Kernchemie: Bindungsenergie, Zerfallsarten und Halbwertszeiten

Neutronen-Protonen-Verhältnis und das Stabilitätsband

Ein Kern enthält Protonen und Neutronen, zusammen Nukleonen genannt. Die Protonen stoßen sich elektrisch ab, und die starke Kernkraft, die nur über sehr kurze Entfernungen wirkt, hält alle Nukleonen zusammen. Ob ein Kern stabil ist, hängt vor allem vom Gleichgewicht zwischen Protonen und Neutronen ab.

Trägt man für die stabilen Nuklide die Neutronen gegen die Protonen auf, liegen sie in einem schmalen Stabilitätsband. Leichte stabile Kerne haben ungefähr gleich viele von beiden: Stickstoff-14 hat je sieben. Schwerere Kerne brauchen zusätzliche Neutronen, um die wachsende Abstoßung der Protonen auszugleichen. OpenStax gibt ein n:p-Verhältnis von 1.15 für Eisen-56 und 1.52 für Blei-207 an. Jedes Isotop jedes Elements jenseits von Bismut (Z = 83) ist radioaktiv.

Ein Nuklid außerhalb des Bands zerfällt so, dass es sich dem Band nähert. Diese eine Idee sagt die meisten Zerfallsarten voraus, wie die Liste der Zerfallsarten unten zeigt.

Massendefekt und Kernbindungsenergie

Ein Kern hat weniger Masse als die einzelnen Protonen und Neutronen, aus denen er besteht. Die fehlende Masse, der Massendefekt, entspricht über E = mc² der Kernbindungsenergie. In atomaren Masseneinheiten entspricht 1 u 931.494 MeV (CODATA-Wert vom NIST).

Rechenbeispiel 1. Bestimme die Bindungsenergie von Helium-4. Atommassen zu verwenden hält die Elektronen im Gleichgewicht: Zwei Wasserstoff-1-Atome liefern die zwei Protonen und zwei Elektronen. Das NIST gibt 1.007 825 032 u für ¹H und 4.002 603 254 u für ⁴He an, und CODATA nennt 1.008 664 916 u für das Neutron. Einzelne Teilchen: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. Massendefekt: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. Bindungsenergie: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV oder 7.074 MeV pro Nukleon. OpenStax nennt 28.4 MeV, weil es auf vier Dezimalstellen gerundete Massen verwendet, was zeigt, wie empfindlich eine kleine Differenz großer Zahlen auf Rundung reagiert.

Auf ein Mol hochgerechnet entsprechen 28.30 MeV pro Kern 2.73 × 10¹² J/mol. Die Verbrennung eines Mols Methan setzt etwa 890 kJ frei (aus den Bildungsenthalpien in Anhang G), die Bildung von Helium-4 aus seinen Nukleonen setzt also pro Mol rund drei Millionen Mal so viel Energie frei. Die Bindungsenergie pro Nukleon ist in der Nähe der Massenzahl 56 am größten; OpenStax berechnet 8.820 MeV pro Nukleon für Eisen-56. Deshalb setzen sowohl die Fusion leichter Kerne als auch die Spaltung sehr schwerer Kerne Energie frei.

Fünf Zerfallsarten und was jede verändert

Jede Zerfallsart verändert die Massenzahl A und die Ordnungszahl Z auf feste Weise. Weißt du, auf welcher Seite des Bands ein Nuklid liegt, weißt du, welche Zerfallsarten wahrscheinlich sind.

• Der Alphazerfall sendet einen Helium-4-Kern aus, ⁴₂He. A sinkt um 4 und Z um 2. Er ist bei schweren Kernen jenseits von Bismut häufig.
• Der Betazerfall sendet ein Elektron aus, ⁰₋₁e, während ein Neutron zu einem Proton wird. A bleibt gleich, und Z steigt um 1. Er tritt bei neutronenreichen Nukliden oberhalb des Bands auf.
• Die Positronenemission sendet ein Positron aus, ⁰₊₁e, während ein Proton zu einem Neutron wird. A bleibt gleich, und Z sinkt um 1. Sie tritt bei protonenreichen Nukliden unterhalb des Bands auf.
• Beim Elektroneneinfang wird ein inneres Elektron in den Kern gezogen, wo es sich mit einem Proton zu einem Neutron verbindet. A bleibt gleich, und Z sinkt um 1, dieselbe Änderung wie bei der Positronenemission.
• Die Gammaemission setzt ein energiereiches Photon, ⁰₀γ, aus einem Kern in einem angeregten Zustand frei. A und Z bleiben gleich. Sie begleitet oft die anderen Zerfallsarten.

Eine Kerngleichung durch Erhaltung von A und Z ausgleichen

Eine Kerngleichung ist ausgeglichen, wenn die Massenzahlen (hochgestellt) auf beiden Seiten dieselbe Summe ergeben und die Ordnungszahlen (tiefgestellt) ebenfalls. Die Ordnungszahl des Produkts bestimmt dann das Element.

