Analiza wymiarowa i przeliczanie jednostek

Dlaczego współczynnik przeliczeniowy to zamaskowana jedynka

Równość taka jak 1 L = 1000 mL mówi, że obie strony opisują tę samą ilość. Podzielenie jednej strony przez drugą daje więc stosunek równy dokładnie 1: (1000 mL / 1 L) = 1 oraz (1 L / 1000 mL) = 1. Pomnożenie wielkości przez 1 nie zmienia tej wielkości; zmienia tylko sposób jej wyrażenia. Na tym polega całe uzasadnienie metody.

Ponieważ każda równość daje dwa stosunki, wybierasz orientację, która skraca jednostkę, jaką masz, i zostawia jednostkę, jakiej potrzebujesz. Aby przeliczyć 0.355 L na mililitry, zapisz 0.355 L × (1000 mL / 1 L) = 355 mL. Litry się skracają, bo L występuje raz w liczniku i raz w mianowniku. Jeśli jednostki się nie skracają, współczynnik jest odwrócony i wiesz o tym, zanim wykonasz jakiekolwiek obliczenia.

Równości dokładne i zmierzone

Niektóre równości są definicjami i są dokładne: każdy przedrostek SI (1 km = 10³ m, 1 µg = 10⁻⁶ g), 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³ oraz 1 cal = 2.54 cm. Dokładne współczynniki nigdy nie ograniczają cyfr znaczących. Inne równości pochodzą z pomiaru, na przykład gęstość lub masa jednej monety, a ich cyfry znaczące liczy się tak jak w każdej innej wartości zmierzonej.

Współczynniki z przedrostkami są najczęstszym źródłem błędów polegających na odwróceniu. Odczytuj 1 µg = 10⁻⁶ g jako: jeden mikrogram to milionowa część grama. Mała jednostka dostaje 1, a duża jednostka dostaje małą potęgę dziesięciu, albo równoważnie 1 g = 10⁶ µg. Zapis 1 g = 10⁻⁶ µg odwraca zależność o czynnik 10¹².

• Długość: 1 m = 100 cm = 1000 mm; 1 cal = 2.54 cm (dokładnie).
• Objętość: 1 L = 1000 mL = 1 dm³; 1 mL = 1 cm³; 1 m³ = 1000 L.
• Masa: 1 kg = 1000 g; 1 mg = 10⁻³ g; 1 µg = 10⁻⁶ g.
• Czas: 1 h = 60 min = 3600 s.

Łączenie kilku współczynników w jednym wierszu

Gdy żadna pojedyncza równość nie łączy jednostki wyjściowej z docelową, pomnóż łańcuch współczynników, z których każdy skraca jednostkę wprowadzoną przez poprzedni. Zapisanie całego łańcucha przed obliczeniami pozwala od razu sprawdzić skracanie i uniknąć zaokrągleń między etapami.

Przykład rozwiązany 1. Pompa dostarcza rozpuszczalnik z prędkością 1.75 mL/min. Jakie jest natężenie przepływu w litrach na godzinę? Trzeba zmienić dwie jednostki, jedną w liczniku i jedną w mianowniku. Zapisz 1.75 mL/min × (1 L / 1000 mL) × (60 min / 1 h). Mililitry się skracają, minuty się skracają i zostaje L/h. Obliczenie to 1.75 × 60 ÷ 1000 = 0.105 L/h. Oba współczynniki są dokładne, więc odpowiedź zachowuje trzy cyfry znaczące z 1.75 mL/min.

Pomaga tu szybka kontrola sensowności: godzina to 60 minut, więc objętość na godzinę musi być większa niż na minutę, około 105 mL. Wyrażone w litrach to mniej więcej jedna dziesiąta litra, co zgadza się z 0.105 L/h.

Jednostki kwadratowe i sześcienne wymagają współczynników podniesionych do kwadratu i sześcianu

Jednostka pochodna taka jak cm³ oznacza cm × cm × cm. Jej przeliczenie wymaga zastosowania współczynnika długości raz dla każdego wymiaru, co robisz, podnosząc cały współczynnik, liczbę i jednostkę razem, do odpowiedniej potęgi. (1 m / 100 cm)³ równa się 1 m³ / 10⁶ cm³, a nie 1 m³ / 100 cm³.

Przykład rozwiązany 2. Szafka magazynowa ma objętość wewnętrzną 0.0465 m³. Wyraź ją w centymetrach sześciennych i w litrach. W centymetrach sześciennych: 0.0465 m³ × (100 cm / 1 m)³ = 0.0465 × 10⁶ cm³ = 4.65 × 10⁴ cm³. W litrach użyj 1 m³ = 1000 L: 0.0465 m³ × (1000 L / 1 m³) = 46.5 L. Dla kontroli: 4.65 × 10⁴ cm³ × (1 mL / 1 cm³) × (1 L / 1000 mL) również daje 46.5 L.

