کوانٹم اعداد اور آربیٹل: قواعد، گنتیاں اور شکلیں

الیکٹران بطور موج: ڈی بروگلی طولِ موج

1924 میں ڈی بروگلی نے تجویز کیا کہ ہر متحرک ذرے کا ایک طولِ موج λ = h/(mv) ہوتا ہے، جہاں h پلانک مستقل، m کمیت اور v رفتار ہے۔ روزمرہ اشیا کے لیے طولِ موج اتنا چھوٹا ہے کہ محسوس نہیں ہوتا۔ 40.0 m/s پر 0.145 kg کی بیس بال کا λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m ہے۔ الیکٹران کے لیے، جس کی کمیت 9.109 × 10⁻³¹ kg ہے (NIST CODATA)، طولِ موج ایٹم کی جسامت کے برابر ہوتا ہے۔

حل شدہ مثال 1۔ 2.188 × 10⁶ m/s پر حرکت کرتے الیکٹران کا λ = h/(mv) ہے۔ CODATA قدروں h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s اور m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg کے ساتھ λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m، یعنی 0.3324 nm۔ یہ وہی رفتار ہے جو بوہر کا ماڈل ہائیڈروجن کے سب سے نچلے مدار میں الیکٹران کو دیتا ہے، جس کا رداس بوہر رداس، a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA)، ہے۔ مدار کا محیط 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m ہے، اس لیے الیکٹران کا ایک طولِ موج اس کے گرد پورا آ جاتا ہے، اور مطابقت 0.02% سے بہتر ہے۔ توانائی کی مقداری سطحیں وہی ہیں جو تب ملتی ہیں جب الیکٹران کی موج کو خود کو منسوخ کیے بغیر اپنی جگہ میں سمانا ہو، بالکل ویسے جیسے گٹار کا تار صرف مخصوص تعدد پر تھرتھرا سکتا ہے۔

غیر یقینی اور مقررہ مداروں کا خاتمہ

ہائزن برگ کا اصولِ غیر یقینی اس کی حد مقرر کرتا ہے کہ مقام اور معیارِ حرکت کو ایک ساتھ کتنی اچھی طرح جانا جا سکتا ہے: Δx·Δp ≥ ħ/2، جہاں ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s۔

حل شدہ مثال 2۔ ایک الیکٹران کو 1.0 × 10⁻¹⁰ m چوڑے خطے میں قید کریں، جو تقریباً ایک ایٹم کی جسامت ہے۔ تب Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s، اور Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s۔ رفتار میں غیر یقینی خود رفتار کا ایک بڑا حصہ ہے، اس لیے ایٹم میں الیکٹران کے لیے کسی سیارے کے مدار جیسا متعین راستہ بے معنی ہے۔

کوانٹم میکانیات راستے کی جگہ موجی تفاعل، ψ، لاتی ہے۔ اس کا مربع، ψ²، احتمالی کثافت ہے: کسی چھوٹے خطے کے حجم سے ضرب دیں تو یہ وہاں الیکٹران ملنے کا احتمال دیتا ہے۔ آربیٹل ایک الیکٹران کا موجی تفاعل ہے، اور آربیٹل کی جانی پہچانی تصویریں وہ سطحیں ہیں جو اس احتمال کا زیادہ تر حصہ، اکثر 90%، گھیرتی ہیں۔

n، l، mₗ اور mₛ کی جائز قدریں

ہائیڈروجن ایٹم کے لیے موجی مساوات حل کرنے سے تین کوانٹم اعداد ملتے ہیں، جن میں سے ہر ایک اپنے سے پچھلے سے محدود ہوتا ہے۔ چوتھا الیکٹران کا گھماؤ بیان کرتا ہے۔ سارا کھیل انہی پابندیوں کا ہے۔

• بنیادی کوانٹم عدد n = 1، 2، 3، …۔ یہ خول اور، ہائیڈروجن میں، توانائی طے کرتا ہے۔ بڑے n کا مطلب بڑا، زیادہ توانائی والا آربیٹل ہے۔
• زاویائی معیارِ حرکت کا کوانٹم عدد l = 0، 1، …، n − 1۔ یہ ذیلی خول اور شکل طے کرتا ہے: l = 0، 1، 2، 3 بالترتیب s، p، d، f ہیں۔
• مقناطیسی کوانٹم عدد mₗ = −l، …، 0، …، +l، جس سے 2l + 1 قدریں ملتی ہیں۔ یہ خلا میں آربیٹل کی سمت بندی طے کرتا ہے۔
• گھماؤ کوانٹم عدد mₛ = +½ یا −½۔ یہ باقی تینوں پر منحصر نہیں۔

