Квантни бројеви и орбитале: правила, бројање и облици

Електрони као таласи: де Брољева таласна дужина

Де Брољ је 1924. године предложио да свака честица у кретању има таласну дужину λ = h/(mv), где је h Планкова константа, m маса, а v брзина. За свакодневне предмете таласна дужина је сувише мала да би се приметила. Бејзбол лопта од 0.145 kg при 40.0 m/s има λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. За електрон, чија је маса 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), таласна дужина је упоредива са величином атома.

Решени пример 1. Електрон који се креће брзином 2.188 × 10⁶ m/s има λ = h/(mv). Са CODATA вредностима h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s и m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, односно 0.3324 nm. То је брзина коју Боров модел додељује електрону на најнижој орбити водоника, чији је полупречник Боров радијус, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Обим орбите је 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, па се по њему уклапа једна таласна дужина електрона, уз слагање боље од 0.02%. Квантовани енергетски нивои настају када електронски талас мора да стане у свој простор а да не поништи сам себе, слично као што жица гитаре може да вибрира само на одређеним фреквенцијама.

Неодређеност и крај сталних орбита

Хајзенбергов принцип неодређености поставља границу колико се тачно положај и импулс могу истовремено познавати: Δx·Δp ≥ ħ/2, где је ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Решени пример 2. Ограничите електрон на област ширине 1.0 × 10⁻¹⁰ m, отприлике величине атома. Тада је Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, а Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Неодређеност брзине је знатан део саме брзине, па одређена путања, попут орбите планете, нема смисла за електрон у атому.

Квантна механика путању замењује таласном функцијом, ψ. Њен квадрат, ψ², је густина вероватноће: помножен запремином мале области, даје вероватноћу да се електрон нађе у њој. Орбитала је таласна функција једног електрона, а познате слике орбитала су површине које обухватају већи део те вероватноће, често 90%.

Дозвољене вредности n, l, mₗ и mₛ

Решавање таласне једначине за атом водоника даје три квантна броја, од којих је сваки ограничен претходним. Четврти описује спин електрона. Цела ствар се своди на ограничења.

• Главни квантни број n = 1, 2, 3, …. Он одређује љуску и, код водоника, енергију. Веће n значи већу орбиталу више енергије.
• Орбитални квантни број (квантни број момента импулса) l = 0, 1, …, n − 1. Он одређује подљуску и облик: l = 0, 1, 2, 3 су s, p, d, f.
• Магнетни квантни број mₗ = −l, …, 0, …, +l, што даје 2l + 1 вредности. Он одређује оријентацију орбитале у простору.
• Спински квантни број mₛ = +½ или −½. Не зависи од остала три.

Решени пример: провера шест скупова квантних бројева

Да бисте проверили скуп (n, l, mₗ, mₛ), упоредите сваки број са претходним, редом. Зауставите се код првог прекршаја.

(3, 3, 0, +½) није дозвољен: l може бити највише n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) није дозвољен: за l = 2, mₗ иде само од −2 до +2. (3, 2, 1, 0) није дозвољен: mₛ мора бити +½ или −½, никада 0. (2, 1, −1, −½) је дозвољен и описује електрон у 2p орбитали. (5, 0, 0, +½) је дозвољен и описује 5s електрон. (4, 3, −3, +½) је дозвољен и описује 4f електрон.

Да бисте из дозвољеног скупа именовали орбиталу, напишите n, а иза њега слово за l. Вредност mₗ бира једну орбиталу унутар подљуске, али у овом запису не мења њен назив.

Бројање орбитала и електрона под ограничењем

Питања бројања постају рутинска ако набројите дозвољене вредности l, затим вредности mₗ за сваку од њих, и тек онда примените ограничење. Свака орбитала, односно свака дозвољена комбинација (n, l, mₗ), прима два електрона, по један са сваким спином.

Љуска са главним квантним бројем n садржи n² орбитала и 2n² електрона. За n = 4, l може бити 0, 1, 2 или 3, што даје 1 + 3 + 5 + 7 = 16 орбитала и 32 електрона.

Решени пример 3. Колико електрона у атому може имати n = 3 и mₗ = +1? Вредности l за n = 3 су 0, 1 и 2. mₗ = +1 је могуће само када је l ≥ 1, па постоји по једна таква орбитала у 3p и у 3d: две орбитале, четири електрона. Колико их може имати n = 5 и mₛ = +½? Љуска 5 има 5² = 25 орбитала, свака са по једним електроном +½, дакле 25. Колико их може имати n = 4 и l = 2? То је подљуска 4d: 5 орбитала и 10 електрона.

Облици орбитала и бројање чворова

Чвор је место где је ψ, а тиме и вероватноћа налажења електрона, једнака нули. Орбитала укупно има n − 1 чворова. Од њих је l угаоних чворова, равни или купа кроз језгро, а преосталих n − l − 1 су радијални чворови, сферне љуске на сталним растојањима. OpenStax Chemistry 2e (одељак 6.3) наводи правило за радијалне чворове.

s орбитале (l = 0) су сферне и немају угаоне чворове, па 2s орбитала има један радијални чвор, а 3s орбитала два. p орбитале (l = 1) имају два режња са супротних страна језгра и једну чворну раван између њих; три p орбитале означавају се са pₓ, p_y и p_z према оси дуж које су усмерене. d орбитале (l = 2) имају два угаона чвора. Четири од њих имају по четири режња; пета, d_z², има два режња дуж осе z и прстен око средине.

Решени пример 4. 3p орбитала има 3 − 1 − 1 = 1 радијални чвор и 1 угаони чвор. 4d орбитала има 1 радијални чвор и 2 угаона чвора, укупно 3. 3d орбитала нема радијалних чворова, а 6s орбитала их има 5.

Када се орбитале исте љуске разликују по енергији

Код водоника енергија зависи само од n, па 3s, 3p и 3d имају исту енергију. У атомима са више од једног електрона остали електрони неравномерно заклањају језгро. s електрон продире ближе језгру од p или d електрона исте љуске, осећа већи део наелектрисања језгра и има нижу енергију. Резултат је цепање s < p < d < f унутар љуске, које одређује редослед попуњавања обрађен у водичу о електронским конфигурацијама.

Орбитале исте подљуске, као што су три 2p орбитале, у изолованом атому остају једнаке по енергији. Називају се дегенерисаним. Околни атоми у молекулу или кристалу могу да укину ту дегенерацију.

Грешке са квантним бројевима које треба проверити

Готово свака грешка потиче од прескакања корака набрајања. Када нисте сигурни, испишите сваку дозвољену вредност пре бројања.

• Допуштање да l буде једнако n. Највеће дозвољено l је n − 1, па не постоји орбитала 1p ни 2d.
• Бројање вредности mₗ од 0 до l уместо од −l до +l, чиме се орбитале потцењују.
• Бројање орбитала када питање тражи електроне, или обрнуто. Свака орбитала прима два електрона.
• Додељивање mₛ вредности 0 или 1. Спин је искључиво +½ или −½.
• Коришћење n − l − 1 као укупног броја чворова. Та формула броји само радијалне чворове; укупан број је n − 1.
• Третирање граничне површине од 90% као оштре ивице. Електронска густина постепено опада и нема оштру границу.