Kvantni brojevi i orbitale: pravila, brojanje i oblici

Elektroni kao talasi: de Broglieva talasna dužina

De Broglie je 1924. predložio da svaka čestica u kretanju ima talasnu dužinu λ = h/(mv), gdje je h Planckova konstanta, m masa, a v brzina. Za svakodnevne predmete talasna dužina je daleko premala da bi se primijetila. Bejzbolska loptica od 0.145 kg pri 40.0 m/s ima λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Za elektron, s masom od 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), talasna dužina je uporediva s veličinom atoma.

Riješeni primjer 1. Elektron koji se kreće brzinom 2.188 × 10⁶ m/s ima λ = h/(mv). Uz CODATA vrijednosti h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s i m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, odnosno 0.3324 nm. To je brzina koju Bohrov model pripisuje elektronu u najnižoj orbiti vodika, čiji je poluprečnik Bohrov radijus, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Obim orbite je 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, pa u nju stane jedna talasna dužina elektrona, uz slaganje bolje od 0.02%. Kvantizirani energijski nivoi su ono što dobijete kada talas elektrona mora stati u svoj prostor a da sam sebe ne poništi, slično kao što žica gitare može vibrirati samo na određenim frekvencijama.

Neodređenost i kraj stalnih orbita

Heisenbergov princip neodređenosti postavlja granicu koliko se dobro položaj i impuls mogu istovremeno znati: Δx·Δp ≥ ħ/2, gdje je ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Riješeni primjer 2. Ograničite elektron na područje široko 1.0 × 10⁻¹⁰ m, otprilike veličine atoma. Tada je Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, a Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Neodređenost brzine je znatan dio same brzine, pa određena putanja, poput orbite planete, za elektron u atomu nema smisla.

Kvantna mehanika zamjenjuje putanju talasnom funkcijom, ψ. Njen kvadrat, ψ², je gustoća vjerovatnoće: pomnožen zapreminom malog područja, daje vjerovatnoću da se elektron nađe u njemu. Orbitala je talasna funkcija za jedan elektron, a poznate slike orbitala su površine koje obuhvataju većinu te vjerovatnoće, često 90%.

Dopuštene vrijednosti n, l, mₗ i mₛ

Rješavanjem talasne jednačine za atom vodika dobijaju se tri kvantna broja, od kojih je svaki ograničen prethodnim. Četvrti opisuje spin elektrona. Ograničenja su sve što je važno.

• Glavni kvantni broj n = 1, 2, 3, …. Određuje ljusku i, kod vodika, energiju. Veći n znači veću orbitalu više energije.
• Orbitalni kvantni broj (kvantni broj ugaonog momenta) l = 0, 1, …, n − 1. Određuje podljusku i oblik: l = 0, 1, 2, 3 su s, p, d, f.
• Magnetni kvantni broj mₗ = −l, …, 0, …, +l, što daje 2l + 1 vrijednosti. Određuje orijentaciju orbitale u prostoru.
• Spinski kvantni broj mₛ = +½ ili −½. Ne zavisi od ostala tri.

Riješeni primjer: provjera šest skupova kvantnih brojeva

Da biste provjerili skup (n, l, mₗ, mₛ), provjerite svaki broj u odnosu na prethodni, redom. Zaustavite se na prvom kršenju pravila.

(3, 3, 0, +½) nije dopušten: l smije biti najviše n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) nije dopušten: uz l = 2, mₗ ide samo od −2 do +2. (3, 2, 1, 0) nije dopušten: mₛ mora biti +½ ili −½, nikada 0. (2, 1, −1, −½) je dopušten i opisuje elektron u 2p orbitali. (5, 0, 0, +½) je dopušten i opisuje 5s elektron. (4, 3, −3, +½) je dopušten i opisuje 4f elektron.

Da biste imenovali orbitalu iz dopuštenog skupa, napišite n, a iza njega slovo za l. Vrijednost mₗ bira jednu orbitalu unutar podljuske, ali u ovom zapisu ne mijenja njen naziv.

