Cyfry znaczące w obliczeniach chemicznych

Liczby zmierzone a liczby dokładne

Wartość zmierzona jest niepewna, ponieważ każdy przyrząd ma swoje granice. Gdy odczytujesz biuretę z podziałką co 0.1 mL, zapisujesz pewne kreski, a następnie szacujesz jeszcze jedną cyfrę między nimi, więc odczyt taki jak 18.36 mL ma cztery cyfry znaczące: trzy cyfry pewne i jedną szacowaną. Zapis 18.360 mL zakładałby dokładność, której biureta nie jest w stanie zapewnić.

Liczby dokładne nie niosą niepewności pomiarowej. Pochodzą z liczenia (12 probówek w statywie), z definicji (1 cal to dokładnie 2.54 cm, a 1 L to dokładnie 1000 mL) oraz ze współczynników i indeksów dolnych we wzorach i równaniach chemicznych. Traktuj liczby dokładne tak, jakby miały nieograniczoną liczbę cyfr znaczących, dzięki czemu nigdy nie ograniczają dokładności obliczonego wyniku.

Liczenie cyfr, w tym kłopotliwych zer

Cyfry niezerowe są zawsze znaczące. Zera są znaczące lub nie, zależnie od tego, czy podają zmierzoną informację, czy tylko wskazują położenie przecinka dziesiętnego. Poniższe zasady obejmują każdy przypadek, z jakim zetkniesz się na chemii ogólnej.

Zera końcowe w liczbie całkowitej bez przecinka dziesiętnego to jedyny naprawdę niejednoznaczny przypadek. Masa zapisana jako 1200 g może być znana z dokładnością do dwóch, trzech lub czterech cyfr znaczących. Zapis naukowy usuwa tę niejednoznaczność: 1.2 × 10³ g ma dwie, 1.20 × 10³ g ma trzy, a 1.200 × 10³ g ma cztery.

• Zera między cyframi niezerowymi są znaczące: 30.506 g ma pięć cyfr znaczących.
• Zera początkowe nigdy nie są znaczące; wskazują tylko położenie przecinka dziesiętnego: 0.004070 m ma cztery (4, 0, 7, 0).
• Zera końcowe po prawej stronie przecinka dziesiętnego są znaczące: 2.500 mL ma cztery.
• Zera końcowe w liczbie całkowitej bez przecinka dziesiętnego są niejednoznaczne; użyj zapisu naukowego, aby wskazać, co masz na myśli.

Dodawanie i odejmowanie: wyrównaj miejsca dziesiętne

Gdy wielkości się dodaje lub odejmuje, liczy się niepewność bezwzględna na ostatnim miejscu dziesiętnym, a nie liczba cyfr znaczących. Zaokrąglij wynik do tej samej liczby miejsc dziesiętnych, jaką ma pomiar z najmniejszą liczbą miejsc dziesiętnych.

Przykład rozwiązany 1. Łączysz trzy porcje substancji stałej odważone na różnych wagach: 12.6 g, 0.237 g i 105.42 g. Kalkulator pokazuje 118.257 g. Pierwsza masa jest znana tylko do części dziesiątych, więc suma jest znana tylko do części dziesiątych: 118.3 g. Zauważ, że odpowiedź ma cztery cyfry znaczące, chociaż jedna z danych miała tylko trzy; przy dodawaniu wynik ogranicza bowiem nie liczba cyfr.

Odejmowanie może zniszczyć cyfry znaczące. Przypuśćmy, że kolba z cieczą waży 58.36 g na wadze technicznej, a pusta kolba ważyła 57.912 g na wadze analitycznej. Różnica na kalkulatorze wynosi 0.448 g, ale pierwsza masa jest znana tylko do części setnych, więc masa cieczy to 0.45 g. Z danych o czterech i pięciu cyfrach zostają dwie cyfry znaczące. Gdy liczy się niewielka różnica dwóch dużych liczb, zważ obie na dokładniejszej wadze.

Mnożenie i dzielenie: licz cyfry znaczące

W iloczynach i ilorazach przenosi się niepewność względna. Zaokrąglij wynik do tej samej liczby cyfr znaczących, jaką ma dana z najmniejszą liczbą cyfr znaczących.

Przykład rozwiązany 2. Prostokątny blok ma wymiary 4.20 cm na 2.15 cm na 1.8 cm. Objętość na kalkulatorze to 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³. Wysokość ma tylko dwie cyfry znaczące, więc objętość podajemy jako 16 cm³. Dokładniejszy pomiar wysokości, na przykład 1.80 cm suwmiarką, byłby jedynym sposobem uzasadnienia trzeciej cyfry.

