Σημαντικά ψηφία στους υπολογισμούς χημείας

Μετρημένοι αριθμοί και ακριβείς αριθμοί

Μια μετρημένη τιμή είναι αβέβαιη, επειδή κάθε όργανο έχει ένα όριο. Όταν διαβάζετε μια προχοΐδα με υποδιαιρέσεις των 0.1 mL, καταγράφετε τις βέβαιες υποδιαιρέσεις και εκτιμάτε ένα ακόμη ψηφίο ανάμεσά τους· έτσι μια ένδειξη όπως 18.36 mL έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία: τρία βέβαια και ένα εκτιμώμενο. Αν γράφατε 18.360 mL, θα διεκδικούσατε ακρίβεια που η προχοΐδα δεν μπορεί να προσφέρει.

Οι ακριβείς αριθμοί δεν έχουν αβεβαιότητα μέτρησης. Προκύπτουν από καταμέτρηση (12 δοκιμαστικοί σωλήνες σε ένα στήριγμα), από ορισμούς (1 inch είναι ακριβώς 2.54 cm και 1 L είναι ακριβώς 1000 mL) και από τους συντελεστές και τους δείκτες στους χημικούς τύπους και στις εξισώσεις. Θεωρήστε ότι οι ακριβείς αριθμοί έχουν απεριόριστα σημαντικά ψηφία, ώστε να μην περιορίζουν ποτέ την ακρίβεια ενός υπολογισμένου αποτελέσματος.

Μέτρηση των ψηφίων, μαζί με τα προβληματικά μηδενικά

Τα μη μηδενικά ψηφία είναι πάντα σημαντικά. Τα μηδενικά είναι σημαντικά ή όχι ανάλογα με το αν δίνουν μετρημένη πληροφορία ή απλώς δείχνουν τη θέση της υποδιαστολής. Οι κανόνες που ακολουθούν καλύπτουν κάθε περίπτωση που θα συναντήσετε στη γενική χημεία.

Τα τελικά μηδενικά σε έναν ακέραιο αριθμό χωρίς υποδιαστολή είναι η μόνη πραγματικά διφορούμενη περίπτωση. Μια μάζα που γράφεται 1200 g μπορεί να είναι γνωστή με δύο, τρία ή τέσσερα σημαντικά ψηφία. Η επιστημονική γραφή άρει την ασάφεια: το 1.2 × 10³ g έχει δύο, το 1.20 × 10³ g έχει τρία και το 1.200 × 10³ g έχει τέσσερα.

• Τα μηδενικά ανάμεσα σε μη μηδενικά ψηφία είναι σημαντικά: το 30.506 g έχει πέντε.
• Τα αρχικά μηδενικά δεν είναι ποτέ σημαντικά· απλώς τοποθετούν την υποδιαστολή: το 0.004070 m έχει τέσσερα (4, 0, 7, 0).
• Τα τελικά μηδενικά δεξιά της υποδιαστολής είναι σημαντικά: το 2.500 mL έχει τέσσερα.
• Τα τελικά μηδενικά σε έναν ακέραιο αριθμό χωρίς υποδιαστολή είναι διφορούμενα· χρησιμοποιήστε επιστημονική γραφή για να δηλώσετε την πρόθεσή σας.

Πρόσθεση και αφαίρεση: στοίχιση των δεκαδικών ψηφίων

Όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε ποσότητες, η αβεβαιότητα που μετράει είναι η απόλυτη αβεβαιότητα στο τελευταίο δεκαδικό ψηφίο και όχι το πλήθος των σημαντικών ψηφίων. Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων με τη μέτρηση που έχει τα λιγότερα.

Λυμένο παράδειγμα 1. Συνδυάζετε τρία τμήματα ενός στερεού που ζυγίστηκαν σε διαφορετικούς ζυγούς: 12.6 g, 0.237 g και 105.42 g. Ο υπολογιστής δείχνει 118.257 g. Η πρώτη μάζα είναι γνωστή μόνο ως το δέκατο, άρα και το άθροισμα είναι γνωστό μόνο ως το δέκατο: 118.3 g. Προσέξτε ότι η απάντηση έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία παρότι μία από τις τιμές εισόδου είχε μόνο τρία· στην πρόσθεση, δηλαδή, δεν περιορίζει το αποτέλεσμα το πλήθος των ψηφίων.

