Nombor Kuantum dan Orbital: Peraturan, Kiraan dan Bentuk

Elektron sebagai gelombang: panjang gelombang de Broglie

Pada tahun 1924, de Broglie mencadangkan bahawa setiap zarah yang bergerak mempunyai panjang gelombang λ = h/(mv), dengan h ialah pemalar Planck, m jisim dan v laju. Bagi objek harian, panjang gelombang itu terlalu kecil untuk disedari. Bola besbol 0.145 kg pada 40.0 m/s mempunyai λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Bagi elektron, dengan jisim 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), panjang gelombangnya setanding dengan saiz atom.

Contoh penyelesaian 1. Elektron yang bergerak pada 2.188 × 10⁶ m/s mempunyai λ = h/(mv). Dengan nilai CODATA h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s dan m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, atau 0.3324 nm. Laju ini ialah laju yang diberikan oleh model Bohr kepada elektron dalam orbit terendah hidrogen, yang jejarinya ialah jejari Bohr, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Lilitan orbit itu ialah 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, jadi satu panjang gelombang elektron muat mengelilinginya, dengan persetujuan lebih baik daripada 0.02%. Aras tenaga terkuantum ialah apa yang anda peroleh apabila gelombang elektron mesti muat dalam ruangnya tanpa membatalkan dirinya sendiri, sama seperti tali gitar hanya boleh bergetar pada frekuensi tertentu.

Ketakpastian dan berakhirnya orbit tetap

Prinsip ketakpastian Heisenberg menetapkan had tentang sejauh mana kedudukan dan momentum boleh diketahui serentak: Δx·Δp ≥ ħ/2, dengan ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Contoh penyelesaian 2. Kurung elektron dalam kawasan selebar 1.0 × 10⁻¹⁰ m, kira-kira saiz atom. Maka Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, dan Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Ketakpastian laju ialah pecahan yang besar daripada laju itu sendiri, jadi laluan yang pasti, seperti orbit planet, tidak bermakna bagi elektron dalam atom.

Mekanik kuantum menggantikan laluan dengan fungsi gelombang, ψ. Kuasa duanya, ψ², ialah ketumpatan kebarangkalian: apabila didarab dengan isi padu suatu kawasan kecil, ia memberikan kebarangkalian menemui elektron di situ. Orbital ialah fungsi gelombang bagi satu elektron, dan gambar orbital yang biasa dilihat ialah permukaan yang melingkungi sebahagian besar kebarangkalian itu, selalunya 90%.

Nilai n, l, mₗ dan mₛ yang dibenarkan

Menyelesaikan persamaan gelombang bagi atom hidrogen menghasilkan tiga nombor kuantum, setiap satu dihadkan oleh nombor sebelumnya. Nombor keempat menerangkan spin elektron. Sekatan-sekatan itulah intipati keseluruhannya.

• Nombor kuantum utama n = 1, 2, 3, …. Ia menentukan petala dan, dalam hidrogen, tenaga. n yang lebih besar bermakna orbital yang lebih besar dan bertenaga lebih tinggi.
• Nombor kuantum momentum sudut l = 0, 1, …, n − 1. Ia menentukan subpetala dan bentuk: l = 0, 1, 2, 3 ialah s, p, d, f.
• Nombor kuantum magnet mₗ = −l, …, 0, …, +l, memberikan 2l + 1 nilai. Ia menentukan orientasi orbital dalam ruang.
• Nombor kuantum spin mₛ = +½ atau −½. Ia tidak bergantung pada tiga nombor yang lain.

Contoh penyelesaian: menguji enam set nombor kuantum

Untuk menguji satu set (n, l, mₗ, mₛ), semak setiap nombor berbanding nombor sebelumnya, mengikut tertib. Berhenti pada pelanggaran pertama.

(3, 3, 0, +½) tidak dibenarkan: l mesti paling banyak n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) tidak dibenarkan: dengan l = 2, mₗ hanya berjulat dari −2 hingga +2. (3, 2, 1, 0) tidak dibenarkan: mₛ mesti +½ atau −½, tidak pernah 0. (2, 1, −1, −½) dibenarkan dan menerangkan elektron dalam orbital 2p. (5, 0, 0, +½) dibenarkan dan menerangkan elektron 5s. (4, 3, −3, +½) dibenarkan dan menerangkan elektron 4f.

Untuk menamakan orbital daripada set yang dibenarkan, tulis n diikuti oleh huruf bagi l. Nilai mₗ memilih satu orbital dalam subpetala tetapi tidak mengubah namanya dalam tatatanda ini.

