido y describe un electrón 4f.

Para nombrar el orbital de un conjunto permitido, escribe n seguido de la letra correspondiente a l. El valor de mₗ elige un orbital dentro de la subcapa, pero no cambia su nombre en esta notación.

Contar orbitales y electrones con una restricción

Las preguntas de conteo se vuelven rutinarias si enumeras los valores permitidos de l, luego los valores de mₗ para cada uno y solo entonces aplicas la restricción. Cada orbital, es decir, cada combinación permitida (n, l, mₗ), admite dos electrones, uno con cada espín.

Una capa con número cuántico principal n contiene n² orbitales y 2n² electrones. Para n = 4, l puede ser 0, 1, 2 o 3, lo que da 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitales y 32 electrones.

Ejemplo resuelto 3. ¿Cuántos electrones de un átomo pueden tener n = 3 y mₗ = +1? Los valores de l para n = 3 son 0, 1 y 2. mₗ = +1 solo es posible cuando l ≥ 1, así que hay uno de esos orbitales en 3p y otro en 3d: dos orbitales, cuatro electrones. ¿Cuántos pueden tener n = 5 y mₛ = +½? La capa 5 tiene 5² = 25 orbitales, cada uno con un electrón +½, así que 25. ¿Cuántos pueden tener n = 4 y l = 2? Es la subcapa 4d: 5 orbitales y 10 electrones.

Formas de los orbitales y recuento de nodos

Un nodo es un lugar donde ψ, y por tanto la probabilidad de encontrar el electrón, es cero. Un orbital tiene n − 1 nodos en total. De ellos, l son nodos angulares, planos o conos que pasan por el núcleo, y los n − l − 1 restantes son nodos radiales, capas esféricas a distancias fijas. OpenStax Chemistry 2e (sección 6.3) da la regla de los nodos radiales.

Los orbitales s (l = 0) son esféricos y no tienen nodos angulares, así que un orbital 2s tiene un nodo radial y un orbital 3s tiene dos. Los orbitales p (l = 1) tienen dos lóbulos a lados opuestos del núcleo con un plano nodal entre ellos; los tres se denominan pₓ, p_y y p_z según el eje al que apuntan. Los orbitales d (l = 2) tienen dos nodos angulares. Cuatro de ellos tienen cuatro lóbulos; el quinto, d_z², tiene dos lóbulos a lo largo del eje z y un anillo alrededor del centro.

Ejemplo resuelto 4. Un orbital 3p tiene 3 − 1 − 1 = 1 nodo radial y 1 nodo angular. Un orbital 4d tiene 1 nodo radial y 2 nodos angulares, 3 en total. Un orbital 3d no tiene nodos radiales, y un orbital 6s tiene 5.

Cuando los orbitales de una misma capa difieren en energía

En el hidrógeno, la energía depende solo de n, así que 3s, 3p y 3d tienen la misma energía. En los átomos con más de un electrón, los demás electrones apantallan el núcleo de forma desigual. Un electrón s penetra más cerca del núcleo que un electrón p o d de la misma capa, siente una mayor parte de la carga nuclear y tiene menos energía. El resultado es el desdoblamiento s < p < d < f dentro de una capa, que fija el orden de llenado tratado en la guía de configuraciones electrónicas.

Los orbitales de una misma subcapa, como los tres orbitales 2p, siguen teniendo la misma energía en un átomo aislado. Se dice que están degenerados. Los átomos circundantes en una molécula o un cristal pueden romper esa degeneración.

Errores con los números cuánticos que conviene revisar

Casi todos los errores vienen de saltarse el paso de enumerar. Ante la duda, escribe todos los valores permitidos antes de contar.

• Dejar que l sea igual a n. El mayor l permitido es n − 1, así que no existe ningún orbital 1p ni 2d.
• Contar los valores de mₗ de 0 a l en lugar de −l a +l, lo que subestima el número de orbitales.
• Contar orbitales cuando la pregunta pide electrones, o al revés. Cada orbital admite dos electrones.
• Dar a mₛ el valor 0 o 1. El espín es solo +½ o −½.
• Usar n − l − 1 como número total de nodos. Esa fórmula solo cuenta los nodos radiales; el total es n − 1.
• Tratar la superficie límite del 90% como un borde rígido. La densidad electrónica se desvanece de forma gradual y no tiene un límite nítido.