সমাকলিত হার সূত্র: ঘনমাত্রা, সময় ও অর্ধায়ু

হার সূত্রকে সময়ের সাপেক্ষে ঘনমাত্রায় রূপান্তর

একটি অবকল হার সূত্র, যেমন হার = k[A], কোনো এক মুহূর্তে হারকে ঘনমাত্রার সঙ্গে যুক্ত করে। বিক্রিয়া চলার সঙ্গে [A] কমে, তাই হারও কমে। সময়ের সাপেক্ষে হার সূত্রের সমাকলন, যা ক্যালকুলাসের একটি ধাপ এবং প্রতিটি সমস্যায় পুনরাবৃত্তি করার দরকার নেই, যেকোনো সময় t-তে [A]-এর জন্য প্রারম্ভিক ঘনমাত্রা [A]₀ ও হার ধ্রুবক k-এর মাধ্যমে একটি সমীকরণ দেয়।

নিচের সমীকরণগুলো স্থির তাপমাত্রায় সেইসব বিক্রিয়ায় প্রযোজ্য যাদের হার একটি বিক্রিয়ক A-এর ঘনমাত্রার ওপর নির্ভর করে। অন্য বিক্রিয়কগুলো এত বেশি অতিরিক্ত পরিমাণে থাকলে যে তাদের ঘনমাত্রা প্রায় বদলায় না, তখনও এগুলো প্রযোজ্য। সেই অবস্থাকে ছদ্ম-প্রথম ক্রমের (বা ছদ্ম-শূন্য ক্রমের) আচরণ বলা হয়।

পাশাপাশি রাখার মতো তিনটি সমীকরণ

প্রতিটি সমাকলিত হার সূত্রকে সাজিয়ে একটি সরলরেখার রূপ, y = mx + b, দেওয়া যায়, যেখানে x-অক্ষে সময়। অর্ধায়ু, t½, হলো [A]-এর বর্তমান মানের অর্ধেকে নামতে প্রয়োজনীয় সময়। প্রতিটি সমীকরণে [A] = ½[A]₀ বসিয়ে এটি পাওয়া যায়।

কেবল প্রথম ক্রমের অর্ধায়ু ঘনমাত্রার ওপর নির্ভর করে না। এই একটি তথ্যই ব্যাখ্যা করে কেন তেজস্ক্রিয় ক্ষয়সহ প্রথম ক্রমের প্রক্রিয়াগুলোকে এত প্রায়ই তাদের অর্ধায়ু দিয়ে বর্ণনা করা হয়।

• শূন্য ক্রম: [A] = [A]₀ − kt। t-এর সাপেক্ষে [A]-এর লেখচিত্র −k ঢালের একটি সরলরেখা। অর্ধায়ু: t½ = [A]₀/(2k), তাই বিক্রিয়া এগোনোর সঙ্গে এটি ছোট হয়।
• প্রথম ক্রম: ln[A] = ln[A]₀ − kt, বা [A] = [A]₀e⁻ᵏᵗ। t-এর সাপেক্ষে ln[A]-এর লেখচিত্র −k ঢালের একটি সরলরেখা। অর্ধায়ু: t½ = ln 2 / k = 0.693/k, প্রতিটি পর্যায়ে একই।
• দ্বিতীয় ক্রম: 1/[A] = 1/[A]₀ + kt। t-এর সাপেক্ষে 1/[A]-এর লেখচিত্র +k ঢালের একটি সরলরেখা। অর্ধায়ু: t½ = 1/(k[A]₀), তাই প্রতিটি অর্ধায়ু আগেরটির দ্বিগুণ দীর্ঘ।

সমাধান করা উদাহরণ: সাইক্লোবিউটেন, একটি প্রথম ক্রমের বিয়োজন

OpenStax অনুচ্ছেদ 12.4 সাইক্লোবিউটেনের বিয়োজন, C₄H₈ → 2 C₂H₄, এর জন্য 500 °C-এ প্রথম ক্রমের হার ধ্রুবক 9.2 × 10⁻³ s⁻¹ দেয়। অর্ধায়ু t½ = 0.693 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 75 s, k-এর সঙ্গে মিলিয়ে দুটি সার্থক অঙ্কে।

