Kvantna števila in orbitale: pravila, štetje in oblike

Elektroni kot valovi: de Brogliejeva valovna dolžina

Leta 1924 je de Broglie predlagal, da ima vsak gibajoči se delec valovno dolžino λ = h/(mv), kjer je h Planckova konstanta, m masa in v hitrost. Pri vsakdanjih predmetih je valovna dolžina veliko premajhna, da bi jo opazili. Baseballska žogica z maso 0.145 kg pri 40.0 m/s ima λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Pri elektronu z maso 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) je valovna dolžina primerljiva z velikostjo atoma.

Rešen primer 1. Elektron, ki se giblje s hitrostjo 2.188 × 10⁶ m/s, ima λ = h/(mv). Z vrednostma CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s in m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg je λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m ali 0.3324 nm. To je hitrost, ki jo Bohrov model pripiše elektronu na najnižji tirnici vodika, katere polmer je Bohrov polmer, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Obseg tirnice je 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, zato se okoli nje prilega ena valovna dolžina elektrona, z ujemanjem, boljšim od 0.02 %. Kvantizirani energijski nivoji so to, kar dobite, ko se mora elektronsko valovanje prilegati svojemu prostoru, ne da bi se samo izničilo, podobno kot lahko kitarska struna niha le pri določenih frekvencah.

Nedoločenost in konec stalnih tirnic

Heisenbergovo načelo nedoločenosti omejuje, kako natančno je mogoče hkrati poznati lego in gibalno količino: Δx·Δp ≥ ħ/2, kjer je ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Rešen primer 2. Elektron omejite na območje, široko 1.0 × 10⁻¹⁰ m, kar je približno velikost atoma. Potem je Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s in Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Nedoločenost hitrosti je znaten delež same hitrosti, zato določena pot, kot je tirnica planeta, za elektron v atomu nima smisla.

Kvantna mehanika pot nadomesti z valovno funkcijo ψ. Njen kvadrat, ψ², je verjetnostna gostota: pomnožen s prostornino majhnega območja da verjetnost, da elektron najdemo tam. Orbitala je valovna funkcija za en elektron, znane slike orbital pa so ploskve, ki zajemajo večino te verjetnosti, pogosto 90 %.

Dovoljene vrednosti n, l, mₗ in mₛ

Rešitev valovne enačbe za atom vodika da tri kvantna števila, od katerih je vsako omejeno s prejšnjim. Četrto opisuje spin elektrona. Omejitve so bistvo celotne igre.

• Glavno kvantno število n = 1, 2, 3, …. Določa lupino in pri vodiku energijo. Večji n pomeni večjo orbitalo z višjo energijo.
• Stransko kvantno število l = 0, 1, …, n − 1. Določa podlupino in obliko: l = 0, 1, 2, 3 so s, p, d, f.
• Magnetno kvantno število mₗ = −l, …, 0, …, +l, kar da 2l + 1 vrednosti. Določa usmerjenost orbitale v prostoru.
• Spinsko kvantno število mₛ = +½ ali −½. Ni odvisno od ostalih treh.

Rešen primer: preverjanje šestih nizov kvantnih števil

Pri preverjanju niza (n, l, mₗ, mₛ) vsako število po vrsti preverite glede na prejšnje. Ustavite se pri prvi kršitvi.

(3, 3, 0, +½) ni dovoljen: l je lahko največ n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) ni dovoljen: pri l = 2 teče mₗ le od −2 do +2. (3, 2, 1, 0) ni dovoljen: mₛ mora biti +½ ali −½, nikoli 0. (2, 1, −1, −½) je dovoljen in opisuje elektron v orbitali 2p. (5, 0, 0, +½) je dovoljen in opisuje elektron 5s. (4, 3, −3, +½) je dovoljen in opisuje elektron 4f.

Da iz dovoljenega niza poimenujete orbitalo, zapišite n, ki mu sledi črka za l. Vrednost mₗ izbere eno orbitalo v podlupini, vendar v tem zapisu ne spremeni njenega imena.