Uran-238 unterliegt dem Alphazerfall: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. Kontrolle: 238 = 234 + 4 und 92 = 90 + 2. Kohlenstoff-14 unterliegt dem Betazerfall: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e, wobei 6 = 7 + (−1). Fluor-18, das in der PET verwendet wird, unterliegt der Positronenemission: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. Kalium-40 kann einen Elektroneneinfang eingehen, wobei das Elektron als Edukt geschrieben wird: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

Um ein unbekanntes Teilchen zu finden, subtrahiere. Thorium-234 zerfällt zu Protactinium-234: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. Für X ist A = 234 − 234 = 0 und Z = 90 − 91 = −1, also ist X ⁰₋₁e, und es handelt sich um einen Betazerfall. Die Vorhersagen passen zum Band: Kohlenstoff-14 hat ein n:p-Verhältnis von 1.33, hoch für einen so leichten Kern, und der Betazerfall bringt es in Stickstoff-14 auf 1.00.

Rechnungen mit Halbwertszeiten beim Zerfall erster Ordnung

Radioaktiver Zerfall ist ein Vorgang erster Ordnung: In einer bestimmten Zeit zerfällt derselbe Bruchteil der verbleibenden Kerne, unabhängig von der Ausgangsmenge. Die Halbwertszeit t½ ist die Zeit, in der die Hälfte der Kerne zerfällt. Sie ist im Wesentlichen unabhängig von Temperatur, Druck und chemischer Form, was sie für die Datierung nützlich macht. Die nach der Zeit t verbleibende Menge ist N = N₀ × (½)^(t/t½). Gleichwertig gilt ln(N/N₀) = −kt mit der Zerfallskonstante k = 0.693/t½.

Rechenbeispiel 2. Iod-131, das zur Behandlung von Schilddrüsenerkrankungen verwendet wird, hat t½ = 8.02 Tage (OpenStax Tabelle 21.2). Wie viel einer Probe von 50.0 mg bleibt nach 30.0 Tagen übrig? t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 Halbwertszeiten. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. Eine schnelle Abschätzung bestätigt das: Nach 3 Halbwertszeiten blieben 6.25 mg übrig und nach 4 Halbwertszeiten 3.13 mg, die Antwort muss also dazwischen liegen.

Rechenbeispiel 3. Fluor-18 hat t½ = 110. Minuten. Wie lange dauert es, bis seine Aktivität auf 10.0 Prozent des Ausgangswerts gefallen ist? Die Aktivität ist proportional zur Zahl der Kerne, löse also (½)^(t/110.) = 0.100. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min, etwa 6.1 Stunden. Dieses kurze Zeitfenster ist der Grund, warum Fluor-18 in der Nähe des Einsatzorts hergestellt werden muss.

Rechenbeispiel: Radiokarbondatierung eines hölzernen Artefakts

Lebende Organismen halten durch den Austausch von Kohlenstoff mit ihrer Umgebung ein konstantes Verhältnis von Kohlenstoff-14 zu Kohlenstoff-12. Nach dem Tod zerfällt Kohlenstoff-14 mit t½ = 5730 Jahren (OpenStax Abschnitt 21.3) und wird nicht ersetzt, daher sinkt das Verhältnis auf vorhersagbare Weise.

Ein Holzwerkzeug enthält 28.0 Prozent des Kohlenstoff-14, das in lebendem Holz vorkommt. Löse 0.280 = (½)^(t/5730 y). Logarithmieren ergibt t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ Jahre oder etwa 1.84 Halbwertszeiten. Prüfe die Abschätzung: Nach einer Halbwertszeit bleiben 50 Prozent übrig und nach zweien 25 Prozent, und 28.0 Prozent liegt knapp vor zwei.

OpenStax gibt an, dass die Methode bis etwa 30 000 Jahre genau ist und bis höchstens etwa 50 000 Jahre vernünftige Datierungen liefert. Darüber hinaus bleibt zu wenig Kohlenstoff-14 übrig, um es zuverlässig zu messen. Echte Radiokarbonalter werden außerdem um frühere Schwankungen des atmosphärischen Kohlenstoff-14 korrigiert.

Fehler bei Kerngleichungen und Zerfallsrechnungen

Zwei Kontrollen fangen die meisten Probleme ab: Gleiche in jeder Gleichung A und Z getrennt aus, und schätze ab, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind, bevor du einen Taschenrechner benutzt.

• Die Änderungen bei Beta- und Positronenzerfall vertauschen. Beta erhöht Z um 1; Positronenemission und Elektroneneinfang senken es um 1.
• Massenzahlen ausgleichen, aber nicht Ordnungszahlen, oder umgekehrt.
• Die Massen nackter Protonen von einer Atommasse abziehen, ohne die Elektronen zu berücksichtigen. Mit Atommassen von Wasserstoff-1 lässt sich das Problem vermeiden.
• Die Ausgangsmenge durch die Zahl der Halbwertszeiten teilen, statt sie wiederholt zu halbieren.
• Zeiteinheiten vermischen, etwa eine Halbwertszeit in Tagen mit einer verstrichenen Zeit in Stunden.
• Bei einer Massendefektrechnung die Massen runden, bevor man die Differenz bildet.