3.00 min পরে সাইক্লোবিউটেনের কত ভগ্নাংশ অবশিষ্ট থাকে? আগে সময়কে সেকেন্ডে রূপান্তর করুন, কারণ k s⁻¹-এ: t = 180 s। সূচক kt = (9.2 × 10⁻³ s⁻¹)(180 s) = 1.656, তাই [A]/[A]₀ = e⁻ᵏᵗ = e-এর ঘাত −1.656 = 0.19, এবং 19 শতাংশ অবশিষ্ট থাকে। প্রারম্ভিক ঘনমাত্রা 0.0800 mol/L হলে [A] = 0.0800 × 0.19 = 0.015 mol/L। ভগ্নাংশটি বের করতে আপনার প্রারম্ভিক ঘনমাত্রা লাগেনি। এটি কেবল প্রথম ক্রমের বিক্রিয়ার ক্ষেত্রেই সত্য।

মূল পরিমাণের 5.0 শতাংশে নামতে কত সময় লাগে? সাজিয়ে লিখুন t = ln([A]₀/[A]) / k = ln(1/0.050) / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 2.996 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 3.3 × 10² s, প্রায় 5.4 min। যাচাই হিসেবে, এটি প্রায় 4.3টি অর্ধায়ু, এবং (½)⁴·³ ≈ 0.05।

সমাধান করা উদাহরণ: বিউটাডাইনের দ্বিতয়ীকরণ, একটি দ্বিতীয় ক্রমের বিক্রিয়া

বিউটাডাইন অণুগুলো জোড়ায় জোড়ায় যুক্ত হয়, 2 C₄H₆ → C₈H₁₂, এমন একটি বিক্রিয়ায় যা বিউটাডাইনের সাপেক্ষে দ্বিতীয় ক্রমের। OpenStax অনুচ্ছেদ 12.4 এর বর্ণিত শর্তে k = 5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ উদ্ধৃত করে। [C₄H₆]₀ = 0.0500 mol/L দিয়ে শুরু করুন।

প্রথম অর্ধায়ু t½ = 1/(k[A]₀) = 1 / (5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ × 0.0500 mol/L) = 347 min। দ্বিতীয় অর্ধায়ু শুরু হয় 0.0250 mol/L-এ এবং স্থায়ী হয় 1/(5.76 × 10⁻² × 0.0250) = 694 min, দ্বিগুণ দীর্ঘ। ঘনমাত্রা কমার সঙ্গে অর্ধায়ু বাড়া দ্বিতীয় ক্রমের গতিবিদ্যার বৈশিষ্ট্যসূচক চিহ্ন।

2.00 h পরের ঘনমাত্রা বের করতে মিনিট ব্যবহার করুন যাতে একক k-এর সঙ্গে মেলে: t = 120 min। 1/[A] = 1/0.0500 + (5.76 × 10⁻²)(120) = 20.0 + 6.912 = 26.91 L/mol, তাই [A] = 0.0372 mol/L। উত্তরটি প্রারম্ভিক মানের চেয়ে কম এবং তার অর্ধেকের চেয়ে বেশি, যেমনটা প্রথম অর্ধায়ুর চেয়ে কম সময়ে হওয়া উচিত।

প্রথম ক্রমের সমস্যায় অর্ধায়ু গোনা

প্রথম ক্রমের বিক্রিয়ায় n-টি অর্ধায়ুর পরে অবশিষ্ট ভগ্নাংশ (½)ⁿ। একটি অর্ধায়ুর পরে 50 শতাংশ অবশিষ্ট থাকে; দুটির পরে 25 শতাংশ; তিনটির পরে 12.5 শতাংশ। লক্ষ্য ঘনমাত্রা পূর্ণসংখ্যক অর্ধেক-করণ দূরে থাকলে লগারিদম ব্যবহার না করে গুনেই বের করা যায়।

সমাধান করা উদাহরণ। OpenStax অনুচ্ছেদ 12.4 জানায় যে 40 °C-এ হাইড্রোজেন পারক্সাইড প্রথম ক্রমের গতিবিদ্যায় বিয়োজিত হয়, যার অর্ধায়ু 2.16 × 10⁴ s, অর্থাৎ 6.00 h। হার ধ্রুবক k = 0.693 / (2.16 × 10⁴ s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹। 0.800 mol/L থেকে 0.100 mol/L-এ যাওয়া মানে তিনবার অর্ধেক হওয়া (0.800 → 0.400 → 0.200 → 0.100), তাই সময় লাগে 3 × 6.00 h = 18.0 h।