حل شدہ مثال: کوانٹم اعداد کے چھ مجموعوں کو پرکھنا

کسی مجموعے (n، l، mₗ، mₛ) کو پرکھنے کے لیے ہر عدد کو ترتیب وار اپنے سے پچھلے عدد کے مقابل جانچیں۔ پہلی خلاف ورزی پر رک جائیں۔

(3, 3, 0, +½) جائز نہیں: l زیادہ سے زیادہ n − 1 = 2 ہو سکتا ہے۔ (4, 2, −3, −½) جائز نہیں: l = 2 کے ساتھ mₗ صرف −2 سے +2 تک جاتا ہے۔ (3, 2, 1, 0) جائز نہیں: mₛ کو +½ یا −½ ہونا چاہیے، کبھی 0 نہیں۔ (2, 1, −1, −½) جائز ہے اور 2p آربیٹل میں ایک الیکٹران بیان کرتا ہے۔ (5, 0, 0, +½) جائز ہے اور ایک 5s الیکٹران بیان کرتا ہے۔ (4, 3, −3, +½) جائز ہے اور ایک 4f الیکٹران بیان کرتا ہے۔

کسی جائز مجموعے سے آربیٹل کا نام رکھنے کے لیے n لکھیں اور اس کے بعد l کا حرف۔ mₗ کی قدر ذیلی خول میں سے ایک آربیٹل چنتی ہے لیکن اس علامت نویسی میں اس کا نام نہیں بدلتی۔

کسی پابندی کے تحت آربیٹل اور الیکٹران گننا

گنتی کے سوالات معمول کی بات بن جاتے ہیں اگر آپ جائز l قدروں کی فہرست بنائیں، پھر ہر ایک کے لیے mₗ قدروں کی، اور صرف اس کے بعد پابندی لاگو کریں۔ ہر آربیٹل، یعنی ہر جائز (n، l، mₗ) امتزاج، دو الیکٹران رکھتا ہے، ہر گھماؤ کا ایک۔

بنیادی کوانٹم عدد n والے خول میں n² آربیٹل اور 2n² الیکٹران ہوتے ہیں۔ n = 4 کے لیے l کی قدر 0، 1، 2 یا 3 ہو سکتی ہے، جس سے 1 + 3 + 5 + 7 = 16 آربیٹل اور 32 الیکٹران ملتے ہیں۔

حل شدہ مثال 3۔ ایٹم میں کتنے الیکٹرانوں کے n = 3 اور mₗ = +1 ہو سکتے ہیں؟ n = 3 کے لیے l کی قدریں 0، 1 اور 2 ہیں۔ mₗ = +1 صرف تب ممکن ہے جب l ≥ 1 ہو، اس لیے ایسا ایک آربیٹل 3p میں اور ایک 3d میں ہے: دو آربیٹل، چار الیکٹران۔ کتنوں کے n = 5 اور mₛ = +½ ہو سکتے ہیں؟ خول 5 میں 5² = 25 آربیٹل ہیں، ہر ایک میں ایک +½ الیکٹران، اس لیے 25۔ کتنوں کے n = 4 اور l = 2 ہو سکتے ہیں؟ یہ 4d ذیلی خول ہے: 5 آربیٹل اور 10 الیکٹران۔

