تکملی شرح کے قوانین: ارتکاز، وقت اور نصف عمر

شرح کے قانون کو وقت کے مقابل ارتکاز میں بدلنا

تفرقی شرح کا قانون، جیسے شرح = k[A]، کسی ایک لمحے پر شرح کو ارتکاز سے جوڑتا ہے۔ تعامل چلنے کے ساتھ [A] گرتا ہے، اس لیے شرح بھی گرتی ہے۔ شرح کے قانون کا وقت کے ساتھ تکمل کرنا، جو احصا (کیلکولس) کا ایک قدم ہے جسے ہر مسئلے میں دہرانے کی ضرورت نہیں، کسی بھی وقت t پر [A] کے لیے ابتدائی ارتکاز [A]₀ اور شرح کے مستقل k کی صورت میں ایک مساوات دیتا ہے۔

نیچے کی مساواتیں ان تعاملات پر لاگو ہوتی ہیں جن کی شرح مستقل درجۂ حرارت پر ایک متعامل، A، کے ارتکاز پر منحصر ہو۔ یہ تب بھی لاگو ہوتی ہیں جب دوسرے متعاملات اتنی زیادہ مقدار میں موجود ہوں کہ ان کے ارتکاز بمشکل بدلیں۔ اس صورت کو کاذب اول درجے (یا کاذب صفر درجے) کا برتاؤ کہا جاتا ہے۔

تین مساواتیں جنہیں ساتھ ساتھ رکھنا ہے

ہر تکملی شرح کے قانون کو سیدھی لکیر، y = mx + b، کی صورت میں ترتیب دیا جا سکتا ہے، جس میں وقت x محور پر ہو۔ نصف عمر، t½، وہ وقت ہے جس میں [A] اپنی موجودہ قدر کا نصف رہ جائے۔ یہ ہر مساوات میں [A] = ½[A]₀ رکھنے سے ملتی ہے۔

صرف اول درجے کی نصف عمر ارتکاز سے آزاد ہے۔ یہی ایک حقیقت وضاحت کرتی ہے کہ تابکار انحطاط سمیت اول درجے کے عمل اتنی کثرت سے اپنی نصف عمروں سے کیوں بیان کیے جاتے ہیں۔

• صفر درجہ: [A] = [A]₀ − kt۔ t کے مقابل [A] کا گراف −k ڈھلوان والی سیدھی لکیر ہے۔ نصف عمر: t½ = [A]₀/(2k)، اس لیے تعامل آگے بڑھنے کے ساتھ یہ چھوٹی ہوتی جاتی ہے۔
• اول درجہ: ln[A] = ln[A]₀ − kt، یا [A] = [A]₀e⁻ᵏᵗ۔ t کے مقابل ln[A] کا گراف −k ڈھلوان والی سیدھی لکیر ہے۔ نصف عمر: t½ = ln 2 / k = 0.693/k، جو ہر مرحلے پر ایک ہی رہتی ہے۔
• دوم درجہ: 1/[A] = 1/[A]₀ + kt۔ t کے مقابل 1/[A] کا گراف +k ڈھلوان والی سیدھی لکیر ہے۔ نصف عمر: t½ = 1/(k[A]₀)، اس لیے ہر نصف عمر پچھلی سے دگنی لمبی ہوتی ہے۔

حل شدہ مثال: سائیکلوبیوٹین، اول درجے کی تحلیل

OpenStax کا حصہ 12.4 سائیکلوبیوٹین کی تحلیل، C₄H₈ → 2 C₂H₄، کے لیے 500 °C پر اول درجے کا شرح کا مستقل 9.2 × 10⁻³ s⁻¹ دیتا ہے۔ نصف عمر t½ = 0.693 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 75 s ہے، k سے مطابقت کے لیے دو اہم ہندسوں تک۔