0.800 mol/L থেকে 0.150 mol/L-এর ক্ষেত্রে গণনাটি পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই সমীকরণ ব্যবহার করুন: t = ln(0.800/0.150) / k = 1.674 / (3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹) = 5.22 × 10⁴ s, বা 14.5 h। প্রত্যাশামতোই এটি দুটি অর্ধায়ু (12.0 h) ও তিনটি (18.0 h)-এর মাঝখানে পড়ে।

ঘনমাত্রা–সময় সারণি থেকে ক্রম নির্বাচন

কয়েকটি সময়ে মাপা ঘনমাত্রা থাকলে প্রতিটি রৈখিক রূপ যাচাই করুন। প্রতিটি বিন্দুর জন্য [A], ln[A] ও 1/[A] হিসাব করুন এবং দেখুন কোনটি প্রতিটি সমান সময়-ধাপে একই পরিমাণে বদলায়। বাস্তব, এলোমেলো ত্রুটিযুক্ত উপাত্তে তিনটিই অঙ্কন করে সবচেয়ে সোজা রেখাটি বেছে নিন, অথবা রৈখিক ফিটের সহসম্বন্ধ তুলনা করুন।

সমাধান করা উদাহরণ। নিচের উপাত্ত অনুশীলনের জন্য তৈরি। t = 0, 50, 100, 150 ও 200 s-এ [A] = 0.1000, 0.0667, 0.0500, 0.0400 ও 0.0333 mol/L। প্রতিটি 50 s ধাপে [A]-এর হ্রাস 0.0333, 0.0167, 0.0100 ও 0.0067 mol/L, যা ধ্রুবক নয়, তাই বিক্রিয়াটি শূন্য ক্রমের নয়। ln[A]-এর পরিবর্তন −0.405, −0.288, −0.223 ও −0.183, যা-ও ধ্রুবক নয়, তাই এটি প্রথম ক্রমেরও নয়। 1/[A]-এর মান 10.0, 15.0, 20.0, 25.0 ও 30.0 L/mol, প্রতি 50 s-এ 5.0 L/mol করে বাড়ে। বিক্রিয়াটি দ্বিতীয় ক্রমের, এবং ঢাল দেয় k = 5.0 / 50 s = 0.100 L mol⁻¹ s⁻¹।

অর্ধায়ুগুলো ক্রমটি নিশ্চিত করে। [A] 100 s-এ 0.100 থেকে 0.0500 mol/L-এ নেমেছে, এবং দ্বিতীয় ক্রমের সূত্র অনুমান করে যে পরের অর্ধেক-করণ, 0.0250 mol/L পর্যন্ত, সময় নেবে 1/(0.100 × 0.0500) = 200 s।

সমাকলিত হার সূত্রের উত্তর কোথায় ভুল হয়

বেশিরভাগ ভুল আসে সমীকরণ বা একক গুলিয়ে ফেলা থেকে। একটি দ্রুত যাচাই হলো: আপনার হিসাব করা প্রতিটি ঘনমাত্রা অবশ্যই [A]₀-এর চেয়ে কম এবং শূন্যের চেয়ে বেশি হবে।

• যে বিক্রিয়ার ক্রম আপনি প্রতিষ্ঠা করেননি তার জন্য প্রথম ক্রমের সমীকরণ ব্যবহার করা।
• সময়ের একক মিশিয়ে ফেলা: s⁻¹-এ k এবং মিনিটে t নিলে kt-এর মান 60 গুণ ভুল আসে।
• ln([A]/[A]₀) = kt লিখে ঋণচিহ্ন হারিয়ে ফেলা, যা সময়ের সঙ্গে ঘনমাত্রা বাড়িয়ে দেয়।
• যেখানে সমীকরণে ln (ভিত্তি e) লাগে সেখানে log (ভিত্তি 10) ব্যবহার করা।
• দ্বিতীয় ক্রমের বিক্রিয়ায় t½ = 0.693/k প্রয়োগ করা, যার অর্ধায়ু ঘনমাত্রার ওপর নির্ভর করে।
• 1/[A] লেখচিত্রের ঢালকে −k ধরা। দ্বিতীয় ক্রমের ক্ষেত্রে ঢাল +k।