Διαστατική ανάλυση και μετατροπές μονάδων

Γιατί ένας παράγοντας μετατροπής είναι ένα μεταμφιεσμένο 1

Μια ισότητα όπως 1 L = 1000 mL λέει ότι οι δύο πλευρές περιγράφουν την ίδια ποσότητα. Αν διαιρέσετε τη μία πλευρά με την άλλη, παίρνετε λοιπόν λόγο ακριβώς ίσο με 1: (1000 mL / 1 L) = 1 και (1 L / 1000 mL) = 1. Ο πολλαπλασιασμός μιας ποσότητας με το 1 δεν την αλλάζει· αλλάζει μόνο τον τρόπο που εκφράζεται. Αυτή είναι ολόκληρη η δικαιολόγηση της μεθόδου.

Επειδή κάθε ισότητα δίνει δύο λόγους, διαλέγετε τον προσανατολισμό που απαλείφει τη μονάδα που έχετε και αφήνει τη μονάδα που θέλετε. Για να μετατρέψετε 0.355 L σε χιλιοστόλιτρα, γράψτε 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Τα λίτρα απαλείφονται επειδή το L εμφανίζεται μία φορά στον αριθμητή και μία στον παρονομαστή. Αν οι μονάδες δεν απαλείφονται, ο παράγοντας είναι ανάποδα και το καταλαβαίνετε πριν κάνετε οποιαδήποτε πράξη.

Ακριβείς και μετρημένες ισότητες

Ορισμένες ισότητες είναι ορισμοί και είναι ακριβείς: κάθε πρόθεμα του SI (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ και 1 inch = 2.54 cm. Οι ακριβείς παράγοντες δεν περιορίζουν ποτέ τα σημαντικά ψηφία. Άλλες ισότητες προέρχονται από μέτρηση, όπως μια πυκνότητα ή η μάζα ενός νομίσματος, και τα σημαντικά ψηφία τους μετρώνται όπως σε κάθε άλλη μετρημένη τιμή.

Οι παράγοντες προθεμάτων είναι η συχνότερη πηγή λαθών με ανάποδο παράγοντα. Διαβάστε το 1 µg = 10⁻⁶ g ως ότι ένα μικρογραμμάριο είναι ένα εκατομμυριοστό του γραμμαρίου. Η μικρή μονάδα παίρνει το 1 και η μεγάλη μονάδα παίρνει τη μικρή δύναμη του δέκα, ή ισοδύναμα 1 g = 10⁶ µg. Αν γράψετε 1 g = 10⁻⁶ µg, αντιστρέφετε τη σχέση κατά έναν παράγοντα 10¹².

• Μήκος: 1 m = 100 cm = 1000 mm· 1 inch = 2.54 cm (ακριβές).
• Όγκος: 1 L = 1000 mL = 1 dm³· 1 mL = 1 cm³· 1 m³ = 1000 L.
• Μάζα: 1 kg = 1000 g· 1 mg = 10⁻³ g· 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Χρόνος: 1 h = 60 min = 3600 s.

Αλυσίδα από πολλούς παράγοντες σε μία γραμμή

Όταν καμία μεμονωμένη ισότητα δεν συνδέει την αρχική με τη ζητούμενη μονάδα, πολλαπλασιάστε μια αλυσίδα παραγόντων, καθένας από τους οποίους απαλείφει τη μονάδα που εισήγαγε ο προηγούμενος. Αν γράψετε ολόκληρη την αλυσίδα πριν υπολογίσετε, ελέγχετε τις απαλοιφές με μια ματιά και αποφεύγετε τη στρογγυλοποίηση ανάμεσα στα βήματα.

Λυμένο παράδειγμα 1. Μια αντλία παρέχει διαλύτη με ρυθμό 1.75 mL/min. Ποια είναι η παροχή σε λίτρα ανά ώρα; Πρέπει να αλλάξουν δύο μονάδες, μία στον αριθμητή και μία στον παρονομαστή. Στήστε το 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Τα χιλιοστόλιτρα απαλείφονται, τα λεπτά απαλείφονται και μένει L/h. Η αριθμητική είναι 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Και οι δύο παράγοντες είναι ακριβείς, άρα η απάντηση κρατά τα τρία σημαντικά ψηφία του 1.75 mL/min.

Εδώ βοηθά ένας γρήγορος έλεγχος εύλογου μεγέθους: μια ώρα είναι 60 λεπτά, άρα ο όγκος ανά ώρα πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον όγκο ανά λεπτό, περίπου 105 mL. Εκφρασμένο σε λίτρα, αυτό είναι περίπου το ένα δέκατο του λίτρου, κάτι που συμφωνεί με τα 0.105 L/h.

Οι τετραγωνικές και κυβικές μονάδες θέλουν τετραγωνικούς και κυβικούς παράγοντες

Μια παράγωγη μονάδα όπως το cm³ σημαίνει cm × cm × cm. Για να τη μετατρέψετε πρέπει να εφαρμόσετε τον παράγοντα μήκους μία φορά για κάθε διάσταση, κάτι που κάνετε υψώνοντας ολόκληρο τον παράγοντα, αριθμό και μονάδα μαζί, στην αντίστοιχη δύναμη. Το (1 m / 100 cm)³ ισούται με 1 m³ / 10⁶ cm³ και όχι με 1 m³ / 100 cm³.

Λυμένο παράδειγμα 2. Ένα ντουλάπι αποθήκευσης έχει εσωτερικό όγκο 0.0465 m³. Εκφράστε τον σε κυβικά εκατοστά και σε λίτρα. Σε κυβικά εκατοστά: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. Σε λίτρα χρησιμοποιήστε το 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Ως διασταύρωση, και το 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) δίνει 46.5 L.