3.00 min کے بعد سائیکلوبیوٹین کا کتنا حصہ باقی رہتا ہے؟ پہلے وقت کو سیکنڈ میں بدلیں، کیونکہ k کی اکائی s⁻¹ ہے: t = 180 s۔ قوت نما kt = (9.2 × 10⁻³ s⁻¹)(180 s) = 1.656 ہے، اس لیے [A]/[A]₀ = e⁻ᵏᵗ = e کی طاقت −1.656 = 0.19، اور 19 فیصد باقی رہتا ہے۔ اگر ابتدائی ارتکاز 0.0800 mol/L تھا تو [A] = 0.0800 × 0.19 = 0.015 mol/L۔ حصہ معلوم کرنے کے لیے آپ کو ابتدائی ارتکاز کی ضرورت نہیں پڑی۔ یہ صرف اول درجے کے تعاملات کے لیے درست ہے۔

اصل مقدار کے 5.0 فیصد تک گرنے میں کتنا وقت لگتا ہے؟ ترتیب بدل کر t = ln([A]₀/[A]) / k = ln(1/0.050) / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 2.996 / (9.2 × 10⁻³ s⁻¹) = 3.3 × 10² s، یعنی تقریباً 5.4 min۔ جانچ کے طور پر یہ تقریباً 4.3 نصف عمریں ہیں، اور (½)⁴·³ ≈ 0.05۔

حل شدہ مثال: بیوٹاڈائین کا دوہرا پن (ڈائمرائزیشن)، دوم درجے کا تعامل

بیوٹاڈائین کے سالمے جوڑوں میں ملتے ہیں، 2 C₄H₆ → C₈H₁₂، ایک ایسے تعامل میں جو بیوٹاڈائین میں دوم درجے کا ہے۔ OpenStax کا حصہ 12.4 اپنے بیان کردہ حالات میں k = 5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ بتاتا ہے۔ [C₄H₆]₀ = 0.0500 mol/L سے شروع کریں۔

پہلی نصف عمر t½ = 1/(k[A]₀) = 1 / (5.76 × 10⁻² L mol⁻¹ min⁻¹ × 0.0500 mol/L) = 347 min ہے۔ دوسری نصف عمر 0.0250 mol/L سے شروع ہوتی ہے اور 1/(5.76 × 10⁻² × 0.0250) = 694 min رہتی ہے، یعنی دگنی لمبی۔ ارتکاز گرنے کے ساتھ بڑھتی ہوئی نصف عمر دوم درجے کی حرکیات کی پہچان ہے۔

2.00 h کے بعد ارتکاز معلوم کرنے کے لیے منٹ استعمال کریں تاکہ اکائیاں k سے مطابقت رکھیں: t = 120 min۔ 1/[A] = 1/0.0500 + (5.76 × 10⁻²)(120) = 20.0 + 6.912 = 26.91 L/mol، اس لیے [A] = 0.0372 mol/L۔ جواب ابتدائی قدر سے کم اور اس کے نصف سے زیادہ ہے، جیسا کہ پہلی نصف عمر سے کم وقت پر ہونا چاہیے۔

اول درجے کے مسائل میں نصف عمریں گننا

اول درجے کے تعامل کے لیے n نصف عمروں کے بعد باقی حصہ (½)ⁿ ہے۔ ایک نصف عمر کے بعد 50 فیصد باقی رہتا ہے؛ دو کے بعد 25 فیصد؛ تین کے بعد 12.5 فیصد۔ جب ہدفی ارتکاز آدھا کرنے کے مکمل مراحل کے فاصلے پر ہو تو آپ لوگارتھم کی بجائے گنتی سے کام چلا سکتے ہیں۔

حل شدہ مثال۔ OpenStax کا حصہ 12.4 بتاتا ہے کہ ہائیڈروجن پرآکسائیڈ 40 °C پر اول درجے کی حرکیات سے تحلیل ہوتا ہے، جس کی نصف عمر 2.16 × 10⁴ s، یعنی 6.00 h، ہے۔ شرح کا مستقل k = 0.693 / (2.16 × 10⁴ s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹ ہے۔ 0.800 mol/L سے 0.100 mol/L تک جانا تین بار آدھا ہونا ہے (0.800 → 0.400 → 0.200 → 0.100)، اس لیے اس میں 3 × 6.00 h = 18.0 h لگتے ہیں۔

