Dimensionsanalys och enhetsomvandlingar

Varför en omvandlingsfaktor är en förklädd 1

En likhet som 1 L = 1000 mL säger att de två sidorna beskriver samma mängd. Att dividera den ena sidan med den andra ger därför en kvot som är exakt 1: (1000 mL / 1 L) = 1 och (1 L / 1000 mL) = 1. Att multiplicera en storhet med 1 ändrar inte storheten; det ändrar bara hur den uttrycks. Det är hela motiveringen för metoden.

Eftersom varje likhet ger två kvoter väljer du den orientering som förkortar bort den enhet du har och lämnar den enhet du vill ha. För att omvandla 0.355 L till milliliter skriver du 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Litrarna förkortas bort eftersom L förekommer en gång i en täljare och en gång i en nämnare. Om enheterna inte förkortas bort är faktorn upp och ned, och du vet det innan du har räknat något alls.

Exakta och uppmätta likheter

Vissa likheter är definitioner och är exakta: varje SI-prefix (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ och 1 tum = 2.54 cm. Exakta faktorer begränsar aldrig gällande siffror. Andra likheter kommer från mätning, till exempel en densitet eller massan hos ett mynt, och deras gällande siffror räknas som vilket annat uppmätt värde som helst.

Prefixfaktorer är den vanligaste källan till fel där faktorn är vänd fel. Läs 1 µg = 10⁻⁶ g som att en mikrogram är en miljondels gram. Den lilla enheten får 1 och den stora enheten får den lilla tiopotensen, eller likvärdigt 1 g = 10⁶ µg. Att skriva 1 g = 10⁻⁶ µg vänder på sambandet med en faktor 10¹².

• Längd: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 tum = 2.54 cm (exakt).
• Volym: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Massa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Tid: 1 h = 60 min = 3600 s.

Att kedja flera faktorer på en rad

När ingen enskild likhet förbinder start- och målenheterna multiplicerar du en kedja av faktorer, där var och en förkortar bort den enhet som den föregående införde. Om du skriver hela kedjan innan du räknar kan du kontrollera förkortningen med en blick och slipper avrunda mellan stegen.

Räkneexempel 1. En pump levererar lösningsmedel med 1.75 mL/min. Vad är flödet i liter per timme? Två enheter måste ändras, en i täljaren och en i nämnaren. Ställ upp 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Milliliter förkortas bort, minuter förkortas bort och L/h blir kvar. Beräkningen är 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Båda faktorerna är exakta, så svaret behåller de tre gällande siffrorna i 1.75 mL/min.

En snabb rimlighetskontroll hjälper här: en timme är 60 minuter, så volymen per timme måste vara större än per minut, ungefär 105 mL. Uttryckt i liter är det ungefär en tiondels liter, vilket stämmer med 0.105 L/h.

Kvadrerade och kubikerade enheter kräver kvadrerade och kubikerade faktorer

En härledd enhet som cm³ betyder cm × cm × cm. Att omvandla den kräver att längdfaktorn tillämpas en gång för varje dimension, vilket du gör genom att upphöja hela faktorn, tal och enhet tillsammans, till motsvarande potens. (1 m / 100 cm)³ är lika med 1 m³ / 10⁶ cm³, inte 1 m³ / 100 cm³.

Räkneexempel 2. Ett förvaringsskåp har en invändig volym på 0.0465 m³. Uttryck den i kubikcentimeter och i liter. I kubikcentimeter: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. I liter använder du 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Som kontroll ger även 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) 46.5 L.

Hastigheter och andra sammansatta enheter följer samma logik. Ett tryck i N/m², en hastighet i m/s och en koncentration i mol/L får var och en sina enheter omvandlade för sig, med exponenterna respekterade.

Densitet som bro mellan massa och volym

Densitet är massa dividerad med volym, så den fungerar som omvandlingsfaktor åt båda hållen: (g / mL) gör en volym till en massa och (mL / g) gör en massa till en volym. Till skillnad från prefixfaktorer är en densitet uppmätt, beror på temperaturen och begränsar gällande siffror.

Räkneexempel 3. OpenStax Chemistry 2e (Tabell 1.4) anger densiteten för glycerin som 1.26 g/cm³ nära rumstemperatur. Vilken volym glycerin innehåller 15.0 g? Invertera densiteten så att gram förkortas bort: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, vilket är 11.9 mL eftersom 1 cm³ = 1 mL exakt. Miniräknaren visar 11.905, och båda talen har tre gällande siffror.

Gå nu åt andra hållet genom en längre kedja: vad är massan, i kilogram, av 2.50 L glycerin? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. En liter vatten har en massa nära 1 kg, och glycerin är något tätare än vatten, så lite mer än 2.5 kg är rimligt.

Temperaturskalor och andra omvandlingar med förskjutning

Enhetsfaktormetoden hanterar proportionella samband, där noll i den ena enheten betyder noll i den andra. Celsius-, Fahrenheit- och kelvinskalorna delar inte nollpunkt, så för att omvandla en temperatur behövs en ekvation med en tillagd förskjutning: T(K) = T(°C) + 273.15 och T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Till exempel är 21.47 °C lika med 21.47 + 273.15 = 294.62 K och 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Temperaturändringar är annorlunda. En ändring på 1 °C är lika med en ändring på 1 K och en ändring på 1.8 °F, utan förskjutning, eftersom förskjutningen tar ut sig när du subtraherar två temperaturer. Håll isär detta när en värme- eller hastighetsekvation använder ΔT i stället för T.

Omvandlingsfel och hur du upptäcker dem

Dimensionsanalys garanterar att slutenheten blir rätt om varje faktor är en sann likhet. Den garanterar inte att du valde rätt storhet, så kombinera enhetskontroll med en storleksuppskattning.

Innan du multiplicerar, avgör om talet ska växa eller krympa. Att omvandla till en mindre enhet, till exempel från liter till milliliter, ger ett större tal; att omvandla till en större enhet ger ett mindre. Om resultatet rör sig åt fel håll har en faktor sina tal omkastade, vilket är precis vad ett felminnat prefix ger även när enheterna ser ut att förkortas bort.

• Inverterad faktor: om den enhet du ville bli av med blir kvar, vänd på den faktorn.
• Omkastat prefix: kontrollera att den mindre enheten har det större antalet, som i 1 kg = 1000 g.
• Glömd potens: area- och volymfaktorer måste kvadreras eller kubikeras, inklusive talet.
• Enheter som tappas mitt i beräkningen: skriv enheter vid varje tal så att en saknad förkortning förblir synlig.
• Att behandla en uppmätt faktor som exakt: en densitet eller en uppmätt massa per föremål begränsar gällande siffror.
• Rätt enheter, fel fysik: gram lösning och gram löst ämne förkortas båda som g, så märk varje storhet med vad den beskriver.