Значущі цифри в хімічних обчисленнях

Виміряні числа та точні числа

Виміряне значення невизначене, бо кожен прилад має межу точності. Коли ви читаєте показ бюретки з поділками по 0.1 mL, ви записуєте певні позначки, а потім оцінюєте ще одну цифру між ними, тож показ 18.36 mL має чотири значущі цифри: три певні й одну оцінену. Запис 18.360 mL стверджував би точність, якої бюретка забезпечити не може.

Точні числа не мають похибки вимірювання. Вони виникають з лічби (12 пробірок у штативі), з означень (1 дюйм — це рівно 2.54 cm, а 1 L — рівно 1000 mL), а також з коефіцієнтів та індексів у хімічних формулах і рівняннях. Вважайте, що точні числа мають необмежену кількість значущих цифр, тому вони ніколи не обмежують точність обчисленого результату.

Підрахунок цифр, зокрема проблемних нулів

Ненульові цифри завжди значущі. Нулі бувають значущими або ні залежно від того, чи несуть вони виміряну інформацію, чи лише позначають положення коми. Наведені нижче правила охоплюють усі випадки, які трапляться вам у загальній хімії.

Кінцеві нулі в цілому числі без десяткової коми — єдиний справді неоднозначний випадок. Маса, записана як 1200 g, може бути відома з двома, трьома або чотирма значущими цифрами. Наукова нотація усуває неоднозначність: 1.2 × 10³ g має дві, 1.20 × 10³ g — три, а 1.200 × 10³ g — чотири.

• Нулі між ненульовими цифрами значущі: 30.506 g має п’ять значущих цифр.
• Початкові нулі ніколи не значущі; вони лише вказують положення коми: 0.004070 m має чотири (4, 0, 7, 0).
• Кінцеві нулі праворуч від десяткової коми значущі: 2.500 mL має чотири.
• Кінцеві нулі в цілому числі без десяткової коми неоднозначні; щоб показати свій намір, скористайтеся науковою нотацією.

Додавання й віднімання: вирівнюйте десяткові розряди

Коли величини додають або віднімають, важлива абсолютна похибка в останньому десятковому розряді, а не кількість значущих цифр. Округліть результат до такої самої кількості десяткових розрядів, яку має вимірювання з найменшою кількістю десяткових розрядів.

Розв’язаний приклад 1. Ви об’єднуєте три порції твердої речовини, зважені на різних терезах: 12.6 g, 0.237 g і 105.42 g. Калькулятор показує 118.257 g. Перша маса відома лише до десятих, тож і сума відома лише до десятих: 118.3 g. Зверніть увагу, що відповідь має чотири значущі цифри, хоча одне з вхідних чисел мало лише три; отже, результат обмежує не кількість цифр.

Віднімання може знищити значущі цифри. Припустімо, колба з рідиною важить 58.36 g на технічних терезах із верхнім розташуванням чашки, а порожня колба важила 57.912 g на аналітичних терезах. Різниця на калькуляторі — 0.448 g, але перша маса відома лише до сотих, тож маса рідини дорівнює 0.45 g. Із вхідних даних, що мали чотири й п’ять цифр, лишилися дві значущі цифри. Коли важлива невелика різниця двох великих чисел, зважуйте обидві маси на точніших терезах.

Множення й ділення: рахуйте значущі цифри

Для добутків і часток переноситься відносна похибка. Округліть результат до такої самої кількості значущих цифр, яку має вхідне число з найменшою кількістю значущих цифр.

Розв’язаний приклад 2. Прямокутний брусок має розміри 4.20 cm на 2.15 cm на 1.8 cm. Об’єм дорівнює 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ на калькуляторі. Висота має лише дві значущі цифри, тому об’єм записують як 16 cm³. Виміряти висоту точніше, скажімо, як 1.80 cm штангенциркулем, — єдиний спосіб обґрунтувати третю цифру.

Логарифми підпорядковані спорідненому правилу, що трапляється в обчисленнях pH: кількість десяткових розрядів логарифма дорівнює кількості значущих цифр початкового значення. Концентрація йонів гідрогену 3.4 × 10⁻⁴ mol/L має дві значущі цифри, тож pH записують із двома десятковими розрядами: 3.47.

Округлення один раз — наприкінці багатокрокового обчислення

В обчисленні з кількома кроками залишайте в кожному проміжному значенні щонайменше одну-дві зайві цифри (запасні цифри) й округлюйте лише остаточну відповідь. Стежте, скільки значущих цифр виправдовує кожен крок, але не відкидайте цифри до кінця. Округлення на кожному кроці щоразу додає невелику похибку, і ці похибки можуть змістити останню записану цифру.

Розв’язаний приклад 3. Ви розчиняєте 1.37 g натрій хлориду у воді й доводите розчин до рівно 50.00 mL у мірній колбі. Беручи стандартні атомні маси IUPAC, округлені до двох десяткових розрядів (Na 22.99, Cl 35.45), молярна маса NaCl становить 58.44 g/mol. Кількість речовини дорівнює 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, без округлення. Об’єм дорівнює 0.05000 L, тож концентрація — 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, що округлюється до 0.469 mol/L, бо маса має три значущі цифри.

Якби ви спершу округлили кількість речовини до 0.0234 mol, то отримали б 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. Різниця невелика, але це справжня помилка, внесена арифметикою, а не вимірюваннями, і в довших ланцюжках вона може зростати.

Коли округлювати цифру 5 угору, а коли до парної цифри

Якщо перша відкинута цифра менша за 5, залишену цифру не змінюйте; якщо вона більша за 5 або це 5 із будь-якими ненульовими цифрами після неї, округлюйте угору. Тож 0.064371 округлюється до 0.0644, а 7.2849 — до 7.28 за трьох значущих цифр.

Єдиний спірний випадок — відкинута цифра, що дорівнює рівно 5, після якої нічого немає. OpenStax Chemistry 2e округлює так, щоб залишена цифра була парною (6.125 стає 6.12, а 6.135 — 6.14), що уникає невеликого систематичного зміщення вгору за багатьох округлень. Багато викладачів просто округлюють 5 угору. З’ясуйте, якого правила дотримується ваш курс, і застосовуйте його послідовно; воно стосується лише цього одного випадку.

Помилки зі значущими цифрами, які варто шукати у власній роботі

Більшість помилок зі значущими цифрами походить від кількох передбачуваних огріхів. Перш ніж обвести відповідь рамкою, перечитайте вхідні дані й запитайте себе, що саме обмежує результат і за яким правилом.

Допоможе проста звичка: поруч із кожною відповіддю занотовуйте обмежувальне вхідне число та застосоване правило — десяткові розряди чи кількість цифр. Якщо відповідь показує більше цифр, ніж виправдовує це число, округліть її; якщо менше — пошукайте кінцевий нуль, який калькулятор відкинув.

• Дозволити точному числу обмежувати відповідь. Множник 1000 mL/L або коефіцієнт 2 ніколи не зменшують кількість значущих цифр.
• Застосувати правило множення до суми. Суми й різниці обмежуються десятковими розрядами, а не кількістю цифр.
• Округлювати кожне проміжне значення. Залишайте запасні цифри й округлюйте один раз наприкінці.
• Відкидати змістовні кінцеві нулі. Калькулятор показує 2.5, хоча вимірювання було 2.50 mL; поверніть нуль на місце.
• Рахувати початкові нулі. 0.0081 g має дві значущі цифри, а не чотири.
• Записувати ціле число з неоднозначними нулями. Пишіть 3.40 × 10² g, а не 340 g, коли значущі три цифри.