Licht und Atomspektren: Photonen, Energieniveaus und die Wasserstofflinien

Wellenlänge, Frequenz und Lichtgeschwindigkeit

Licht ist eine elektromagnetische Welle. Ihre Wellenlänge λ ist der Abstand zwischen zwei Wellenbergen, und ihre Frequenz ν ist die Zahl der Wellenberge, die pro Sekunde einen Punkt passieren, in Hertz (s⁻¹). Im Vakuum breitet sich jede Wellenlänge mit derselben Geschwindigkeit aus, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, einem exakt festgelegten Wert, den das NIST angibt. Die drei Größen sind durch c = λν verknüpft, Wellenlänge und Frequenz sind also umgekehrt proportional: Halbiert man die eine, verdoppelt sich die andere.

Sichtbares Licht reicht von ungefähr 400 nm (violett) bis 700 nm (rot). Ultraviolettes Licht hat kürzere Wellenlängen und höhere Frequenzen; Infrarot hat längere Wellenlängen und niedrigere Frequenzen. Rechne Nanometer in Meter um, bevor du c = λν verwendest: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Photonenenergie und der photoelektrische Effekt

Licht wird in Paketen absorbiert und emittiert, die Photonen heißen. Jedes Photon trägt die Energie E = hν = hc/λ, wobei h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s die Planck-Konstante ist, ebenfalls exakt. Kürzere Wellenlänge bedeutet mehr Energie pro Photon. Helleres Licht derselben Farbe bedeutet mehr Photonen, nicht energiereichere.

Rechenbeispiel 1. Das gelbe Licht einer Natriumdampflampe liegt bei etwa 589.0 nm. Seine Frequenz ist ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Ein Photon trägt E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Multipliziere mit der Avogadro-Zahl, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, um die Energie für ein Mol Photonen zu erhalten: 2.031 × 10⁵ J oder 203.1 kJ/mol. Das ist vergleichbar mit der Energie einer schwachen chemischen Bindung, weshalb sichtbares und ultraviolettes Licht photochemische Reaktionen antreiben kann.

Der photoelektrische Effekt zeigt das Photonenbild unmittelbar. Licht löst nur dann Elektronen aus einem Metall, wenn jedes Photon mindestens die Austrittsarbeit Φ des Metalls trägt. Jede überschüssige Energie wird zur kinetischen Energie des Elektrons: KEmax = hν − Φ.

Rechenbeispiel 2. Angenommen, eine Metalloberfläche hat eine Grenzwellenlänge von 540 nm (ein für diese Übung vorgegebener Wert). Ihre Austrittsarbeit ist Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Violettes Licht bei 405 nm hat Photonen mit 4.905 × 10⁻¹⁹ J, also KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Auf drei signifikante Stellen gerundet sind das 1.23 × 10⁻¹⁹ J oder 0.765 eV. Rotes Licht bei 650 nm löst, egal wie intensiv, keine Elektronen aus, weil jedes Photon nur 3.06 × 10⁻¹⁹ J hat.

Warum Atome Linienspektren statt Regenbögen liefern

Ein heißer Festkörper, etwa ein Glühfaden, sendet ein kontinuierliches Spektrum aus. Ein heißes Gas aus Atomen bei niedrigem Druck sendet nur bestimmte Wellenlängen aus. Elektronen in einem Atom können nur bestimmte Energieniveaus besetzen. Fällt ein Elektron von einem höheren auf ein niedrigeres Niveau, sendet das Atom ein einzelnes Photon aus, dessen Energie dem Abstand entspricht: ΔE = hν. Weil es nur bestimmte Abstände gibt, erscheinen nur bestimmte Wellenlängen.

Absorption ist die Umkehrung. Schickt man weißes Licht durch ein kühles Gas, entfernen die Atome genau die Wellenlängen, die zu ihren Sprüngen nach oben passen, und hinterlassen dunkle Linien in einem sonst kontinuierlichen Spektrum. Ein Sprung zwischen denselben zwei Niveaus hat dieselbe Wellenlänge, ob das Atom absorbiert oder emittiert. Die Menge der Abstände ist für jedes Element einzigartig, daher identifizieren Spektren Elemente in Flammen, Lampen und fernen Sternen.

Energieniveaus des Wasserstoffs und die Rydberg-Gleichung

Bei einem Ein-Elektronen-Atom folgen die Energieniveaus einer einfachen Formel. OpenStax Chemistry 2e (Abschnitt 6.2) gibt Eₙ = −kZ²/n² an, mit k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z der Kernladung und n = 1, 2, 3, …. Die Energie ist negativ, weil das gebundene Elektron energetisch tiefer liegt als ein freies, ruhendes Elektron, dessen Energie auf null gesetzt wird. Mit wachsendem n rücken die Niveaus immer dichter gegen null zusammen.