Szybkości i inne jednostki złożone podlegają tej samej logice. Ciśnienie w N/m², prędkość w m/s i stężenie w mol/L mają każdą jednostkę przeliczaną osobno, z uwzględnieniem wykładników.

Gęstość jako pomost między masą a objętością

Gęstość to masa podzielona przez objętość, więc działa jako współczynnik przeliczeniowy w obu orientacjach: (g / mL) zamienia objętość na masę, a (mL / g) zamienia masę na objętość. W przeciwieństwie do współczynników z przedrostkami gęstość jest wielkością zmierzoną, zależy od temperatury i ogranicza cyfry znaczące.

Przykład rozwiązany 3. OpenStax Chemistry 2e (tabela 1.4) podaje gęstość glicerolu jako 1.26 g/cm³ w pobliżu temperatury pokojowej. Jaka objętość glicerolu zawiera 15.0 g? Odwróć gęstość tak, aby gramy się skróciły: 15.0 g × (1 cm³ / 1.26 g) = 11.9 cm³, czyli 11.9 mL, ponieważ 1 cm³ = 1 mL dokładnie. Kalkulator pokazuje 11.905, a obie dane mają po trzy cyfry znaczące.

Teraz w drugą stronę, przez dłuższy łańcuch: jaka jest masa, w kilogramach, 2.50 L glicerolu? 2.50 L × (1000 mL / 1 L) × (1 cm³ / 1 mL) × (1.26 g / 1 cm³) × (1 kg / 1000 g) = 3.15 kg. Litr wody ma masę bliską 1 kg, a glicerol jest nieco gęstszy od wody, więc nieco ponad 2.5 kg jest wynikiem rozsądnym.

Skale temperatury i inne przeliczenia z przesunięciem

Metoda czynników przeliczeniowych obsługuje zależności proporcjonalne, w których zero w jednej jednostce oznacza zero w drugiej. Skale Celsjusza, Fahrenheita i kelwina nie mają wspólnego zera, więc przeliczenie temperatury wymaga równania z dodanym przesunięciem: T(K) = T(°C) + 273.15 oraz T(°F) = 1.8 × T(°C) + 32. Na przykład 21.47 °C to 21.47 + 273.15 = 294.62 K oraz 1.8 × 21.47 + 32 = 70.65 °F.

Zmiany temperatury są inne. Zmiana o 1 °C równa się zmianie o 1 K i zmianie o 1.8 °F, bez przesunięcia, ponieważ przesunięcie znosi się przy odejmowaniu dwóch temperatur. Pamiętaj o tej różnicy, gdy równanie ciepła lub szybkości używa ΔT zamiast T.

Błędy w przeliczeniach i jak je wychwytywać

Analiza wymiarowa gwarantuje, że jednostka końcowa jest właściwa, jeśli każdy współczynnik jest prawdziwą równością. Nie gwarantuje jednak, że wybrałeś właściwą wielkość, więc łącz sprawdzanie jednostek z oszacowaniem rzędu wielkości.

Przed mnożeniem zdecyduj, czy liczba powinna wzrosnąć, czy zmaleć. Przeliczenie na mniejszą jednostkę, na przykład z litrów na mililitry, daje większą liczbę; przeliczenie na większą jednostkę daje mniejszą. Jeśli wynik zmienia się w złą stronę, w jakimś współczynniku liczby są zamienione miejscami, co dokładnie robi źle zapamiętany przedrostek, nawet gdy jednostki wydają się skracać.

• Odwrócony współczynnik: jeśli jednostka, którą chciałeś usunąć, pozostaje, odwróć ten współczynnik.
• Odwrócony przedrostek: sprawdź, czy mniejsza jednostka ma większą liczbę, jak w 1 kg = 1000 g.
• Zapomniana potęga: współczynniki pola powierzchni i objętości muszą być podniesione do kwadratu lub sześcianu, łącznie z liczbą.
• Gubienie jednostek w trakcie obliczeń: zapisuj jednostki przy każdej liczbie, aby brak skrócenia pozostał widoczny.
• Traktowanie zmierzonego współczynnika jako dokładnego: gęstość lub zmierzona masa na sztukę ogranicza cyfry znaczące.
• Poprawne jednostki, błędna fizyka: gramy roztworu i gramy substancji rozpuszczonej skracają się jako g, więc opisuj każdą wielkość tym, czego dotyczy.