Η αφαίρεση μπορεί να καταστρέψει σημαντικά ψηφία. Ας υποθέσουμε ότι μια φιάλη με ένα υγρό ζυγίζει 58.36 g σε ζυγό ανώτερης φόρτισης και η άδεια φιάλη ζύγιζε 57.912 g σε αναλυτικό ζυγό. Η διαφορά είναι 0.448 g στον υπολογιστή, αλλά η πρώτη μάζα είναι γνωστή μόνο ως το εκατοστό, άρα η μάζα του υγρού είναι 0.45 g. Από τιμές με τέσσερα και πέντε ψηφία επιβιώνουν δύο σημαντικά ψηφία. Όταν έχει σημασία η μικρή διαφορά ανάμεσα σε δύο μεγάλους αριθμούς, ζυγίστε και τις δύο μάζες στον πιο ακριβή ζυγό.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση: μέτρηση των σημαντικών ψηφίων

Στα γινόμενα και στα πηλίκα μεταφέρεται η σχετική αβεβαιότητα. Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στον ίδιο αριθμό σημαντικών ψηφίων με την τιμή εισόδου που έχει τα λιγότερα σημαντικά ψηφία.

Λυμένο παράδειγμα 2. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει διαστάσεις 4.20 cm, 2.15 cm και 1.8 cm. Ο όγκος είναι 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ στον υπολογιστή. Το ύψος έχει μόνο δύο σημαντικά ψηφία, άρα ο όγκος αναφέρεται ως 16 cm³. Ένα τρίτο ψηφίο θα δικαιολογούνταν μόνο αν μετρούσατε το ύψος πιο προσεκτικά, για παράδειγμα ως 1.80 cm με παχύμετρο.

Οι λογάριθμοι ακολουθούν έναν συγγενικό κανόνα που εμφανίζεται στο pH: το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων του λογαρίθμου ισούται με το πλήθος των σημαντικών ψηφίων της αρχικής τιμής. Μια συγκέντρωση ιόντων υδρογόνου 3.4 × 10⁻⁴ mol/L έχει δύο σημαντικά ψηφία, άρα το pH της αναφέρεται με δύο δεκαδικά ψηφία, 3.47.

Στρογγυλοποίηση μία φορά, στο τέλος ενός υπολογισμού με πολλά βήματα

Σε έναν υπολογισμό με πολλά βήματα, κράτα τουλάχιστον ένα ή δύο επιπλέον ψηφία (ψηφία ασφαλείας) σε κάθε ενδιάμεση τιμή και στρογγυλοποιήστε μόνο την τελική απάντηση. Παρακολουθήστε πόσα σημαντικά ψηφία δικαιολογεί κάθε βήμα, αλλά μην πετάτε ψηφία πριν από το τέλος. Η στρογγυλοποίηση σε κάθε βήμα προσθέτει κάθε φορά ένα μικρό σφάλμα, και τα σφάλματα αυτά μπορούν να αλλάξουν το τελευταίο ψηφίο που αναφέρεται.

Λυμένο παράδειγμα 3. Διαλύετε 1.37 g χλωριούχου νατρίου σε νερό και το αραιώνετε σε ακριβώς 50.00 mL σε ογκομετρική φιάλη. Με τις πρότυπες ατομικές μάζες της IUPAC στρογγυλοποιημένες σε δύο δεκαδικά ψηφία (Na 22.99, Cl 35.45), η γραμμομοριακή μάζα του NaCl είναι 58.44 g/mol. Η ποσότητα είναι 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, χωρίς στρογγυλοποίηση. Ο όγκος είναι 0.05000 L, άρα η συγκέντρωση είναι 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, που στρογγυλοποιείται σε 0.469 mol/L επειδή η μάζα έχει τρία σημαντικά ψηφία.

