Licht en atoomspectra: fotonen, energieniveaus en de waterstoflijnen

Golflengte, frequentie en de lichtsnelheid

Licht is een elektromagnetische golf. Zijn golflengte λ is de afstand tussen golftoppen, en zijn frequentie ν is het aantal toppen dat per seconde een punt passeert, in hertz (s⁻¹). In vacuüm reist elke golflengte met dezelfde snelheid, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, een exact gedefinieerde waarde die NIST vermeldt. De drie grootheden zijn verbonden door c = λν, dus golflengte en frequentie zijn omgekeerd evenredig: halveer de ene en de andere verdubbelt.

Zichtbaar licht loopt van ruwweg 400 nm (violet) tot 700 nm (rood). Ultraviolet licht heeft kortere golflengten en hogere frequenties; infrarood heeft langere golflengten en lagere frequenties. Reken nanometers om naar meters voordat je c = λν gebruikt: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Fotonenergie en het foto-elektrisch effect

Licht wordt geabsorbeerd en uitgezonden in pakketjes die fotonen heten. Elk foton draagt een energie E = hν = hc/λ, waarbij h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s de constante van Planck is, eveneens exact. Een kortere golflengte betekent meer energie per foton. Feller licht van dezelfde kleur betekent meer fotonen, geen energierijkere.

Uitgewerkt voorbeeld 1. Het gele licht van een natriumlamp ligt bij ongeveer 589.0 nm. De frequentie is ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Eén foton draagt E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Vermenigvuldig met het getal van Avogadro, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, voor een mol fotonen: 2.031 × 10⁵ J, of 203.1 kJ/mol. Dat is vergelijkbaar met de energie van een zwakke chemische binding, en daarom kunnen zichtbaar en ultraviolet licht fotochemische reacties aandrijven.

Het foto-elektrisch effect laat het fotonbeeld direct zien. Licht maakt alleen elektronen vrij uit een metaal als elk foton minstens de uittree-energie Φ van het metaal draagt. Alle extra energie wordt kinetische energie van het elektron: KEmax = hν − Φ.

Uitgewerkt voorbeeld 2. Stel dat een metaaloppervlak een grensgolflengte van 540 nm heeft (een gegeven waarde voor deze oefening). De uittree-energie is Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Violet licht van 405 nm heeft fotonen van 4.905 × 10⁻¹⁹ J, dus KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Afgerond op drie significante cijfers is dat 1.23 × 10⁻¹⁹ J, of 0.765 eV. Rood licht van 650 nm maakt, hoe intens ook, geen elektronen vrij, omdat elk foton maar 3.06 × 10⁻¹⁹ J heeft.

Waarom atomen lijnenspectra geven in plaats van regenbogen

Een hete vaste stof, zoals een gloeidraad, zendt een continu spectrum uit. Een heet gas van atomen onder lage druk zendt alleen bepaalde golflengten uit. Elektronen in een atoom kunnen alleen bepaalde energieniveaus bezetten. Wanneer een elektron van een hoger naar een lager niveau valt, zendt het atoom één foton uit waarvan de energie gelijk is aan het verschil: ΔE = hν. Omdat alleen bepaalde verschillen bestaan, verschijnen alleen bepaalde golflengten.

Absorptie is het omgekeerde. Schijn wit licht door een koel gas en de atomen halen precies de golflengten weg die bij hun sprongen omhoog passen, zodat er donkere lijnen achterblijven in een verder continu spectrum. Een sprong tussen dezelfde twee niveaus heeft dezelfde golflengte, of het atoom nu absorbeert of uitzendt. De set energieverschillen van elk element is uniek, dus spectra identificeren elementen in vlammen, lampen en verre sterren.

Energieniveaus van waterstof en de vergelijking van Rydberg

Voor een atoom met één elektron volgen de energieniveaus een eenvoudige formule. OpenStax Chemistry 2e (paragraaf 6.2) geeft Eₙ = −kZ²/n², met k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z de kernlading en n = 1, 2, 3, …. De energie is negatief omdat het gebonden elektron lager in energie ligt dan een vrij elektron in rust, waarvan de energie op nul is gesteld. Naarmate n groeit, liggen de niveaus steeds dichter bij elkaar en naderen ze nul.

