Значащие цифры в химических расчётах

Измеренные и точные числа

Измеренное значение неопределённо, потому что у любого прибора есть предел точности. Когда вы читаете показание бюретки с ценой деления 0.1 mL, вы записываете достоверные отметки и оцениваете ещё одну цифру между ними, так что показание 18.36 mL имеет четыре значащие цифры: три достоверные и одну оценённую. Запись 18.360 mL заявляла бы точность, которую бюретка обеспечить не может.

Точные числа не несут неопределённости измерения. Они получаются при подсчёте (12 пробирок в штативе), из определений (1 дюйм — ровно 2.54 cm, а 1 L — ровно 1000 mL), а также из коэффициентов и индексов в химических формулах и уравнениях. Считайте, что у точных чисел неограниченное количество значащих цифр, поэтому они никогда не ограничивают точность вычисленного результата.

Подсчёт цифр, включая коварные нули

Ненулевые цифры значащие всегда. Нули бывают значащими или нет в зависимости от того, несут ли они измеренную информацию или лишь указывают положение десятичной запятой. Приведённые ниже правила охватывают все случаи, с которыми вы встретитесь в общей химии.

Нули в конце целого числа без десятичной запятой — единственный по-настоящему неоднозначный случай. Масса, записанная как 1200 g, может быть известна с точностью до двух, трёх или четырёх значащих цифр. Научная запись устраняет неоднозначность: у 1.2 × 10³ g две значащие цифры, у 1.20 × 10³ g — три, а у 1.200 × 10³ g — четыре.

• Нули между ненулевыми цифрами значащие: в 30.506 g их пять.
• Ведущие нули никогда не значащие; они только задают положение десятичной запятой: в 0.004070 m их четыре (4, 0, 7, 0).
• Нули в конце числа справа от десятичной запятой значащие: в 2.500 mL их четыре.
• Нули в конце целого числа без десятичной запятой неоднозначны; используйте научную запись, чтобы указать задуманное.

Сложение и вычитание: выравнивайте десятичные разряды

При сложении или вычитании важна абсолютная неопределённость в последнем десятичном разряде, а не число значащих цифр. Округляйте результат до того же числа десятичных знаков, что и у измерения с наименьшим числом десятичных знаков.

Разобранный пример 1. Вы объединяете три порции твёрдого вещества, взвешенные на разных весах: 12.6 g, 0.237 g и 105.42 g. Калькулятор показывает 118.257 g. Первая масса известна лишь до десятых долей, поэтому и сумма известна лишь до десятых: 118.3 g. Обратите внимание, что в ответе четыре значащие цифры, хотя у одного из слагаемых их всего три; при сложении результат ограничивает не число цифр.

Вычитание может уничтожить значащие цифры. Допустим, колба с жидкостью весит 58.36 g на технических весах с верхней загрузкой, а пустая колба весила 57.912 g на аналитических весах. На калькуляторе разность равна 0.448 g, но первая масса известна лишь до сотых долей, поэтому масса жидкости составляет 0.45 g. Из исходных данных с четырьмя и пятью цифрами остаются две значащие цифры. Если важна малая разность двух больших чисел, взвешивайте обе массы на более точных весах.

Умножение и деление: считайте значащие цифры

Для произведений и частных переносится относительная неопределённость. Округляйте результат до того же числа значащих цифр, что и у исходного значения с наименьшим их числом.

Разобранный пример 2. Прямоугольный брусок имеет размеры 4.20 cm на 2.15 cm на 1.8 cm. На калькуляторе объём равен 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³. У высоты только две значащие цифры, поэтому объём записывается как 16 cm³. Третью цифру можно было бы обосновать, только измерив высоту точнее, например штангенциркулем, получив 1.80 cm.

Логарифмы подчиняются родственному правилу, которое встречается в расчётах pH: число десятичных знаков в логарифме равно числу значащих цифр исходного значения. У концентрации ионов водорода 3.4 × 10⁻⁴ mol/L две значащие цифры, поэтому её pH записывается с двумя десятичными знаками: 3.47.

Округление один раз — в конце многошагового расчёта

В расчёте из нескольких шагов сохраняйте в каждом промежуточном значении хотя бы одну-две лишние цифры (запасные цифры) и округляйте только окончательный ответ. Отслеживайте, сколько значащих цифр обосновывает каждый шаг, но не отбрасывайте цифры до самого конца. Округление на каждом шаге каждый раз добавляет небольшую ошибку, и эти ошибки могут изменить последнюю записанную цифру.

Разобранный пример 3. Вы растворяете 1.37 g хлорида натрия в воде и доводите объём до ровно 50.00 mL в мерной колбе. Используя стандартные атомные массы IUPAC, округлённые до двух десятичных знаков (Na 22.99; Cl 35.45), получаем молярную массу NaCl 58.44 g/mol. Количество вещества равно 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol; оно сохраняется неокруглённым. Объём равен 0.05000 L, поэтому концентрация составляет 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, что округляется до 0.469 mol/L, так как у массы три значащие цифры.

Если бы вы сначала округлили количество вещества до 0.0234 mol, то получили бы 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. Разница невелика, но это настоящая ошибка, внесённая арифметикой, а не измерениями, и в более длинных цепочках она может нарастать.

Когда округлять пограничную цифру вверх, а когда до чётной

Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, сохраняемую цифру не меняйте; если она больше 5 или равна 5, за которой следуют любые ненулевые цифры, округляйте вверх. Так, 0.064371 округляется до 0.0644, а 7.2849 — до 7.28 при трёх значащих цифрах.

Единственный спорный случай — отбрасываемая цифра ровно 5, после которой ничего нет. В OpenStax Chemistry 2e округляют так, чтобы сохраняемая цифра была чётной (6.125 становится 6.12, а 6.135 — 6.14); это позволяет избежать небольшого смещения вверх при многократном округлении. Многие преподаватели просто округляют 5 вверх. Узнайте, какое соглашение принято в вашем курсе, и применяйте его последовательно; оно влияет только на этот единственный случай.

Ошибки со значащими цифрами, которые стоит искать в своей работе

Большинство ошибок со значащими цифрами возникает из-за нескольких предсказуемых промахов. Прежде чем обвести ответ в рамку, перечитайте исходные данные и спросите себя, какое из них ограничивает результат и по какому правилу.

Небольшая привычка делает это рутиной: рядом с каждым ответом отмечайте ограничивающее исходное значение и применённое правило — десятичные знаки или число цифр. Если в ответе больше цифр, чем обосновывает это значение, округлите его; если меньше, поищите завершающий нуль, который отбросил калькулятор.

• Позволять точному числу ограничивать ответ. Множитель 1000 mL/L или коэффициент 2 никогда не уменьшают число значащих цифр.
• Применять правило умножения к сумме. Суммы и разности ограничиваются десятичными знаками, а не числом цифр.
• Округлять каждое промежуточное значение. Сохраняйте запасные цифры и округляйте один раз в конце.
• Отбрасывать значимые завершающие нули. Калькулятор показывает 2.5, когда измерение было 2.50 mL; верните нуль на место.
• Считать ведущие нули. В 0.0081 g две значащие цифры, а не четыре.
• Записывать целое число с неоднозначными нулями. Пишите 3.40 × 10² g вместо 340 g, когда значимы три цифры.