Luz y espectros atómicos: fotones, niveles de energía y las líneas del hidrógeno

Longitud de onda, frecuencia y velocidad de la luz

La luz es una onda electromagnética. Su longitud de onda λ es la distancia entre crestas, y su frecuencia ν es el número de crestas que pasan por un punto cada segundo, en hercios (s⁻¹). En el vacío, todas las longitudes de onda viajan a la misma velocidad, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, un valor exacto por definición que recoge el NIST. Las tres magnitudes se relacionan mediante c = λν, de modo que la longitud de onda y la frecuencia son inversamente proporcionales: si una se reduce a la mitad, la otra se duplica.

La luz visible va aproximadamente de 400 nm (violeta) a 700 nm (rojo). La luz ultravioleta tiene longitudes de onda más cortas y frecuencias más altas; la infrarroja tiene longitudes de onda más largas y frecuencias más bajas. Convierte los nanómetros a metros antes de usar c = λν: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Energía del fotón y efecto fotoeléctrico

La luz se absorbe y se emite en paquetes llamados fotones. Cada fotón transporta una energía E = hν = hc/λ, donde h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s es la constante de Planck, también exacta. Una longitud de onda más corta significa más energía por fotón. Una luz más brillante del mismo color significa más fotones, no fotones más energéticos.

Ejemplo resuelto 1. La luz amarilla de una lámpara de sodio está cerca de 589.0 nm. Su frecuencia es ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Un fotón transporta E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Multiplica por el número de Avogadro, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, para un mol de fotones: 2.031 × 10⁵ J, o 203.1 kJ/mol. Eso es comparable a la energía de un enlace químico débil, y por eso la luz visible y la ultravioleta pueden provocar reacciones fotoquímicas.

El efecto fotoeléctrico muestra directamente la imagen del fotón. La luz arranca electrones de un metal solo si cada fotón transporta al menos la función de trabajo del metal, Φ. Cualquier energía sobrante se convierte en energía cinética del electrón: KEmax = hν − Φ.

Ejemplo resuelto 2. Supón que la superficie de un metal tiene una longitud de onda umbral de 540 nm (un valor dado para este ejercicio). Su función de trabajo es Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. La luz violeta de 405 nm tiene fotones de 4.905 × 10⁻¹⁹ J, así que KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Redondeado a tres cifras significativas, es 1.23 × 10⁻¹⁹ J, o 0.765 eV. La luz roja de 650 nm, por intensa que sea, no arranca electrones, porque cada fotón tiene solo 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Por qué los átomos dan espectros de líneas en lugar de arcoíris

Un sólido caliente, como el filamento de una lámpara, emite un espectro continuo. Un gas de átomos caliente y a baja presión emite solo ciertas longitudes de onda. Los electrones de un átomo solo pueden ocupar ciertos niveles de energía. Cuando un electrón baja de un nivel superior a otro inferior, el átomo emite un único fotón cuya energía es igual a la diferencia: ΔE = hν. Como solo existen ciertas diferencias, solo aparecen ciertas longitudes de onda.

La absorción es el proceso inverso. Si haces pasar luz blanca a través de un gas frío, los átomos eliminan exactamente las longitudes de onda que corresponden a sus saltos hacia arriba, lo que deja líneas oscuras en un espectro por lo demás continuo. Un salto entre los mismos dos niveles tiene la misma longitud de onda tanto si el átomo absorbe como si emite. El conjunto de diferencias de cada elemento es único, así que los espectros identifican elementos en llamas, lámparas y estrellas lejanas.

Niveles de energía del hidrógeno y ecuación de Rydberg

En un átomo de un solo electrón, los niveles de energía siguen una fórmula sencilla. OpenStax Chemistry 2e (sección 6.2) da Eₙ = −kZ²/n², con k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z la carga nuclear y n = 1, 2, 3, …. La energía es negativa porque el electrón ligado tiene menos energía que un electrón libre en reposo, al que se asigna el cero. A medida que n crece, los niveles se apiñan hacia cero.

El fotón emitido cuando el electrón cae de nᵢ a un n_f inferior tiene una energía ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Al dividir entre hc se obtiene la ecuación de Rydberg para el hidrógeno, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), con R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Ejemplo resuelto 3. Halla la longitud de onda de la línea n = 3 → n = 2 del hidrógeno. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, conservando una cifra extra hasta el final. Con hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m, λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, o 656.4 nm. El NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data indica esta línea roja a 656.3 nm en aire. La diferencia en la última cifra se debe al redondeo de k y a que la luz viaja algo más despacio en el aire.

Ejemplo resuelto 4. La energía de ionización del hidrógeno es la energía necesaria para llevar el electrón de n = 1 a n = ∞, que es el propio k: 2.179 × 10⁻¹⁸ J por átomo. Por mol, (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, o 1312 kJ/mol. El valor de la NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, equivale a 1312.0 kJ/mol.

Series de Lyman, Balmer y Paschen

Las líneas que terminan en el mismo nivel inferior forman una serie. Todas se acercan entre sí a medida que aumenta nᵢ y tienden a un límite de serie, donde el electrón parte libre.

• Serie de Lyman, que termina en n = 1: ultravioleta. La línea 2 → 1 está a 121.6 nm, y el límite de la serie está cerca de 91.2 nm.
• Serie de Balmer, que termina en n = 2: las cuatro líneas visibles del hidrógeno, a unos 656, 486, 434 y 410 nm para nᵢ = 3, 4, 5 y 6. El límite de la serie está cerca de 365 nm, en el ultravioleta.
• Serie de Paschen, que termina en n = 3: infrarrojo. La línea 4 → 3 está cerca de 1875 nm.

Errores con los espectros y comprobaciones rápidas

La mayoría de los errores en estos problemas son errores de unidades o de signo. Dos comprobaciones detectan casi todos: un fotón visible debe transportar aproximadamente de 2.8 a 5.0 × 10⁻¹⁹ J, y una diferencia de energía mayor debe dar una longitud de onda más corta.

• Dejar la longitud de onda en nanómetros al usar c = λν o E = hc/λ. Convierte primero a metros.
• Usar la ecuación de Rydberg con nᵢ y n_f intercambiados, lo que da una longitud de onda negativa.
• Esperar que todas las líneas del hidrógeno sean visibles. Toda la serie de Lyman es ultravioleta y la serie de Paschen es infrarroja.
• Creer que una luz más brillante arranca fotoelectrones más rápidos. La intensidad cambia el número de electrones, no su energía máxima.
• Aplicar Eₙ = −kZ²/n² al helio o a cualquier átomo con más de un electrón. Solo es válida para especies de un electrón, como H, He⁺ y Li²⁺.
• Olvidar el número de Avogadro al convertir una energía por fotón a kJ/mol, o aplicarlo dos veces.

Qué explica la imagen de Bohr y dónde deja de funcionar

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, con el electrón en órbitas circulares de energía fija, reproduce las líneas del hidrógeno y la proporcionalidad con Z² para iones como el He⁺. En el He⁺, cada energía de transición del hidrógeno es cuatro veces mayor, así que su línea 2 → 1 está cerca de 30.4 nm.

El modelo falla en los átomos con dos o más electrones, porque la repulsión entre electrones cambia los niveles. Además, representa los electrones en trayectorias definidas, algo que la mecánica cuántica descarta. La teoría moderna conserva los niveles de energía de Bohr para el hidrógeno, pero sustituye las órbitas por orbitales, que describen dónde es probable encontrar un electrón.