Mengira orbital dan elektron di bawah sekatan

Soalan mengira menjadi rutin jika anda menyenaraikan nilai l yang dibenarkan, kemudian nilai mₗ bagi setiap satu, dan barulah menggunakan sekatan itu. Setiap orbital, iaitu setiap gabungan (n, l, mₗ) yang dibenarkan, memuatkan dua elektron, satu dengan setiap spin.

Petala dengan nombor kuantum utama n mengandungi n² orbital dan 2n² elektron. Bagi n = 4, l boleh jadi 0, 1, 2 atau 3, memberikan 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbital dan 32 elektron.

Contoh penyelesaian 3. Berapa banyak elektron dalam atom yang boleh mempunyai n = 3 dan mₗ = +1? Nilai l bagi n = 3 ialah 0, 1 dan 2. mₗ = +1 hanya mungkin apabila l ≥ 1, jadi terdapat satu orbital sedemikian dalam 3p dan satu dalam 3d: dua orbital, empat elektron. Berapa banyak yang boleh mempunyai n = 5 dan mₛ = +½? Petala 5 mempunyai 5² = 25 orbital, setiap satu dengan satu elektron +½, jadi 25. Berapa banyak yang boleh mempunyai n = 4 dan l = 2? Itu ialah subpetala 4d: 5 orbital dan 10 elektron.

Bentuk orbital dan mengira nod

Nod ialah tempat ψ, dan oleh itu kebarangkalian menemui elektron, bernilai sifar. Sesuatu orbital mempunyai n − 1 nod secara keseluruhan. Daripada jumlah ini, l ialah nod sudut, iaitu satah atau kon yang melalui nukleus, dan baki n − l − 1 ialah nod jejarian, iaitu petala sfera pada jarak tetap. OpenStax Chemistry 2e (Bahagian 6.3) memberikan peraturan nod jejarian.

Orbital s (l = 0) berbentuk sfera tanpa nod sudut, jadi orbital 2s mempunyai satu nod jejarian dan orbital 3s mempunyai dua. Orbital p (l = 1) mempunyai dua cuping pada sisi bertentangan nukleus dengan satu satah nod di antaranya; ketiga-tiganya dilabel pₓ, p_y dan p_z mengikut paksi yang ditujunya. Orbital d (l = 2) mempunyai dua nod sudut. Empat daripadanya mempunyai empat cuping; yang kelima, d_z², mempunyai dua cuping di sepanjang paksi z dan satu gelang di sekeliling bahagian tengah.

Contoh penyelesaian 4. Orbital 3p mempunyai 3 − 1 − 1 = 1 nod jejarian dan 1 nod sudut. Orbital 4d mempunyai 1 nod jejarian dan 2 nod sudut, 3 secara keseluruhan. Orbital 3d tidak mempunyai nod jejarian, dan orbital 6s mempunyai 5.

Apabila orbital dalam petala yang sama berbeza tenaga

Dalam hidrogen, tenaga hanya bergantung pada n, jadi 3s, 3p dan 3d mempunyai tenaga yang sama. Dalam atom dengan lebih daripada satu elektron, elektron lain melindungi nukleus secara tidak sekata. Elektron s menembusi lebih dekat dengan nukleus berbanding elektron p atau d dalam petala yang sama, merasai lebih banyak cas nukleus dan mempunyai tenaga yang lebih rendah. Hasilnya ialah pemisahan s < p < d < f dalam satu petala, yang menentukan tertib pengisian yang diliputi dalam panduan konfigurasi elektron.

Orbital dalam subpetala yang sama, seperti tiga orbital 2p, kekal sama tenaga dalam atom terpencil. Ia dipanggil orbital merosot. Atom di sekelilingnya dalam molekul atau hablur boleh memecahkan kemerosotan itu.

Kesilapan nombor kuantum yang perlu disemak

Hampir setiap kesilapan berpunca daripada melangkau langkah menyenaraikan. Apabila ragu-ragu, tulis setiap nilai yang dibenarkan sebelum mengira.

• Membiarkan l sama dengan n. Nilai l terbesar yang dibenarkan ialah n − 1, jadi tiada orbital 1p atau 2d.
• Mengira nilai mₗ dari 0 hingga l dan bukannya dari −l hingga +l, yang mengurangkan kiraan orbital.
• Mengira orbital apabila soalan meminta elektron, atau sebaliknya. Setiap orbital memuatkan dua elektron.
• Memberikan mₛ nilai 0 atau 1. Spin hanya +½ atau −½.
• Menggunakan n − l − 1 sebagai jumlah bilangan nod. Formula itu hanya mengira nod jejarian; jumlahnya ialah n − 1.
• Menganggap permukaan sempadan 90% sebagai pinggir yang keras. Ketumpatan elektron pudar secara beransur-ansur dan tidak mempunyai sempadan yang tajam.