Dimensionsanalyse og enhedsomregninger

Hvorfor en omregningsfaktor er et forklædt 1-tal

En ligning som 1 L = 1000 mL siger, at de to sider beskriver den samme mængde. Dividerer du den ene side med den anden, får du derfor et forhold, der er præcis 1: (1000 mL / 1 L) = 1 og (1 L / 1000 mL) = 1. At gange en størrelse med 1 ændrer ikke størrelsen; det ændrer kun, hvordan den udtrykkes. Det er hele begrundelsen for metoden.

Fordi hver ligning giver to forhold, vælger du den orientering, der forkorter den enhed, du har, og efterlader den enhed, du ønsker. For at omregne 0.355 L til milliliter skriver du 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Literne forkortes væk, fordi L står én gang i en tæller og én gang i en nævner. Hvis enhederne ikke forkortes, er faktoren vendt på hovedet, og det ved du, før du har regnet noget som helst.

Eksakte og målte ligheder

Nogle ligheder er definitioner og er eksakte: ethvert SI-præfiks (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ og 1 tomme = 2.54 cm. Eksakte faktorer begrænser aldrig betydende cifre. Andre ligheder stammer fra målinger, for eksempel en massefylde eller massen af én mønt, og deres betydende cifre tælles som for enhver anden målt værdi.

Præfiksfaktorer er den hyppigste kilde til fejl med faktorer, der er vendt forkert. Læs 1 µg = 10⁻⁶ g som: ét mikrogram er en milliontedel gram. Den lille enhed får 1-tallet, og den store enhed får den lille tierpotens, eller tilsvarende 1 g = 10⁶ µg. Hvis du skriver 1 g = 10⁻⁶ µg, vender du forholdet om med en faktor 10¹².

• Længde: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 tomme = 2.54 cm (eksakt).
• Volumen: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Masse: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Tid: 1 h = 60 min = 3600 s.

At kæde flere faktorer sammen på én linje

Når ingen enkelt lighed forbinder start- og målenheden, ganger du en kæde af faktorer, hvor hver især forkorter den enhed, som den foregående indførte. Hvis du skriver hele kæden, før du regner, kan du kontrollere forkortningen med et blik og undgå afrunding mellem trinnene.

Gennemregnet eksempel 1. En pumpe leverer opløsningsmiddel med 1.75 mL/min. Hvad er flowet i liter i timen? To enheder skal ændres, én i tælleren og én i nævneren. Opstil 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Milliliter forkortes væk, minutter forkortes væk, og L/h er tilbage. Regnestykket er 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Begge faktorer er eksakte, så svaret beholder de tre betydende cifre fra 1.75 mL/min.

Et hurtigt rimelighedstjek hjælper her: en time er 60 minutter, så volumenet pr. time må være større end pr. minut, omkring 105 mL. Udtrykt i liter er det cirka en tiendedel liter, hvilket passer med 0.105 L/h.

Kvadrerede og kuberede enheder kræver kvadrerede og kuberede faktorer

En afledt enhed som cm³ betyder cm × cm × cm. Omregning kræver, at længdefaktoren anvendes én gang for hver dimension, hvilket du gør ved at opløfte hele faktoren, tal og enhed sammen, til den tilsvarende potens. (1 m / 100 cm)³ er lig med 1 m³ / 10⁶ cm³, ikke 1 m³ / 100 cm³.

Gennemregnet eksempel 2. Et opbevaringsskab har et indre volumen på 0.0465 m³. Udtryk det i kubikcentimeter og i liter. I kubikcentimeter: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. I liter bruger du 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Som en krydskontrol giver 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) også 46.5 L.

Rater og andre sammensatte enheder følger samme logik. Et tryk i N/m², en hastighed i m/s og en koncentration i mol/L får hver især alle enheder omregnet hver for sig, med respekt for eksponenterne.

Massefylde som bro mellem masse og volumen

Massefylde er masse divideret med volumen, så den fungerer som omregningsfaktor i begge orienteringer: (g / mL) gør et volumen til en masse, og (mL / g) gør en masse til et volumen. I modsætning til præfiksfaktorer er en massefylde målt, afhænger af temperaturen og begrænser betydende cifre.

Gennemregnet eksempel 3. OpenStax Chemistry 2e (Table 1.4) angiver massefylden af glycerin som 1.26 g/cm³ nær stuetemperatur. Hvilket volumen glycerin indeholder 15.0 g? Vend massefylden om, så gram forkortes: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, hvilket er 11.9 mL, fordi 1 cm³ = 1 mL præcist. Lommeregneren viser 11.905, og begge størrelser har tre betydende cifre.

Nu den anden vej gennem en længere kæde: hvad er massen i kilogram af 2.50 L glycerin? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. En liter vand har en masse tæt på 1 kg, og glycerin er lidt tættere end vand, så noget mere end 2.5 kg er rimeligt.

Temperaturskalaer og andre omregninger med forskydning

Faktor-mærkat-metoden håndterer proportionale sammenhænge, hvor nul i den ene enhed betyder nul i den anden. Celsius-, Fahrenheit- og kelvinskalaerne har ikke fælles nulpunkt, så omregning af en temperatur kræver en ligning med et tillagt led: T(K) = T(°C) + 273.15 og T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. For eksempel er 21.47 °C lig med 21.47 + 273.15 = 294.62 K og 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Temperaturændringer er anderledes. En ændring på 1 °C svarer til en ændring på 1 K og en ændring på 1.8 °F, uden forskydning, fordi forskydningen forsvinder, når du trækker to temperaturer fra hinanden. Hav forskellen i baghovedet, når en varme- eller hastighedsligning bruger ΔT frem for T.

Omregningsfejl og hvordan du opdager dem

Dimensionsanalyse garanterer, at den endelige enhed er rigtig, hvis hver faktor er en sand lighed. Den garanterer ikke, at du har valgt den rigtige størrelse, så kombiner enhedskontrol med et overslag over størrelsen.

Før du ganger, så afgør, om tallet skal vokse eller skrumpe. Omregning til en mindre enhed, for eksempel fra liter til milliliter, giver et større tal; omregning til en større enhed giver et mindre. Hvis resultatet går den forkerte vej, har en faktor sine tal byttet om, og det er netop, hvad et forkert husket præfiks gør, selv når enhederne ser ud til at forkorte væk.

• Omvendt faktor: hvis den enhed, du ville fjerne, består, så vend den faktor.
• Omvendt præfiks: kontrollér, at den mindre enhed har det større antal, som i 1 kg = 1000 g.
• At glemme potensen: faktorer for areal og volumen skal kvadreres eller kuberes, tallet inklusive.
• At droppe enheder midt i beregningen: skriv enheder ved hvert tal, så en manglende forkortning forbliver synlig.
• At behandle en målt faktor som eksakt: en massefylde eller en målt masse pr. enhed begrænser betydende cifre.
• Rigtige enheder, forkert fysik: gram opløsning og gram opløst stof forkortes begge som g, så mærk hver størrelse med det, den beskriver.