Размерностен анализ и преобразуване на мерни единици

Защо преобразуващият множител е прикрито число 1

Равенство като 1 L = 1000 mL казва, че двете страни описват едно и също количество. Като разделите едната страна на другата, получавате отношение, равно на точно 1: (1000 mL / 1 L) = 1 и (1 L / 1000 mL) = 1. Умножението на дадена величина по 1 не я променя; променя се само начинът, по който е изразена. Това е цялата обосновка на метода.

Тъй като всяко равенство дава две отношения, избирате ориентацията, която съкращава единицата, която имате, и оставя желаната. За да преобразувате 0.355 L в милилитри, запишете 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Литрите се съкращават, защото L се появява веднъж в числител и веднъж в знаменател. Ако единиците не се съкращават, множителят е обърнат наопаки и го разбирате още преди каквато и да е аритметика.

Точни и измерени равенства

Някои равенства са определения и са точни: всяка SI приставка (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ и 1 инч = 2.54 cm. Точните множители никога не ограничават значещите цифри. Други равенства идват от измерване, като плътност или масата на една монета, и значещите им цифри се броят като при всяка друга измерена стойност.

Множителите с приставки са най-честият източник на грешки с обърнато отношение. Четете 1 µg = 10⁻⁶ g като: един микрограм е една милионна от грама. Малката единица получава 1, а голямата получава малката степен на десетката, или еквивалентно 1 g = 10⁶ µg. Записът 1 g = 10⁻⁶ µg обръща връзката с множител 10¹².

• Дължина: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 инч = 2.54 cm (точно).
• Обем: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Маса: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Време: 1 h = 60 min = 3600 s.

Верига от няколко множителя в един ред

Когато никое отделно равенство не свързва началната и целевата единица, умножавате верига от множители, всеки от които съкращава единицата, въведена от предишния. Ако запишете цялата верига, преди да смятате, можете да проверите съкращаването от пръв поглед и да избегнете закръгляне между стъпките.

Решен пример 1. Помпа подава разтворител със скорост 1.75 mL/min. Колко е дебитът в литри за час? Трябва да се променят две единици, едната в числителя и другата в знаменателя. Запишете 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Милилитрите се съкращават, минутите се съкращават и остава L/h. Аритметиката е 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. И двата множителя са точни, така че отговорът запазва трите значещи цифри на 1.75 mL/min.

Тук помага бърза проверка за правдоподобност: часът е 60 минути, така че обемът за час трябва да е по-голям от този за минута – около 105 mL. Изразено в литри, това е приблизително една десета от литъра, което съвпада с 0.105 L/h.

Квадратните и кубичните единици изискват квадратни и кубични множители

Производна единица като cm³ означава cm × cm × cm. Преобразуването ѝ изисква да приложите множителя за дължина по веднъж за всяко измерение, което правите, като повдигнете целия множител – число и единица заедно – на съответната степен. (1 m / 100 cm)³ е равно на 1 m³ / 10⁶ cm³, а не на 1 m³ / 100 cm³.

Решен пример 2. Шкаф за съхранение има вътрешен обем 0.0465 m³. Изразете го в кубични сантиметри и в литри. В кубични сантиметри: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. В литри използвайте 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Като кръстосана проверка, 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) също дава 46.5 L.

Скоростите и другите съставни единици следват същата логика. Налягане в N/m², скорост в m/s и концентрация в mol/L – във всяка от тях всяка единица се преобразува отделно, като се съблюдават степените.

Плътността като мост между маса и обем

Плътността е маса, разделена на обем, затова работи като преобразуващ множител и в двете ориентации: (g / mL) превръща обем в маса, а (mL / g) превръща маса в обем. За разлика от множителите с приставки, плътността е измерена, зависи от температурата и ограничава значещите цифри.

Решен пример 3. OpenStax Chemistry 2e (Таблица 1.4) дава плътността на глицерина като 1.26 g/cm³ при стайна температура. Какъв обем глицерин съдържа 15.0 g? Обърнете плътността, така че грамовете да се съкратят: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, което е 11.9 mL, защото 1 cm³ = 1 mL точно. Калкулаторът показва 11.905 и двете входни стойности имат по три значещи цифри.

Сега минете в обратната посока по по-дълга верига: каква е масата в килограми на 2.50 L глицерин? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Един литър вода има маса близо до 1 kg, а глицеринът е малко по-плътен от водата, така че малко повече от 2.5 kg е правдоподобно.

Температурни скали и други преобразувания с отместване

Методът на множителите с единици се справя с пропорционални зависимости, при които нулата в едната единица означава нула в другата. Скалите на Целзий, Фаренхайт и келвин нямат обща нула, затова преобразуването на температура изисква уравнение с добавено отместване: T(K) = T(°C) + 273.15 и T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Например 21.47 °C са 21.47 + 273.15 = 294.62 K и 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Промените на температурата са различни. Промяна от 1 °C е равна на промяна от 1 K и на промяна от 1.8 °F, без отместване, защото отместването се съкращава, когато изваждате две температури. Помнете тази разлика, когато уравнение за топлина или скорост използва ΔT, а не T.

Грешки при преобразуване и как да ги откриете

Размерностният анализ гарантира, че крайната единица е вярна, ако всеки множител е истинско равенство. Той не гарантира, че сте избрали правилната величина, затова съчетавайте проверката на единиците с оценка на порядъка.

Преди да умножавате, преценете дали числото трябва да расте, или да намалява. Преобразуването в по-малка единица, например от литри в милилитри, дава по-голямо число; преобразуването в по-голяма единица дава по-малко. Ако резултатът се движи в грешната посока, някой множител има обърнати числа – точно това причинява неправилно запомнена приставка, дори когато единиците изглеждат съкратени.

• Обърнат множител: ако единицата, която искате да премахнете, остане, обърнете този множител.
• Обърната приставка: проверете дали по-малката единица има по-голямото число, както в 1 kg = 1000 g.
• Забравена степен: множителите за площ и обем трябва да се повдигнат на квадрат или куб, включително числото.
• Изпускане на единиците по средата на изчислението: пишете единици до всяко число, за да остава видимо липсващото съкращаване.
• Третиране на измерен множител като точен: плътността или измерената маса на брой предмети ограничават значещите цифри.
• Верни единици, грешна физика: грамове разтвор и грамове разтворено вещество се съкращават и двете като g, затова етикетирайте всяка величина с това, което описва.