Kwantumgetallen en orbitalen: regels, aantallen en vormen

Elektronen als golven: de debrogliegolflengte

In 1924 stelde De Broglie voor dat elk bewegend deeltje een golflengte λ = h/(mv) heeft, waarbij h de constante van Planck is, m de massa en v de snelheid. Bij alledaagse voorwerpen is de golflengte veel te klein om op te merken. Een honkbal van 0.145 kg met 40.0 m/s heeft λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Voor een elektron, met een massa van 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), is de golflengte vergelijkbaar met de grootte van een atoom.

Uitgewerkt voorbeeld 1. Een elektron dat met 2.188 × 10⁶ m/s beweegt, heeft λ = h/(mv). Met de CODATA-waarden h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s en m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg is λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, of 0.3324 nm. Deze snelheid is de snelheid die het model van Bohr toekent aan het elektron in de laagste baan van waterstof, waarvan de straal de bohrstraal is, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). De omtrek van de baan is 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, dus er past precies één elektrongolflengte omheen, met een overeenstemming beter dan 0.02%. Gekwantiseerde energieniveaus zijn wat je krijgt wanneer een elektrongolf in haar ruimte moet passen zonder zichzelf uit te doven, net zoals een gitaarsnaar alleen op bepaalde frequenties kan trillen.

Onzekerheid en het einde van vaste banen

Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg stelt een grens aan hoe goed plaats en impuls samen bekend kunnen zijn: Δx·Δp ≥ ħ/2, waarbij ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Uitgewerkt voorbeeld 2. Sluit een elektron op in een gebied van 1.0 × 10⁻¹⁰ m breed, ongeveer zo groot als een atoom. Dan is Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, en Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. De onzekerheid in de snelheid is een flink deel van de snelheid zelf, dus een bepaalde baan, zoals die van een planeet, heeft voor een elektron in een atoom geen betekenis.

De kwantummechanica vervangt de baan door een golffunctie, ψ. Het kwadraat ervan, ψ², is de waarschijnlijkheidsdichtheid: vermenigvuldigd met het volume van een klein gebied geeft het de kans om het elektron daar aan te treffen. Een orbitaal is een golffunctie voor één elektron, en de bekende afbeeldingen van orbitalen zijn oppervlakken die het grootste deel van die kans omsluiten, vaak 90%.

Toegestane waarden van n, l, mₗ en mₛ

Het oplossen van de golfvergelijking voor het waterstofatoom levert drie kwantumgetallen op, die elk worden beperkt door het voorgaande. Een vierde beschrijft de spin van het elektron. De beperkingen zijn waar het allemaal om draait.

• Hoofdkwantumgetal n = 1, 2, 3, …. Het bepaalt de schil en, in waterstof, de energie. Een grotere n betekent een grotere orbitaal met hogere energie.
• Nevenkwantumgetal (impulsmomentkwantumgetal) l = 0, 1, …, n − 1. Het bepaalt de subschil en de vorm: l = 0, 1, 2, 3 zijn s, p, d, f.
• Magnetisch kwantumgetal mₗ = −l, …, 0, …, +l, wat 2l + 1 waarden geeft. Het bepaalt de oriëntatie van de orbitaal in de ruimte.
• Spinkwantumgetal mₛ = +½ of −½. Het hangt niet af van de andere drie.

Uitgewerkt voorbeeld: zes sets kwantumgetallen toetsen

Om een set (n, l, mₗ, mₛ) te toetsen, controleer je elk getal op volgorde tegen het voorgaande. Stop bij de eerste overtreding.

(3, 3, 0, +½) is niet toegestaan: l mag hoogstens n − 1 = 2 zijn. (4, 2, −3, −½) is niet toegestaan: bij l = 2 loopt mₗ alleen van −2 tot +2. (3, 2, 1, 0) is niet toegestaan: mₛ moet +½ of −½ zijn, nooit 0. (2, 1, −1, −½) is toegestaan en beschrijft een elektron in een 2p-orbitaal. (5, 0, 0, +½) is toegestaan en beschrijft een 5s-elektron. (4, 3, −3, +½) is toegestaan en beschrijft een 4f-elektron.

Om de orbitaal bij een toegestane set te benoemen, schrijf je n gevolgd door de letter voor l. De waarde van mₗ kiest één orbitaal binnen de subschil, maar verandert de naam in deze notatie niet.