آربیٹل کی شکلیں اور نوڈ گننا

نوڈ وہ جگہ ہے جہاں ψ، اور اس لیے الیکٹران ملنے کا احتمال، صفر ہوتا ہے۔ ایک آربیٹل میں کل n − 1 نوڈ ہوتے ہیں۔ ان میں سے l زاویائی نوڈ ہیں، یعنی مرکزے سے گزرنے والی سطحیں یا مخروط، اور باقی n − l − 1 شعاعی نوڈ ہیں، یعنی مقررہ فاصلوں پر کروی خول۔ OpenStax Chemistry 2e (حصہ 6.3) شعاعی نوڈ کا قاعدہ دیتی ہے۔

s آربیٹل (l = 0) کروی ہوتے ہیں اور ان میں کوئی زاویائی نوڈ نہیں ہوتا، اس لیے 2s آربیٹل میں ایک شعاعی نوڈ اور 3s آربیٹل میں دو ہوتے ہیں۔ p آربیٹل (l = 1) میں مرکزے کے مخالف اطراف دو لوب ہوتے ہیں جن کے درمیان ایک نوڈی سطح ہوتی ہے؛ تینوں کو اس محور کے لحاظ سے جس کے ساتھ وہ رخ کرتے ہیں pₓ، p_y اور p_z کہا جاتا ہے۔ d آربیٹل (l = 2) میں دو زاویائی نوڈ ہوتے ہیں۔ ان میں سے چار کے چار لوب ہوتے ہیں؛ پانچویں، d_z²، کے z محور کے ساتھ دو لوب اور درمیان میں ایک حلقہ ہوتا ہے۔

حل شدہ مثال 4۔ 3p آربیٹل میں 3 − 1 − 1 = 1 شعاعی نوڈ اور 1 زاویائی نوڈ ہے۔ 4d آربیٹل میں 1 شعاعی نوڈ اور 2 زاویائی نوڈ ہیں، کل 3۔ 3d آربیٹل میں کوئی شعاعی نوڈ نہیں، اور 6s آربیٹل میں 5 ہیں۔

جب ایک ہی خول کے آربیٹل توانائی میں مختلف ہوں

ہائیڈروجن میں توانائی صرف n پر منحصر ہے، اس لیے 3s، 3p اور 3d کی توانائی ایک جیسی ہے۔ ایک سے زیادہ الیکٹران والے ایٹموں میں دوسرے الیکٹران مرکزے کو غیر یکساں طور پر ڈھانپتے ہیں۔ s الیکٹران اسی خول کے p یا d الیکٹران سے مرکزے کے زیادہ قریب نفوذ کرتا ہے، نیوکلیائی چارج کا زیادہ حصہ محسوس کرتا ہے اور کم توانائی کا ہوتا ہے۔ نتیجہ ایک خول کے اندر s < p < d < f کی تقسیم ہے، جو وہ بھرائی کی ترتیب طے کرتی ہے جس کا احاطہ الیکٹرانی ترتیبات کے رہنما میں کیا گیا ہے۔

ایک ہی ذیلی خول کے آربیٹل، جیسے تین 2p آربیٹل، الگ تھلگ ایٹم میں توانائی میں برابر رہتے ہیں۔ انہیں ہم توانائی کہا جاتا ہے۔ سالمے یا قلم میں گردونواح کے ایٹم اس ہم توانائی کو توڑ سکتے ہیں۔

کوانٹم اعداد کی وہ غلطیاں جن کی جانچ کرنی ہے

تقریباً ہر غلطی فہرست بنانے کا مرحلہ چھوڑنے سے آتی ہے۔ شک ہو تو گننے سے پہلے ہر جائز قدر لکھ لیں۔

• l کو n کے برابر ہونے دینا۔ سب سے بڑی جائز l قدر n − 1 ہے، اس لیے کوئی 1p یا 2d آربیٹل نہیں ہوتا۔
• mₗ قدریں −l سے +l تک گننے کی بجائے 0 سے l تک گننا، جس سے آربیٹل کم گنے جاتے ہیں۔
• جب سوال الیکٹران پوچھے تو آربیٹل گننا، یا اس کا الٹ۔ ہر آربیٹل میں دو الیکٹران ہوتے ہیں۔
• mₛ کو 0 یا 1 کی قدر دینا۔ گھماؤ صرف +½ یا −½ ہے۔
• n − l − 1 کو نوڈوں کی کل تعداد کے طور پر استعمال کرنا۔ یہ فارمولا صرف شعاعی نوڈ گنتا ہے؛ کل n − 1 ہے۔
• 90% حدی سطح کو سخت کنارہ سمجھنا۔ الیکٹرانی کثافت آہستہ آہستہ مدھم ہوتی ہے اور اس کی کوئی تیز حد نہیں ہوتی۔