Análisis dimensional y conversiones de unidades

Por qué un factor de conversión es un 1 disfrazado

Una igualdad como 1 L = 1000 mL dice que ambos lados describen la misma cantidad. Por tanto, dividir un lado entre el otro da una razón igual a exactamente 1: (1000 mL / 1 L) = 1 y (1 L / 1000 mL) = 1. Multiplicar una cantidad por 1 no la cambia; solo cambia cómo se expresa. Esa es toda la justificación del método.

Como cada igualdad da dos razones, eliges la orientación que cancela la unidad que tienes y deja la que quieres. Para convertir 0.355 L a mililitros, escribe 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Los litros se cancelan porque L aparece una vez en un numerador y una vez en un denominador. Si las unidades no se cancelan, el factor está al revés, y lo sabes antes de hacer cualquier operación.

Igualdades exactas y medidas

Algunas igualdades son definiciones y son exactas: todos los prefijos del SI (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ y 1 pulgada = 2.54 cm. Los factores exactos nunca limitan las cifras significativas. Otras igualdades proceden de mediciones, como una densidad o la masa de una moneda, y sus cifras significativas se cuentan como las de cualquier otro valor medido.

Los factores de prefijos son la fuente más habitual de errores por factores invertidos. Lee 1 µg = 10⁻⁶ g como: un microgramo es una millonésima de gramo. La unidad pequeña lleva el 1 y la unidad grande lleva la potencia de diez pequeña, o, de forma equivalente, 1 g = 10⁶ µg. Escribir 1 g = 10⁻⁶ µg invierte la relación en un factor de 10¹².

• Longitud: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 pulgada = 2.54 cm (exacto).
• Volumen: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Masa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Tiempo: 1 h = 60 min = 3600 s.

Encadenar varios factores en una sola línea

Cuando ninguna igualdad conecta por sí sola las unidades de partida y las de llegada, multiplica una cadena de factores, cada uno de los cuales cancela la unidad introducida por el anterior. Escribir toda la cadena antes de calcular permite comprobar la cancelación de un vistazo y evita redondear entre pasos.

Ejemplo resuelto 1. Una bomba suministra disolvente a 1.75 mL/min. ¿Cuál es el caudal en litros por hora? Deben cambiar dos unidades, una del numerador y otra del denominador. Plantea 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Los mililitros se cancelan, los minutos se cancelan y queda L/h. La operación es 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Ambos factores son exactos, así que la respuesta conserva las tres cifras significativas de 1.75 mL/min.

Aquí ayuda una comprobación rápida de sensatez: una hora tiene 60 minutos, así que el volumen por hora debe ser mayor que por minuto, unos 105 mL. Expresado en litros, es aproximadamente una décima de litro, lo que coincide con 0.105 L/h.

Las unidades al cuadrado y al cubo necesitan factores al cuadrado y al cubo

Una unidad derivada como cm³ significa cm × cm × cm. Convertirla exige aplicar el factor de longitud una vez por cada dimensión, lo que se logra elevando el factor completo, número y unidad juntos, a la potencia correspondiente. (1 m / 100 cm)³ es igual a 1 m³ / 10⁶ cm³, no a 1 m³ / 100 cm³.

Ejemplo resuelto 2. Un armario de almacenamiento tiene un volumen interior de 0.0465 m³. Exprésalo en centímetros cúbicos y en litros. En centímetros cúbicos: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. En litros, usa 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Como comprobación cruzada, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) también da 46.5 L.

Las velocidades y otras unidades compuestas siguen la misma lógica. Una presión en N/m², una rapidez en m/s y una concentración en mol/L requieren convertir cada unidad por separado, respetando los exponentes.

La densidad como puente entre masa y volumen

La densidad es masa dividida entre volumen, así que funciona como factor de conversión en cualquier orientación: (g / mL) convierte un volumen en una masa y (mL / g) convierte una masa en un volumen. A diferencia de los factores de prefijos, la densidad se mide, depende de la temperatura y limita las cifras significativas.

Ejemplo resuelto 3. OpenStax Chemistry 2e (Tabla 1.4) indica que la densidad de la glicerina es 1.26 g/cm³ cerca de la temperatura ambiente. ¿Qué volumen de glicerina contiene 15.0 g? Invierte la densidad para que se cancelen los gramos: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, que son 11.9 mL porque 1 cm³ = 1 mL exactamente. La calculadora muestra 11.905, y ambos datos tienen tres cifras significativas.

Ahora hagamos el camino contrario con una cadena más larga: ¿cuál es la masa, en kilogramos, de 2.50 L de glicerina? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Un litro de agua tiene una masa cercana a 1 kg y la glicerina es algo más densa que el agua, de modo que algo más de 2.5 kg es razonable.

Escalas de temperatura y otras conversiones con desfase

El método del factor unitario maneja relaciones proporcionales, en las que cero en una unidad significa cero en la otra. Las escalas Celsius, Fahrenheit y kelvin no comparten el cero, así que convertir una temperatura requiere una ecuación con un desfase añadido: T(K) = T(°C) + 273.15 y T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Por ejemplo, 21.47 °C son 21.47 + 273.15 = 294.62 K y 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Los cambios de temperatura son distintos. Un cambio de 1 °C equivale a un cambio de 1 K y a un cambio de 1.8 °F, sin desfase, porque el desfase se cancela al restar dos temperaturas. Ten presente esta distinción cuando una ecuación de calor o de velocidad use ΔT en lugar de T.

Errores de conversión y cómo detectarlos

El análisis dimensional garantiza que la unidad final sea correcta si cada factor es una igualdad verdadera. No garantiza que hayas elegido la cantidad correcta, así que combina la comprobación de unidades con una estimación del tamaño.

Antes de multiplicar, decide si el número debe crecer o disminuir. Convertir a una unidad más pequeña, como de litros a mililitros, da un número mayor; convertir a una unidad más grande da uno menor. Si el resultado se mueve en el sentido equivocado, algún factor tiene sus números invertidos, que es justo lo que ocurre con un prefijo mal recordado aunque las unidades parezcan cancelarse.

• Factor invertido: si sobrevive la unidad que querías eliminar, da la vuelta a ese factor.
• Prefijo invertido: comprueba que la unidad más pequeña tenga la cantidad mayor, como en 1 kg = 1000 g.
• Olvidar la potencia: los factores de área y de volumen deben elevarse al cuadrado o al cubo, incluido el número.
• Omitir unidades a mitad del cálculo: escribe las unidades en cada número para que una cancelación que falta siga siendo visible.
• Tratar un factor medido como exacto: una densidad o una masa medida por unidad limita las cifras significativas.
• Unidades correctas, física equivocada: los gramos de disolución y los gramos de soluto se cancelan ambos como g, así que rotula cada cantidad con lo que describe.