Orbitalen en elektronen tellen onder een beperking

Telvragen worden routine als je de toegestane l-waarden opsomt, daarna de mₗ-waarden voor elk ervan, en pas dan de beperking toepast. Elke orbitaal, dat wil zeggen elke toegestane combinatie (n, l, mₗ), bevat twee elektronen, één met elke spin.

Een schil met hoofdkwantumgetal n bevat n² orbitalen en 2n² elektronen. Voor n = 4 kan l 0, 1, 2 of 3 zijn, wat 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitalen en 32 elektronen geeft.

Uitgewerkt voorbeeld 3. Hoeveel elektronen in een atoom kunnen n = 3 en mₗ = +1 hebben? De l-waarden voor n = 3 zijn 0, 1 en 2. mₗ = +1 is alleen mogelijk wanneer l ≥ 1, dus er is één zo'n orbitaal in 3p en één in 3d: twee orbitalen, vier elektronen. Hoeveel kunnen n = 5 en mₛ = +½ hebben? Schil 5 heeft 5² = 25 orbitalen, elk met één +½-elektron, dus 25. Hoeveel kunnen n = 4 en l = 2 hebben? Dat is de 4d-subschil: 5 orbitalen en 10 elektronen.

Vormen van orbitalen en knopen tellen

Een knoop is een plek waar ψ, en dus de kans om het elektron aan te treffen, nul is. Een orbitaal heeft in totaal n − 1 knopen. Daarvan zijn er l hoekknopen, vlakken of kegels door de kern, en de overige n − l − 1 zijn radiale knopen, bolschillen op vaste afstanden. OpenStax Chemistry 2e (paragraaf 6.3) geeft de regel voor radiale knopen.

s-orbitalen (l = 0) zijn bolvormig zonder hoekknopen, dus een 2s-orbitaal heeft één radiale knoop en een 3s-orbitaal heeft er twee. p-orbitalen (l = 1) hebben twee lobben aan weerszijden van de kern met één knoopvlak ertussen; de drie worden pₓ, p_y en p_z genoemd naar de as waarlangs ze wijzen. d-orbitalen (l = 2) hebben twee hoekknopen. Vier ervan hebben vier lobben; de vijfde, d_z², heeft twee lobben langs de z-as en een ring rond het midden.

Uitgewerkt voorbeeld 4. Een 3p-orbitaal heeft 3 − 1 − 1 = 1 radiale knoop en 1 hoekknoop. Een 4d-orbitaal heeft 1 radiale knoop en 2 hoekknopen, 3 in totaal. Een 3d-orbitaal heeft geen radiale knopen, en een 6s-orbitaal heeft er 5.

Wanneer orbitalen in dezelfde schil in energie verschillen

In waterstof hangt de energie alleen af van n, dus 3s, 3p en 3d hebben dezelfde energie. In atomen met meer dan één elektron schermen de andere elektronen de kern ongelijkmatig af. Een s-elektron dringt dichter tot de kern door dan een p- of d-elektron van dezelfde schil, voelt meer van de kernlading en ligt lager in energie. Het resultaat is de opsplitsing s < p < d < f binnen een schil, die de vulvolgorde bepaalt die in de gids over elektronenconfiguraties wordt behandeld.

Orbitalen in dezelfde subschil, zoals de drie 2p-orbitalen, blijven in een geïsoleerd atoom gelijk in energie. Ze heten ontaard. Omringende atomen in een molecuul of kristal kunnen die ontaarding opheffen.

Fouten met kwantumgetallen om op te controleren

Bijna elke fout komt door het overslaan van de opsomstap. Schrijf bij twijfel elke toegestane waarde uit voordat je telt.

• l gelijk laten zijn aan n. De grootste toegestane l is n − 1, dus er bestaat geen 1p- of 2d-orbitaal.
• mₗ-waarden tellen van 0 tot l in plaats van van −l tot +l, waardoor je te weinig orbitalen telt.
• Orbitalen tellen wanneer de vraag naar elektronen vraagt, of andersom. Elke orbitaal bevat twee elektronen.
• mₛ de waarde 0 of 1 geven. Spin is alleen +½ of −½.
• n − l − 1 gebruiken als het totale aantal knopen. Die formule telt alleen radiale knopen; het totaal is n − 1.
• Het grensoppervlak van 90% behandelen als een harde rand. De elektronendichtheid neemt geleidelijk af en heeft geen scherpe grens.