Rozměrová analýza a převody jednotek

Proč je převodní faktor zamaskovaná jednička

Rovnost jako 1 L = 1000 mL říká, že obě strany popisují totéž množství. Podíl jedné strany a druhé proto dává poměr rovný přesně 1: (1000 mL / 1 L) = 1 a (1 L / 1000 mL) = 1. Vynásobením veličiny jedničkou se veličina nezmění; mění se jen způsob jejího vyjádření. To je celé zdůvodnění metody.

Protože každá rovnost dává dva poměry, vyberete tu orientaci, která zkrátí jednotku, kterou máte, a zanechá jednotku, kterou chcete. Chcete-li převést 0.355 L na mililitry, napište 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Litry se zkrátí, protože L se vyskytuje jednou v čitateli a jednou ve jmenovateli. Pokud se jednotky nezkrátí, je faktor obrácený, a víte to ještě před jakýmkoli počítáním.

Přesné a naměřené rovnosti

Některé rovnosti jsou definice a jsou přesné: každá předpona SI (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ a 1 palec = 2.54 cm. Přesné faktory platné číslice nikdy neomezují. Jiné rovnosti vycházejí z měření, například hustota nebo hmotnost jedné mince, a jejich platné číslice se počítají jako u kterékoli jiné naměřené hodnoty.

Faktory s předponami jsou nejčastějším zdrojem chyb s obráceným faktorem. Zápis 1 µg = 10⁻⁶ g čtěte tak, že jeden mikrogram je miliontina gramu. Malá jednotka dostane jedničku a velká jednotka malou mocninu deseti, nebo ekvivalentně 1 g = 10⁶ µg. Zápis 1 g = 10⁻⁶ µg obrací vztah o faktor 10¹².

• Délka: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 palec = 2.54 cm (přesně).
• Objem: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Hmotnost: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Čas: 1 h = 60 min = 3600 s.

Řetězení několika faktorů v jednom řádku

Pokud žádná jediná rovnost nespojuje výchozí a cílové jednotky, vynásobte řetěz faktorů, z nichž každý zkrátí jednotku zavedenou předchozím. Zápis celého řetězce před počítáním vám umožní zkontrolovat krácení jediným pohledem a vyhnout se zaokrouhlování mezi kroky.

Řešený příklad 1. Čerpadlo dodává rozpouštědlo rychlostí 1.75 mL/min. Jaký je průtok v litrech za hodinu? Musí se změnit dvě jednotky, jedna v čitateli a jedna ve jmenovateli. Sestavte 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Mililitry se zkrátí, minuty se zkrátí a zůstane L/h. Výpočet je 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Oba faktory jsou přesné, takže odpověď si ponechá tři platné číslice z 1.75 mL/min.

Užitečná je zde rychlá kontrola věrohodnosti: hodina má 60 minut, takže objem za hodinu musí být větší než za minutu, asi 105 mL. Vyjádřeno v litrech je to zhruba desetina litru, což odpovídá 0.105 L/h.

Druhé a třetí mocniny jednotek potřebují druhé a třetí mocniny faktorů

Odvozená jednotka jako cm³ znamená cm × cm × cm. Při jejím převodu je třeba použít délkový faktor jednou pro každý rozměr, což uděláte tak, že celý faktor, číslo i jednotku společně, umocníte na odpovídající mocninu. (1 m / 100 cm)³ se rovná 1 m³ / 10⁶ cm³, nikoli 1 m³ / 100 cm³.

Řešený příklad 2. Úložná skříň má vnitřní objem 0.0465 m³. Vyjádřete jej v krychlových centimetrech a v litrech. V krychlových centimetrech: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. V litrech použijte 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Pro kontrolu dá 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) také 46.5 L.

Rychlosti a jiné složené jednotky se řídí stejnou logikou. U tlaku v N/m², rychlosti v m/s a koncentrace v mol/L se každá jednotka převádí zvlášť, přičemž se respektují exponenty.

Hustota jako most mezi hmotností a objemem

Hustota je hmotnost dělená objemem, takže funguje jako převodní faktor v obou orientacích: (g / mL) převede objem na hmotnost a (mL / g) převede hmotnost na objem. Na rozdíl od faktorů s předponami je hustota naměřená, závisí na teplotě a omezuje platné číslice.

Řešený příklad 3. OpenStax Chemistry 2e (Tabulka 1.4) uvádí hustotu glycerolu 1.26 g/cm³ při teplotě blízké pokojové. Jaký objem glycerolu obsahuje 15.0 g? Obraťte hustotu tak, aby se zkrátily gramy: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, což je 11.9 mL, protože 1 cm³ = 1 mL přesně. Kalkulačka ukazuje 11.905 a oba vstupy mají tři platné číslice.

Nyní opačným směrem přes delší řetěz: jaká je hmotnost 2.50 L glycerolu v kilogramech? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Litr vody má hmotnost blízkou 1 kg a glycerol je o něco hustší než voda, takže o něco více než 2.5 kg je přiměřené.

Teplotní stupnice a jiné převody s posunem

Metoda faktorů a jednotek zvládá poměrové vztahy, kde nula v jedné jednotce znamená nulu ve druhé. Stupnice Celsia, Fahrenheita a Kelvina nemají společnou nulu, takže převod teploty vyžaduje rovnici s přičteným posunem: T(K) = T(°C) + 273.15 a T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Například 21.47 °C je 21.47 + 273.15 = 294.62 K a 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Změny teploty jsou jiné. Změna o 1 °C odpovídá změně o 1 K a změně o 1.8 °F, bez posunu, protože se posun při odečtení dvou teplot vyruší. Mějte tento rozdíl na paměti, když rovnice pro teplo nebo rychlost používá ΔT místo T.

Chyby při převodech a jak je odhalit

Rozměrová analýza zaručuje, že konečná jednotka je správná, pokud je každý faktor skutečnou rovností. Nezaručuje, že jste zvolili správnou veličinu, proto kontrolu jednotek spojte s odhadem velikosti.

Před násobením se rozhodněte, zda se má číslo zvětšit, nebo zmenšit. Převod na menší jednotku, například z litrů na mililitry, dává větší číslo; převod na větší jednotku dává menší číslo. Pokud výsledek jde špatným směrem, má některý faktor čísla obrácená, což je přesně to, co způsobí špatně zapamatovaná předpona, i když se jednotky zdánlivě zkrátí.

• Obrácený faktor: pokud jednotka, kterou jste chtěli odstranit, zůstane, převraťte ten faktor.
• Obrácená předpona: ověřte, že menší jednotka má větší počet, jako v 1 kg = 1000 g.
• Zapomenutá mocnina: faktory plochy a objemu je třeba umocnit na druhou nebo třetí, včetně čísla.
• Vynechání jednotek uprostřed výpočtu: pište jednotky ke každému číslu, aby chybějící krácení zůstalo vidět.
• Zacházení s naměřeným faktorem jako s přesným: hustota nebo naměřená hmotnost na kus omezuje platné číslice.
• Správné jednotky, špatná fyzika: gramy roztoku i gramy rozpuštěné látky se zkrátí jako g, proto ke každé veličině připište, co popisuje.