Das Photon, das ausgesendet wird, wenn das Elektron von nᵢ auf ein niedrigeres n_f fällt, hat die Energie ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Division durch hc ergibt die Rydberg-Gleichung für Wasserstoff, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), mit R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Rechenbeispiel 3. Bestimme die Wellenlänge der Wasserstofflinie n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, wobei bis zum Schluss eine zusätzliche Stelle mitgeführt wird. Mit hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m ist λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m oder 656.4 nm. Das NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data gibt diese rote Linie in Luft mit 656.3 nm an. Der Unterschied in der letzten Stelle kommt von der Rundung von k und von der etwas geringeren Lichtgeschwindigkeit in Luft.

Rechenbeispiel 4. Die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs ist die Energie, die nötig ist, um das Elektron von n = 1 nach n = ∞ zu bringen, und das ist k selbst: 2.179 × 10⁻¹⁸ J pro Atom. Pro Mol: (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J oder 1312 kJ/mol. Der Wert der NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, entspricht umgerechnet 1312.0 kJ/mol.

Lyman-, Balmer- und Paschen-Serie

Linien, die auf demselben unteren Niveau enden, bilden eine Serie. In jeder Serie rücken die Linien mit wachsendem nᵢ enger zusammen und nähern sich einer Seriengrenze, bei der das Elektron frei startet.

• Lyman-Serie, endet bei n = 1: ultraviolett. Die Linie 2 → 1 liegt bei 121.6 nm, und die Seriengrenze liegt bei etwa 91.2 nm.
• Balmer-Serie, endet bei n = 2: die vier sichtbaren Wasserstofflinien, bei etwa 656, 486, 434 und 410 nm für nᵢ = 3, 4, 5 und 6. Die Seriengrenze liegt bei etwa 365 nm, im Ultravioletten.
• Paschen-Serie, endet bei n = 3: infrarot. Die Linie 4 → 3 liegt bei etwa 1875 nm.

Fehler bei Spektren und schnelle Kontrollen

Die meisten Fehler bei diesen Aufgaben sind Einheiten- oder Vorzeichenfehler. Zwei Kontrollen fangen die meisten ab: Ein sichtbares Photon sollte ungefähr 2.8 bis 5.0 × 10⁻¹⁹ J tragen, und ein größerer Energieabstand muss eine kürzere Wellenlänge ergeben.

• Die Wellenlänge in Nanometern belassen, wenn man c = λν oder E = hc/λ verwendet. Rechne zuerst in Meter um.
• Die Rydberg-Gleichung mit vertauschtem nᵢ und n_f verwenden, was eine negative Wellenlänge ergibt.
• Erwarten, dass jede Wasserstofflinie sichtbar ist. Die gesamte Lyman-Serie liegt im Ultravioletten und die Paschen-Serie im Infraroten.
• Glauben, helleres Licht löse schnellere Photoelektronen aus. Die Intensität ändert die Zahl der Elektronen, nicht ihre maximale Energie.
• Eₙ = −kZ²/n² auf Helium oder ein anderes Atom mit mehr als einem Elektron anwenden. Die Formel gilt nur für Ein-Elektronen-Spezies wie H, He⁺ und Li²⁺.
• Die Avogadro-Zahl vergessen, wenn man eine Energie pro Photon in kJ/mol umrechnet, oder sie doppelt anwenden.

Was das Bohrsche Bild erklärt und wo es endet

Bohrs Modell des Wasserstoffatoms, mit dem Elektron auf Kreisbahnen fester Energie, gibt die Wasserstofflinien und die Skalierung mit Z² für Ionen wie He⁺ wieder. Bei He⁺ ist jede Übergangsenergie des Wasserstoffs viermal so groß, daher liegt seine Linie 2 → 1 bei etwa 30.4 nm.

Das Modell versagt bei Atomen mit zwei oder mehr Elektronen, weil die Abstoßung zwischen den Elektronen die Niveaus verändert. Außerdem stellt es Elektronen auf festen Bahnen dar, was die Quantenmechanik ausschließt. Die moderne Theorie behält Bohrs Energieniveaus für Wasserstoff bei, ersetzt aber Bahnen durch Orbitale, die beschreiben, wo ein Elektron wahrscheinlich anzutreffen ist.