रसायनशास्त्राच्या गणितांमधील सार्थ अंक

मोजलेल्या संख्या आणि अचूक संख्या

मोजलेले मूल्य अनिश्चित असते कारण प्रत्येक उपकरणाला मर्यादा असते. 0.1 mL च्या टप्प्यांनी अंकित केलेल्या ब्युरेटमधील वाचन घेताना तुम्ही निश्चित खुणा नोंदवता आणि त्यांच्या दरम्यानचा आणखी एक अंक अंदाजाने ठरवता, म्हणून 18.36 mL सारख्या वाचनात चार सार्थ अंक असतात: तीन निश्चित अंक आणि एक अंदाजित अंक. 18.360 mL असे लिहिणे म्हणजे ब्युरेट देऊ शकत नाही अशा अचूकतेचा दावा करणे होय.

अचूक संख्यांमध्ये मोजमापाची अनिश्चितता नसते. त्या मोजणीतून (स्टँडमधील 12 परीक्षानळ्या), व्याख्यांमधून (1 इंच म्हणजे नेमके 2.54 cm आणि 1 L म्हणजे नेमके 1000 mL) आणि रासायनिक सूत्रे व समीकरणांमधील गुणांक व अधोअंकांमधून येतात. अचूक संख्यांना अमर्याद सार्थ अंक असलेल्या मानाव्यात, म्हणजे त्या कधीही गणिताने काढलेल्या निकालाची अचूकता मर्यादित करत नाहीत.

अंक मोजणे, त्रासदायक शून्यांसह

शून्येतर अंक नेहमी सार्थ असतात. शून्ये सार्थ आहेत की नाहीत हे ती मोजलेली माहिती दर्शवतात की केवळ दशांश चिन्हाचे स्थान दर्शवतात यावर अवलंबून असते. खालील नियम सामान्य रसायनशास्त्रात तुम्हाला भेटणाऱ्या प्रत्येक प्रसंगाला लागू होतात.

दशांश चिन्ह नसलेल्या पूर्ण संख्येतील शेवटची शून्ये हीच खरोखर संदिग्ध बाब आहे. 1200 g असे लिहिलेले वस्तुमान दोन, तीन किंवा चार सार्थ अंकांपर्यंत ज्ञात असू शकते. वैज्ञानिक संकेतलेखनामुळे संदिग्धता दूर होते: 1.2 × 10³ g मध्ये दोन, 1.20 × 10³ g मध्ये तीन आणि 1.200 × 10³ g मध्ये चार अंक असतात.

• शून्येतर अंकांच्या मधली शून्ये सार्थ असतात: 30.506 g मध्ये पाच आहेत.
• सुरुवातीची शून्ये कधीही सार्थ नसतात; ती फक्त दशांश चिन्हाचे स्थान दर्शवतात: 0.004070 m मध्ये चार आहेत (4, 0, 7, 0).
• दशांश चिन्हाच्या उजवीकडील शेवटची शून्ये सार्थ असतात: 2.500 mL मध्ये चार आहेत.
• दशांश चिन्ह नसलेल्या पूर्ण संख्येतील शेवटची शून्ये संदिग्ध असतात; तुमचा हेतू स्पष्ट करण्यासाठी वैज्ञानिक संकेतलेखन वापरा.

बेरीज आणि वजाबाकी: दशांश स्थाने एकमेकांशी जुळवा

राशींची बेरीज किंवा वजाबाकी करताना महत्त्वाची असते ती शेवटच्या दशांश स्थानातील निरपेक्ष अनिश्चितता, सार्थ अंकांची संख्या नव्हे. निकाल सर्वात कमी दशांश स्थाने असलेल्या मोजमापाइतक्याच दशांश स्थानांपर्यंत पूर्णांकित करा.

सोडवलेले उदाहरण 1. तुम्ही वेगवेगळ्या तराजूंवर मोजलेल्या घन पदार्थाचे तीन भाग एकत्र करता: 12.6 g, 0.237 g आणि 105.42 g. कॅल्क्युलेटर 118.257 g दाखवतो. पहिले वस्तुमान फक्त दशांशाच्या पहिल्या स्थानापर्यंतच ज्ञात आहे, म्हणून बेरीजही फक्त त्या स्थानापर्यंतच ज्ञात आहे: 118.3 g. लक्षात घ्या की एका इनपुटमध्ये फक्त तीन अंक असूनही उत्तरात चार सार्थ अंक आहेत; बेरजेमध्ये निकाल मर्यादित करणारी बाब अंकांची संख्या नसते.