Het foton dat wordt uitgezonden wanneer het elektron van nᵢ naar een lagere n_f valt, heeft energie ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Delen door hc geeft de vergelijking van Rydberg voor waterstof, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), met R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Uitgewerkt voorbeeld 3. Bepaal de golflengte van de lijn n = 3 → n = 2 van waterstof. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, waarbij je tot het eind één extra cijfer aanhoudt. Met hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m is λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, of 656.4 nm. Het NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data vermeldt deze rode lijn bij 656.3 nm in lucht. Het verschil in het laatste cijfer komt door het afronden van k en door de iets lagere lichtsnelheid in lucht.

Uitgewerkt voorbeeld 4. De ionisatie-energie van waterstof is de energie die nodig is om het elektron van n = 1 naar n = ∞ te brengen, en dat is k zelf: 2.179 × 10⁻¹⁸ J per atoom. Per mol is dat (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, of 1312 kJ/mol. De waarde uit de NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, komt overeen met 1312.0 kJ/mol.

De reeksen van Lyman, Balmer en Paschen

Lijnen die op hetzelfde lagere niveau eindigen, vormen een reeks. Ze komen allemaal dichter bij elkaar te liggen naarmate nᵢ toeneemt en naderen een reekslimiet, waar het elektron als vrij elektron begint.

• Lymanreeks, eindigend bij n = 1: ultraviolet. De lijn 2 → 1 ligt bij 121.6 nm, en de reekslimiet ligt bij ongeveer 91.2 nm.
• Balmerreeks, eindigend bij n = 2: de vier zichtbare waterstoflijnen, bij ongeveer 656, 486, 434 en 410 nm voor nᵢ = 3, 4, 5 en 6. De reekslimiet ligt bij ongeveer 365 nm, in het ultraviolet.
• Paschenreeks, eindigend bij n = 3: infrarood. De lijn 4 → 3 ligt bij ongeveer 1875 nm.

Fouten bij spectra en snelle controles

De meeste fouten in deze opgaven zijn eenheidsfouten of tekenfouten. Twee controles vangen de meeste op: een zichtbaar foton hoort ruwweg 2.8 tot 5.0 × 10⁻¹⁹ J te dragen, en een groter energieverschil moet een kortere golflengte geven.

• De golflengte in nanometers laten staan bij het gebruik van c = λν of E = hc/λ. Reken eerst om naar meters.
• De vergelijking van Rydberg gebruiken met nᵢ en n_f verwisseld, wat een negatieve golflengte geeft.
• Verwachten dat elke waterstoflijn zichtbaar is. De hele Lymanreeks ligt in het ultraviolet en de Paschenreeks in het infrarood.
• Denken dat feller licht snellere foto-elektronen vrijmaakt. De intensiteit verandert het aantal elektronen, niet hun maximale energie.
• Eₙ = −kZ²/n² toepassen op helium of op een ander atoom met meer dan één elektron. De formule geldt alleen voor deeltjes met één elektron, zoals H, He⁺ en Li²⁺.
• Het getal van Avogadro vergeten bij het omrekenen van een energie per foton naar kJ/mol, of het twee keer toepassen.

Wat het model van Bohr verklaart en waar het ophoudt

Het model van Bohr voor het waterstofatoom, met het elektron in cirkelvormige banen met vaste energie, reproduceert de waterstoflijnen en de Z²-schaling voor ionen zoals He⁺. Voor He⁺ is elke overgangsenergie van waterstof vier keer zo groot, dus zijn lijn 2 → 1 ligt bij ongeveer 30.4 nm.

Het model faalt voor atomen met twee of meer elektronen, omdat de afstoting tussen elektronen de niveaus verandert. Het stelt elektronen bovendien voor op bepaalde banen, wat de kwantummechanica uitsluit. De moderne theorie behoudt de energieniveaus van Bohr voor waterstof, maar vervangt banen door orbitalen, die beschrijven waar een elektron waarschijnlijk te vinden is.