0.800 mol/L سے 0.150 mol/L تک گنتی مکمل عدد نہیں، اس لیے مساوات استعمال کریں: t = ln(0.800/0.150) / k = 1.674 / (3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹) = 5.22 × 10⁴ s، یعنی 14.5 h۔ یہ توقع کے مطابق دو نصف عمروں (12.0 h) اور تین (18.0 h) کے درمیان آتا ہے۔

ارتکاز–وقت کی جدول سے درجہ چننا

اگر آپ کے پاس کئی اوقات پر ناپے گئے ارتکاز ہوں تو ہر خطی صورت کو پرکھیں۔ ہر نقطے کے لیے [A]، ln[A] اور 1/[A] کا حساب کریں اور دیکھیں کہ کون سا ہر برابر وقفۂ وقت میں یکساں مقدار سے بدلتا ہے۔ حقیقی، شور والے اعداد و شمار کے ساتھ تینوں کے گراف بنائیں اور سب سے سیدھی لکیر چنیں، یا خطی فٹ کے ارتباط کا موازنہ کریں۔

حل شدہ مثال۔ درج ذیل اعداد و شمار مشق کے لیے بنائے گئے ہیں۔ t = 0، 50، 100، 150 اور 200 s پر [A] = 0.1000، 0.0667، 0.0500، 0.0400 اور 0.0333 mol/L۔ ہر 50 s کے قدم میں [A] کی کمی 0.0333، 0.0167، 0.0100 اور 0.0067 mol/L ہے، جو مستقل نہیں، اس لیے تعامل صفر درجے کا نہیں۔ ln[A] کی تبدیلیاں −0.405، −0.288، −0.223 اور −0.183 ہیں، جو بھی مستقل نہیں، اس لیے یہ اول درجے کا بھی نہیں۔ 1/[A] کی قدریں 10.0، 15.0، 20.0، 25.0 اور 30.0 L/mol ہیں، جو ہر 50 s میں 5.0 L/mol بڑھتی ہیں۔ تعامل دوم درجے کا ہے، اور ڈھلوان k = 5.0 / 50 s = 0.100 L mol⁻¹ s⁻¹ دیتی ہے۔

نصف عمریں درجے کی تصدیق کرتی ہیں۔ [A] 100 s میں 0.100 سے 0.0500 mol/L تک گرا، اور دوم درجے کا فارمولا پیش گوئی کرتا ہے کہ اگلی بار آدھا ہونا، یعنی 0.0250 mol/L تک، 1/(0.100 × 0.0500) = 200 s لے گا۔

تکملی شرح کے قانون کے جوابات کہاں غلط ہوتے ہیں

زیادہ تر غلطیاں مساواتیں یا اکائیاں گڈمڈ کرنے سے آتی ہیں۔ ایک فوری جانچ یہ ہے کہ آپ جو بھی ارتکاز حساب کریں وہ [A]₀ سے چھوٹا اور صفر سے بڑا ہونا چاہیے۔

• ایسے تعامل کے لیے اول درجے کی مساوات استعمال کرنا جس کا درجہ آپ نے ثابت نہیں کیا۔
• وقت کی اکائیاں ملانا: s⁻¹ میں k اور منٹ میں t سے kt کی ایسی قدر ملتی ہے جو 60 کے جزو سے غلط ہوتی ہے۔
• ln([A]/[A]₀) = kt لکھنا اور منفی کی علامت کھو دینا، جس سے ارتکاز وقت کے ساتھ بڑھنے لگتا ہے۔
• جہاں مساوات کو ln (اساس e) درکار ہو وہاں log (اساس 10) استعمال کرنا۔
• t½ = 0.693/k کو دوم درجے کے تعامل پر لاگو کرنا، جس کی نصف عمر ارتکاز پر منحصر ہے۔
• 1/[A] کے گراف کی ڈھلوان کو −k لینا۔ دوم درجے کے لیے ڈھلوان +k ہے۔