Brojanje orbitala i elektrona uz ograničenje

Pitanja brojanja postaju rutinska ako navedete dopuštene vrijednosti l, zatim vrijednosti mₗ za svaku, i tek tada primijenite ograničenje. Svaka orbitala, odnosno svaka dopuštena kombinacija (n, l, mₗ), prima dva elektrona, po jedan sa svakim spinom.

Ljuska s glavnim kvantnim brojem n sadrži n² orbitala i 2n² elektrona. Za n = 4, l može biti 0, 1, 2 ili 3, što daje 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitala i 32 elektrona.

Riješeni primjer 3. Koliko elektrona u atomu može imati n = 3 i mₗ = +1? Vrijednosti l za n = 3 su 0, 1 i 2. mₗ = +1 moguće je samo kada je l ≥ 1, pa postoji jedna takva orbitala u 3p i jedna u 3d: dvije orbitale, četiri elektrona. Koliko ih može imati n = 5 i mₛ = +½? Ljuska 5 ima 5² = 25 orbitala, svaku s jednim elektronom +½, dakle 25. Koliko ih može imati n = 4 i l = 2? To je podljuska 4d: 5 orbitala i 10 elektrona.

Oblici orbitala i brojanje čvorova

Čvor je mjesto na kojem je ψ, a time i vjerovatnoća pronalaska elektrona, jednaka nuli. Orbitala ukupno ima n − 1 čvorova. Od toga je l ugaonih čvorova, ravni ili konusa kroz jezgro, a preostalih n − l − 1 su radijalni čvorovi, sferne ljuske na stalnim udaljenostima. OpenStax Chemistry 2e (odjeljak 6.3) navodi pravilo za radijalne čvorove.

s orbitale (l = 0) su sferne i bez ugaonih čvorova, pa 2s orbitala ima jedan radijalni čvor, a 3s orbitala dva. p orbitale (l = 1) imaju dva režnja na suprotnim stranama jezgra s jednom čvornom ravni između njih; tri se označavaju pₓ, p_y i p_z prema osi duž koje su usmjerene. d orbitale (l = 2) imaju dva ugaona čvora. Četiri od njih imaju četiri režnja; peta, d_z², ima dva režnja duž ose z i prsten oko sredine.

Riješeni primjer 4. 3p orbitala ima 3 − 1 − 1 = 1 radijalni čvor i 1 ugaoni čvor. 4d orbitala ima 1 radijalni čvor i 2 ugaona čvora, ukupno 3. 3d orbitala nema radijalnih čvorova, a 6s orbitala ih ima 5.

Kada se orbitale u istoj ljusci razlikuju po energiji

Kod vodika energija zavisi samo od n, pa 3s, 3p i 3d imaju istu energiju. U atomima s više od jednog elektrona ostali elektroni neravnomjerno zaklanjaju jezgro. s elektron prodire bliže jezgru od p ili d elektrona iste ljuske, osjeća veći dio naboja jezgra i ima nižu energiju. Rezultat je cijepanje s < p < d < f unutar ljuske, koje određuje redoslijed popunjavanja obrađen u vodiču o elektronskim konfiguracijama.

Orbitale u istoj podljusci, poput tri 2p orbitale, u izoliranom atomu ostaju jednake energije. Nazivaju se degeneriranim. Okolni atomi u molekuli ili kristalu mogu narušiti tu degeneraciju.

Greške s kvantnim brojevima koje treba provjeriti

Gotovo svaka greška potiče od preskakanja koraka ispisivanja. Kad niste sigurni, ispišite svaku dopuštenu vrijednost prije brojanja.

• Dopuštanje da l bude jednak n. Najveći dopušteni l je n − 1, pa ne postoje orbitale 1p ni 2d.
• Brojanje vrijednosti mₗ od 0 do l umjesto od −l do +l, čime se orbitale podbroje.
• Brojanje orbitala kada pitanje traži elektrone, ili obrnuto. Svaka orbitala prima dva elektrona.
• Dodjeljivanje mₛ vrijednosti 0 ili 1. Spin je isključivo +½ ili −½.
• Upotreba n − l − 1 kao ukupnog broja čvorova. Ta formula broji samo radijalne čvorove; ukupan broj je n − 1.
• Tretiranje granične površine od 90% kao oštre ivice. Elektronska gustoća postepeno opada i nema oštru granicu.