Αν είχατε στρογγυλοποιήσει πρώτα την ποσότητα σε 0.0234 mol, θα βρίσκατε 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. Η διαφορά είναι μικρή, αλλά είναι πραγματικό σφάλμα που εισήχθη από την αριθμητική και όχι από τις μετρήσεις, και σε μακρύτερες αλυσίδες υπολογισμών μπορεί να μεγαλώσει.

Πότε στρογγυλοποιούμε το ψηφίο 5 προς τα πάνω ή προς το άρτιο ψηφίο

Αν το πρώτο ψηφίο που απορρίπτετε είναι μικρότερο από 5, αφήστε το ψηφίο που κρατάτε όπως είναι· αν είναι μεγαλύτερο από 5 ή είναι 5 ακολουθούμενο από οποιαδήποτε μη μηδενικά ψηφία, στρογγυλοποιήστε προς τα πάνω. Έτσι το 0.064371 στρογγυλοποιείται σε 0.0644 και το 7.2849 σε 7.28, με τρία σημαντικά ψηφία.

Η μόνη αμφισβητούμενη περίπτωση είναι ένα ψηφίο που απορρίπτεται και είναι ακριβώς 5 χωρίς τίποτα μετά. Το OpenStax Chemistry 2e στρογγυλοποιεί έτσι ώστε το ψηφίο που κρατιέται να είναι άρτιο (το 6.125 γίνεται 6.12, ενώ το 6.135 γίνεται 6.14), κάτι που αποφεύγει μια μικρή συστηματική απόκλιση προς τα πάνω σε πολλές στρογγυλοποιήσετε. Πολλοί διδάσκοντες απλώς στρογγυλοποιούν το 5 προς τα πάνω. Ελέγξτε ποια σύμβαση ακολουθεί το μάθημά σας και εφαρμόστε την με συνέπεια· επηρεάζει μόνο αυτή τη μία περίπτωση.

Σφάλματα στα σημαντικά ψηφία που αξίζει να ψάχνετε στη δική σας δουλειά

Τα περισσότερα σφάλματα στα σημαντικά ψηφία προέρχονται από λίγες προβλέψιμες παραδρομές. Πριν πλαισιώσετε μια απάντηση, διαβάστε ξανά τις τιμές εισόδου και αναρωτηθείτε ποια περιορίζει το αποτέλεσμα και με ποιον κανόνα.

Μια μικρή συνήθεια το κάνει ρουτίνα: δίπλα σε κάθε απάντηση σημειώστε την τιμή που περιορίζει και τον κανόνα που εφαρμόσατε, δεκαδικά ψηφία ή πλήθος ψηφίων. Αν η απάντηση δείχνει περισσότερα ψηφία από όσα δικαιολογεί αυτή η τιμή, στρογγυλοποιήστε την· αν δείχνει λιγότερα, ψάξτε για ένα τελικό μηδενικό που παρέλειψε ο υπολογιστής.

• Να αφήνετε έναν ακριβή αριθμό να περιορίζει την απάντηση. Ένας παράγοντας 1000 mL/L ή ένας συντελεστής 2 δεν μειώνουν ποτέ τα σημαντικά ψηφία.
• Να χρησιμοποιείτε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού για ένα άθροισμα. Τα αθροίσματα και οι διαφορές περιορίζονται από τα δεκαδικά ψηφία και όχι από το πλήθος των ψηφίων.
• Να στρογγυλοποιείτε κάθε ενδιάμεση τιμή. Κράτα ψηφία ασφαλείας και στρογγυλοποιήστε μία φορά στο τέλος.
• Να παραλείπετε σημαντικά τελικά μηδενικά. Ο υπολογιστής δείχνει 2.5 όταν η μέτρηση ήταν 2.50 mL· γράψτε ξανά το μηδενικό.
• Να μετράτε τα αρχικά μηδενικά. Το 0.0081 g έχει δύο σημαντικά ψηφία και όχι τέσσερα.
• Να αναφέρετε έναν ακέραιο αριθμό με διφορούμενα μηδενικά. Γράψτε 3.40 × 10² g αντί για 340 g όταν τα τρία ψηφία είναι ουσιώδη.