قوانين السرعة المتكاملة: التركيز والزمن وعمر النصف

تحويل قانون السرعة لتركيز مقابل الزمن

قانون السرعة التفاضلي، زي rate = k[A]، بيربط السرعة بالتركيز في لحظة واحدة. ومع سير التفاعل، [A] بيقل، فالسرعة بتقل هي كمان. تكامل قانون السرعة على الزمن، وده خطوة تفاضل وتكامل مش محتاج تعيدها في كل مسألة، بيدّي معادلة لـ [A] عند أي زمن t بدلالة التركيز الابتدائي [A]₀ وثابت السرعة k.

المعادلات اللي تحت بتنطبق على التفاعلات اللي سرعتها بتعتمد على تركيز متفاعل واحد، A، عند درجة حرارة ثابتة. وبتنطبق كمان لما تكون فيه متفاعلات تانية موجودة بزيادة كبيرة لدرجة إن تركيزاتها بالكاد بتتغير. الوضع ده اسمه سلوك الرتبة الأولى الكاذبة (أو الرتبة الصفرية الكاذبة).

تلات معادلات خليهم جنب بعض

كل قانون سرعة متكامل ممكن يتعاد ترتيبه على شكل خط مستقيم، y = mx + b، والزمن على محور x. عمر النصف، t½، هو الوقت اللي [A] بياخده عشان ينزل لنص قيمته الحالية. وبيطلع من وضع [A] = ½[A]₀ في كل معادلة.

عمر النصف للرتبة الأولى بس هو اللي مش بيعتمد على التركيز. والحقيقة الواحدة دي بتفسّر ليه العمليات من الرتبة الأولى، ومنها الاضمحلال الإشعاعي، كتير بتتوصف بأعمار النصف بتاعتها.

• الرتبة الصفرية: [A] = [A]₀ − kt. رسم [A] مقابل t خط مستقيم ميله −k. عمر النصف: t½ = [A]₀/(2k)، فبيقصر كل ما التفاعل يتقدم.
• الرتبة الأولى: ln[A] = ln[A]₀ − kt، أو [A] = [A]₀e⁻ᵏᵗ. رسم ln[A] مقابل t خط مستقيم ميله −k. عمر النصف: t½ = ln 2 / k = 0.693/k، نفسه في كل مرحلة.
• الرتبة التانية: 1/[A] = 1/[A]₀ + kt. رسم 1/[A] مقابل t خط مستقيم ميله +k. عمر النصف: t½ = 1/(k[A]₀)، فكل عمر نصف أطول من اللي قبله مرتين.

مثال محلول: البيوتان الحلقي، تحلل من الرتبة الأولى

OpenStax في القسم 12.4 بتدّي ثابت السرعة من الرتبة الأولى لتحلل البيوتان الحلقي، C₄H₈ → 2 C₂H₄، بقيمة 9.2 × 10⁻³ s⁻¹ عند 500 °C. عمر النصف t½ = 0.693 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 75 s، لرقمين معنويين عشان يطابق k.

قد إيه كسر من البيوتان الحلقي فاضل بعد 3.00 min؟ حوّل الزمن لثواني الأول، لأن k بـ s⁻¹: t = 180 s. الأس kt = (9.2 × 10⁻³ s⁻¹)(180 s) = 1.656، فـ [A]/[A]₀ = e⁻ᵏᵗ = e مرفوعة للقوة −1.656 = 0.19، يعني 19 في المية فاضلين. لو التركيز الابتدائي كان 0.0800 mol/L، يبقى [A] = 0.0800 × 0.19 = 0.015 mol/L. مكنتش محتاج التركيز الابتدائي عشان تلاقي الكسر. وده بيحصل بس في تفاعلات الرتبة الأولى.

قد إيه وقت لحد ما ينزل لـ 5.0 في المية من الكمية الأصلية؟ أعد الترتيب لـ t = ln([A]₀/[A]) / k = ln(1/0.050) / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 2.996 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 3.3 × 10² s، حوالي 5.4 min. وللفحص، ده حوالي 4.3 عمر نصف، و(½)⁴·³ ≈ 0.05.

مثال محلول: تثنّي البيوتادايين، تفاعل من الرتبة التانية

جزيئات البيوتادايين بتتحد اتنين اتنين، 2 C₄H₆ → C₈H₁₂، في تفاعل من الرتبة التانية بالنسبة للبيوتادايين. OpenStax في القسم 12.4 بتذكر k = 5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ تحت الظروف اللي بتوصفها. ابدأ بـ [C₄H₆]₀ = 0.0500 mol/L.