Οι ρυθμοί και οι άλλες σύνθετες μονάδες ακολουθούν την ίδια λογική. Μια πίεση σε N/m², μια ταχύτητα σε m/s και μια συγκέντρωση σε mol/L έχουν η καθεμία κάθε μονάδα μετατρεπόμενη ξεχωριστά, με σεβασμό στους εκθέτες.

Η πυκνότητα ως γέφυρα ανάμεσα στη μάζα και στον όγκο

Η πυκνότητα είναι η μάζα διά τον όγκο, άρα λειτουργεί ως παράγοντας μετατροπής και με τους δύο προσανατολισμούς: το (g / mL) μετατρέπει έναν όγκο σε μάζα και το (mL / g) μετατρέπει μια μάζα σε όγκο. Σε αντίθεση με τους παράγοντες προθεμάτων, η πυκνότητα μετριέται, εξαρτάται από τη θερμοκρασία και περιορίζει τα σημαντικά ψηφία.

Λυμένο παράδειγμα 3. Το OpenStax Chemistry 2e (Πίνακας 1.4) δίνει την πυκνότητα της γλυκερίνης ως 1.26 g/cm³ κοντά στη θερμοκρασία δωματίου. Ποιον όγκο καταλαμβάνουν 15.0 g γλυκερίνης; Αντιστρέψτε την πυκνότητα ώστε να απαλειφθούν τα γραμμάρια: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, δηλαδή 11.9 mL, επειδή 1 cm³ = 1 mL ακριβώς. Ο υπολογιστής δείχνει 11.905 και οι δύο τιμές εισόδου έχουν τρία σημαντικά ψηφία.

Τώρα πηγαίνετε προς την αντίθετη κατεύθυνση μέσα από μια μακρύτερη αλυσίδα: ποια είναι η μάζα, σε χιλιόγραμμα, 2.50 L γλυκερίνης; 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Ένα λίτρο νερού έχει μάζα κοντά στο 1 kg και η γλυκερίνη είναι λίγο πυκνότερη από το νερό, άρα ένα αποτέλεσμα λίγο πάνω από 2.5 kg είναι εύλογο.

Κλίμακες θερμοκρασίας και άλλες μετατροπές με μετατόπιση

Η μέθοδος παραγόντων–μονάδων χειρίζεται αναλογικές σχέσεις, όπου το μηδέν σε μία μονάδα σημαίνει μηδέν και στην άλλη. Οι κλίμακες Κελσίου, Φαρενάιτ και κέλβιν δεν έχουν κοινό μηδέν, επομένως η μετατροπή θερμοκρασίας απαιτεί μια εξίσωση με προστιθέμενη μετατόπιση: T(K) = T(°C) + 273.15 και T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Για παράδειγμα, τα 21.47 °C είναι 21.47 + 273.15 = 294.62 K και 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Οι μεταβολές θερμοκρασίας είναι διαφορετικές. Μια μεταβολή 1 °C ισούται με μεταβολή 1 K και μεταβολή 1.8 °F, χωρίς μετατόπιση, επειδή η μετατόπιση απαλείφεται όταν αφαιρείτε δύο θερμοκρασίες. Κράτα αυτή τη διάκριση στο μυαλό σας όταν μια εξίσωση θερμότητας ή ρυθμού χρησιμοποιεί το ΔT αντί για το T.

Λάθη μετατροπής και πώς να τα εντοπίζετε

Η διαστατική ανάλυση εγγυάται ότι η τελική μονάδα είναι σωστή, αρκεί κάθε παράγοντας να είναι πραγματική ισότητα. Δεν εγγυάται ότι διαλέξατε τη σωστή ποσότητα, γι' αυτό συνδυάστε τον έλεγχο μονάδων με μια εκτίμηση μεγέθους.

Πριν πολλαπλασιάσετε, αποφασίστε αν ο αριθμός πρέπει να μεγαλώσει ή να μικρύνει. Η μετατροπή σε μικρότερη μονάδα, όπως από λίτρα σε χιλιοστόλιτρα, δίνει μεγαλύτερο αριθμό· η μετατροπή σε μεγαλύτερη μονάδα δίνει μικρότερο. Αν το αποτέλεσμα κινείται προς τη λάθος κατεύθυνση, κάποιος παράγοντας έχει τους αριθμούς του ανεστραμμένους, και ακριβώς αυτό προκαλεί ένα πρόθεμα που θυμηθήκατε λάθος, ακόμη κι όταν οι μονάδες φαίνεται να απαλείφονται.

• Ανεστραμμένος παράγοντας: αν η μονάδα που θέλατε να απαλείψετε επιβιώνει, αντιστρέψτε αυτόν τον παράγοντα.
• Ανεστραμμένο πρόθεμα: ελέγξτε ότι η μικρότερη μονάδα έχει τον μεγαλύτερο αριθμό, όπως στο 1 kg = 1000 g.
• Παράλειψη της δύναμης: οι παράγοντες εμβαδού και όγκου πρέπει να υψώνονται στο τετράγωνο ή στον κύβο, μαζί με τον αριθμό.
• Παράλειψη μονάδων στη μέση του υπολογισμού: γράφετε μονάδες σε κάθε αριθμό ώστε μια απαλοιφή που λείπει να παραμένει ορατή.
• Αντιμετώπιση ενός μετρημένου παράγοντα ως ακριβούς: μια πυκνότητα ή μια μετρημένη μάζα ανά αντικείμενο περιορίζει τα σημαντικά ψηφία.
• Σωστές μονάδες, λάθος φυσική: τα γραμμάρια διαλύματος και τα γραμμάρια διαλυμένης ουσίας απαλείφονται και τα δύο ως g, γι' αυτό σημειώνετε σε κάθε ποσότητα τι περιγράφει.