Logarytmy podlegają pokrewnej zasadzie, która pojawia się przy pH: liczba miejsc dziesiętnych w logarytmie jest równa liczbie cyfr znaczących w wartości wyjściowej. Stężenie jonów wodorowych 3.4 × 10⁻⁴ mol/L ma dwie cyfry znaczące, więc pH podajemy z dwoma miejscami dziesiętnymi: 3.47.

Zaokrąglanie jednokrotne, na końcu obliczenia wieloetapowego

W obliczeniu z kilkoma etapami zachowaj w każdej wartości pośredniej co najmniej jedną lub dwie dodatkowe cyfry (cyfry zabezpieczające) i zaokrąglij tylko ostateczną odpowiedź. Śledź, ile cyfr znaczących uzasadnia każdy etap, ale nie odrzucaj cyfr aż do końca. Zaokrąglanie na każdym etapie za każdym razem dodaje niewielki błąd, a te błędy mogą zmienić ostatnią podaną cyfrę.

Przykład rozwiązany 3. Rozpuszczasz 1.37 g chlorku sodu w wodzie i uzupełniasz do dokładnie 50.00 mL w kolbie miarowej. Przy standardowych masach atomowych IUPAC zaokrąglonych do dwóch miejsc dziesiętnych (Na 22.99, Cl 35.45) masa molowa NaCl wynosi 58.44 g/mol. Ilość substancji to 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, zachowane bez zaokrąglenia. Objętość to 0.05000 L, więc stężenie wynosi 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, co po zaokrągleniu daje 0.469 mol/L, ponieważ masa ma trzy cyfry znaczące.

Gdybyś najpierw zaokrąglił ilość substancji do 0.0234 mol, otrzymałbyś 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. Różnica jest niewielka, ale to realny błąd wprowadzony przez arytmetykę, a nie przez pomiary, i w dłuższych łańcuchach obliczeń może narastać.

Kiedy zaokrąglać połówki w górę, a kiedy do cyfry parzystej

Jeśli pierwsza odrzucana cyfra jest mniejsza niż 5, pozostaw zachowywaną cyfrę bez zmian; jeśli jest większa niż 5 albo jest to 5 po której następują jakiekolwiek cyfry niezerowe, zaokrąglij w górę. Zatem 0.064371 zaokrągla się do 0.0644, a 7.2849 do 7.28 przy trzech cyfrach znaczących.

Jedyny sporny przypadek to odrzucana cyfra dokładnie 5, po której nic nie następuje. OpenStax Chemistry 2e zaokrągla tak, aby zachowywana cyfra była parzysta (6.125 daje 6.12, a 6.135 daje 6.14), co pozwala uniknąć niewielkiego systematycznego przesunięcia w górę przy wielu zaokrągleniach. Wielu nauczycieli po prostu zaokrągla 5 w górę. Sprawdź, jakiej konwencji używa Twój kurs, i stosuj ją konsekwentnie; dotyczy ona tylko tego jednego przypadku.

Błędy w cyfrach znaczących, na które warto zwracać uwagę we własnej pracy

Większość błędów w cyfrach znaczących wynika z kilku przewidywalnych pomyłek. Zanim otoczysz odpowiedź ramką, przeczytaj dane jeszcze raz i zapytaj, która z nich ogranicza wynik i na mocy jakiej zasady.

Pewien szybki nawyk czyni to rutyną: obok każdej odpowiedzi zanotuj dane ograniczającą wynik i zastosowaną zasadę, czyli miejsca dziesiętne lub liczbę cyfr. Jeśli odpowiedź ma więcej cyfr, niż uzasadnia ta dana, zaokrąglij ją; jeśli ma mniej, poszukaj zera końcowego, które kalkulator pominął.

• Pozwalanie, by liczba dokładna ograniczała odpowiedź. Współczynnik 1000 mL/L lub współczynnik 2 nigdy nie zmniejsza liczby cyfr znaczących.
• Stosowanie reguły mnożenia do sumy. Sumy i różnice są ograniczane liczbą miejsc dziesiętnych, a nie liczbą cyfr.
• Zaokrąglanie każdej wartości pośredniej. Zachowuj cyfry zabezpieczające i zaokrąglaj raz, na końcu.
• Gubienie znaczących zer końcowych. Kalkulator pokazuje 2.5, gdy pomiar wynosił 2.50 mL; dopisz zero z powrotem.
• Liczenie zer początkowych. 0.0081 g ma dwie cyfry znaczące, nie cztery.
• Podawanie liczby całkowitej z niejednoznacznymi zerami. Napisz 3.40 × 10² g zamiast 340 g, gdy znaczące są trzy cyfry.