Štetje orbital in elektronov pri omejitvi

Vprašanja o štetju postanejo rutinska, če izpišete dovoljene vrednosti l, nato vrednosti mₗ za vsako od njih in šele nato uporabite omejitev. Vsaka orbitala, torej vsaka dovoljena kombinacija (n, l, mₗ), sprejme dva elektrona, po enega z vsakim spinom.

Lupina z glavnim kvantnim številom n vsebuje n² orbital in 2n² elektronov. Za n = 4 je l lahko 0, 1, 2 ali 3, kar da 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbital in 32 elektronov.

Rešen primer 3. Koliko elektronov v atomu ima lahko n = 3 in mₗ = +1? Vrednosti l za n = 3 so 0, 1 in 2. mₗ = +1 je mogoč le pri l ≥ 1, zato obstaja po ena taka orbitala v 3p in v 3d: dve orbitali, štirje elektroni. Koliko jih ima lahko n = 5 in mₛ = +½? Lupina 5 ima 5² = 25 orbital, vsako z enim elektronom +½, torej 25. Koliko jih ima lahko n = 4 in l = 2? To je podlupina 4d: 5 orbital in 10 elektronov.

Oblike orbital in štetje vozlišč

Vozlišče je mesto, kjer je ψ, s tem pa tudi verjetnost, da najdemo elektron, enaka nič. Orbitala ima skupno n − 1 vozlišč. Od tega je l kotnih vozlišč, ravnin ali stožcev skozi jedro, preostalih n − l − 1 pa je radialnih vozlišč, sferičnih lupin na stalnih razdaljah. OpenStax Chemistry 2e (razdelek 6.3) podaja pravilo za radialna vozlišča.

Orbitale s (l = 0) so sferične in nimajo kotnih vozlišč, zato ima orbitala 2s eno radialno vozlišče, orbitala 3s pa dve. Orbitale p (l = 1) imajo dva režnja na nasprotnih straneh jedra z eno vozelno ravnino med njima; tri orbitale so označene s pₓ, p_y in p_z glede na os, vzdolž katere kažejo. Orbitale d (l = 2) imajo dve kotni vozlišči. Štiri od njih imajo štiri režnje; peta, d_z², ima dva režnja vzdolž osi z in obroč okoli sredine.

Rešen primer 4. Orbitala 3p ima 3 − 1 − 1 = 1 radialno vozlišče in 1 kotno vozlišče. Orbitala 4d ima 1 radialno vozlišče in 2 kotni vozlišči, skupaj 3. Orbitala 3d nima radialnih vozlišč, orbitala 6s pa jih ima 5.

Ko se orbitale v isti lupini razlikujejo po energiji

Pri vodiku je energija odvisna le od n, zato imajo 3s, 3p in 3d enako energijo. V atomih z več kot enim elektronom drugi elektroni jedro senčijo neenakomerno. Elektron s prodre bližje jedru kot elektron p ali d iste lupine, občuti večji del jedrskega naboja in ima nižjo energijo. Posledica je razcep s < p < d < f znotraj lupine, ki določa vrstni red zapolnjevanja, obravnavan v vodniku o elektronskih konfiguracijah.

Orbitale v isti podlupini, na primer tri orbitale 2p, imajo v izoliranem atomu enako energijo. Imenujemo jih degenerirane. Okoliški atomi v molekuli ali kristalu lahko to degeneracijo odpravijo.

Napake pri kvantnih številih, ki jih je treba preveriti

Skoraj vsaka napaka izvira iz preskoka koraka izpisovanja. Če ste v dvomih, pred štetjem izpišite vse dovoljene vrednosti.

• Dopuščanje, da je l enak n. Največji dovoljeni l je n − 1, zato orbitali 1p ali 2d ne obstajata.
• Štetje vrednosti mₗ od 0 do l namesto od −l do +l, kar da premalo orbital.
• Štetje orbital, ko vprašanje sprašuje po elektronih, ali obratno. Vsaka orbitala sprejme dva elektrona.
• Pripisovanje vrednosti 0 ali 1 številu mₛ. Spin je le +½ ali −½.
• Uporaba n − l − 1 kot skupnega števila vozlišč. Ta formula šteje le radialna vozlišča; skupno število je n − 1.
• Obravnavanje mejne ploskve 90 % kot ostrega roba. Elektronska gostota pojema zvezno in nima ostre meje.