عمر النصف الأول t½ = 1/(k[A]₀) = 1 / (5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ × 0.0500 mol/L) = 347 min. وعمر النصف التاني بيبدأ عند 0.0250 mol/L وبيستمر 1/(5.76 × 10⁻² × 0.0250) = 694 min، ضعف المدة. وعمر النصف اللي بيطول كل ما التركيز يقل هو العلامة المميزة لحركية الرتبة التانية.

عشان تلاقي التركيز بعد 2.00 h، استخدم الدقايق عشان الوحدات تطابق k: t = 120 min. 1/[A] = 1/0.0500 + (5.76 × 10⁻²)(120) = 20.0 + 6.912 = 26.91 L/mol، فـ [A] = 0.0372 mol/L. الإجابة أقل من القيمة الابتدائية وأكتر من نصها، زي ما لازم يحصل عند زمن أقصر من عمر النصف الأول.

عدّ أعمار النصف في مسائل الرتبة الأولى

في تفاعل من الرتبة الأولى، الكسر الفاضل بعد n عمر نصف هو (½)ⁿ. بعد عمر نصف واحد، بيفضل 50 في المية؛ وبعد اتنين، 25 في المية؛ وبعد تلاتة، 12.5 في المية. لما يكون التركيز المستهدف على بعد عدد صحيح من التنصيفات، تقدر تعدّ بدل ما تستخدم اللوغاريتمات.

مثال محلول. OpenStax في القسم 12.4 بتذكر إن فوق أكسيد الهيدروجين بيتحلل بحركية الرتبة الأولى عند 40 °C بعمر نصف 2.16 × 10⁴ s، يعني 6.00 h. ثابت السرعة k = 0.693 / (2.16 × 10⁴ s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹. الانتقال من 0.800 mol/L لـ 0.100 mol/L هو تلات تنصيفات (0.800 → 0.400 → 0.200 → 0.100)، فبياخد 3 × 6.00 h = 18.0 h.

من 0.800 mol/L لـ 0.150 mol/L العدد مش عدد صحيح، فاستخدم المعادلة: t = ln(0.800/0.150) / k = 1.674 / (3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹) = 5.22 × 10⁴ s، يعني 14.5 h. وده بيقع بين عمرين نصف (12.0 h) وتلاتة (18.0 h)، زي المتوقع.

اختيار الرتبة من جدول تركيز–زمن

لو عندك تركيزات متقاسة عند كذا زمن، اختبر كل شكل خطي. احسب [A] وln[A] و1/[A] لكل نقطة وشوف أنهي واحد بيتغير بنفس المقدار في كل خطوة زمنية متساوية. ومع البيانات الحقيقية اللي فيها تشويش، ارسم التلاتة واختار الخط الأكثر استقامة، أو قارن معامل الارتباط للتوفيقات الخطية.

مثال محلول. البيانات دي متعمولة للتدريب. عند t = 0 و50 و100 و150 و200 s، [A] = 0.1000 و0.0667 و0.0500 و0.0400 و0.0333 mol/L. النقص في [A] في كل خطوة 50 s هو 0.0333 و0.0167 و0.0100 و0.0067 mol/L، ومش ثابت، فالتفاعل مش من الرتبة الصفرية. والتغيرات في ln[A] هي −0.405 و−0.288 و−0.223 و−0.183، ومش ثابتة برضه، فهو مش من الرتبة الأولى. وقيم 1/[A] هي 10.0 و15.0 و20.0 و25.0 و30.0 L/mol، بتزيد 5.0 L/mol كل 50 s. التفاعل من الرتبة التانية، والميل بيدّي k = 5.0 / 50 s = 0.100 L mol⁻¹ s⁻¹.

أعمار النصف بتأكد الرتبة. [A] نزل من 0.100 لـ 0.0500 mol/L في 100 s، وصيغة الرتبة التانية بتتوقّع إن التنصيف اللي بعده، لـ 0.0250 mol/L، هياخد 1/(0.100 × 0.0500) = 200 s.

إجابات قوانين السرعة المتكاملة بتغلط فين

أغلب الأخطاء بتيجي من خلط المعادلات أو الوحدات. فحص سريع: أي تركيز بتحسبه لازم يبقى أصغر من [A]₀ وأكبر من صفر.

• استخدام معادلة الرتبة الأولى لتفاعل لسه ماثبتّش رتبته.
• خلط وحدات الزمن: k بـ s⁻¹ مع t بالدقايق بيدّي قيمة kt غلط بمعامل 60.
• كتابة ln([A]/[A]₀) = kt وضياع علامة السالب، وده بيخلّي التركيز يزيد مع الزمن.
• استخدام log (أساس 10) مكان ما المعادلة محتاجة ln (أساس e).
• تطبيق t½ = 0.693/k على تفاعل من الرتبة التانية، وعمر النصف فيه بيعتمد على التركيز.
• أخذ ميل رسم 1/[A] على إنه −k. في الرتبة التانية الميل +k.