वजाबाकीमुळे सार्थ अंक नष्ट होऊ शकतात. समजा द्रव असलेल्या फ्लास्कचे वजन वरून भार ठेवण्याच्या तराजूवर 58.36 g आहे आणि रिकाम्या फ्लास्कचे वजन विश्लेषणात्मक तराजूवर 57.912 g होते. कॅल्क्युलेटरवर फरक 0.448 g येतो, पण पहिले वस्तुमान फक्त शतांश स्थानापर्यंतच ज्ञात आहे, म्हणून द्रवाचे वस्तुमान 0.45 g आहे. चार आणि पाच अंक असलेल्या इनपुटमधून दोनच सार्थ अंक शिल्लक राहतात. दोन मोठ्या संख्यांमधील लहान फरक महत्त्वाचा असेल तेव्हा दोन्ही अधिक अचूक तराजूवर मोजा.

गुणाकार आणि भागाकार: सार्थ अंक मोजा

गुणाकार आणि भागाकारासाठी सापेक्ष अनिश्चितता पुढे जाते. निकाल सर्वात कमी सार्थ अंक असलेल्या इनपुटइतक्याच सार्थ अंकांपर्यंत पूर्णांकित करा.

सोडवलेले उदाहरण 2. एका आयताकृती ठोकळ्याचे माप 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm आहे. कॅल्क्युलेटरवर आकारमान 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ येते. उंचीमध्ये फक्त दोन सार्थ अंक आहेत, म्हणून आकारमान 16 cm³ असे नोंदवले जाते. उंची अधिक काळजीपूर्वक, म्हणजे कॅलिपरने 1.80 cm अशी मोजणे हाच तिसरा अंक योग्य ठरवण्याचा एकमेव मार्ग असेल.

लॉगरिदमसाठी एक संबंधित नियम आहे जो pH च्या गणितात दिसतो: लॉगरिदममधील दशांश स्थानांची संख्या मूळ मूल्यातील सार्थ अंकांच्या संख्येइतकी असते. 3.4 × 10⁻⁴ mol/L या हायड्रोजन आयन संहतीत दोन सार्थ अंक आहेत, म्हणून तिचा pH दोन दशांश स्थानांपर्यंत, म्हणजे 3.47, असा नोंदवला जातो.

अनेक टप्प्यांच्या गणिताच्या शेवटी एकदाच पूर्णांकन

अनेक टप्पे असलेल्या गणितात प्रत्येक मध्यवर्ती मूल्यात किमान एक किंवा दोन अतिरिक्त अंक (राखीव अंक) ठेवा आणि फक्त अंतिम उत्तराचे पूर्णांकन करा. प्रत्येक टप्पा किती सार्थ अंकांना समर्थन देतो याची नोंद ठेवा, पण शेवटपर्यंत अंक टाकून देऊ नका. प्रत्येक टप्प्यावर पूर्णांकन केल्याने प्रत्येक वेळी थोडी त्रुटी भर पडते आणि त्या त्रुटींमुळे नोंदवलेला शेवटचा अंक बदलू शकतो.

सोडवलेले उदाहरण 3. तुम्ही 1.37 g सोडियम क्लोराइड पाण्यात विरघळवता आणि आकारमापी फ्लास्कमध्ये ते नेमके 50.00 mL पर्यंत विरल करता. दोन दशांश स्थानांपर्यंत पूर्णांकित केलेले IUPAC प्रमाणित अणुभार (Na 22.99, Cl 35.45) वापरल्यास NaCl चे मोलर वस्तुमान 58.44 g/mol आहे. प्रमाण 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol असे येते, जे पूर्णांकित न करता ठेवले जाते. आकारमान 0.05000 L आहे, म्हणून संहती 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L येते, जी 0.469 mol/L असे पूर्णांकित होते कारण वस्तुमानात तीन सार्थ अंक आहेत.

जर तुम्ही आधी प्रमाण 0.0234 mol असे पूर्णांकित केले असते, तर तुम्हाला 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L मिळाले असते. फरक लहान आहे, पण ती मोजमापांमुळे नव्हे तर गणितामुळे आलेली खरी त्रुटी आहे, आणि लांबलचक साखळ्यांमध्ये ती वाढू शकते.

अर्ध्यावरच्या अंकांचे पूर्णांकन वर करायचे की सम अंकाकडे

जो पहिला अंक तुम्ही वगळता तो 5 पेक्षा कमी असेल तर राखलेला अंक तसाच ठेवा; तो 5 पेक्षा मोठा असेल, किंवा 5 नंतर कोणतेही शून्येतर अंक येत असतील, तर वर पूर्णांकित करा. म्हणून तीन सार्थ अंकांवर 0.064371 हे 0.0644 आणि 7.2849 हे 7.28 असे पूर्णांकित होते.

वादाचा एकमेव प्रसंग म्हणजे वगळलेला अंक नेमका 5 असून त्यानंतर काहीही नसणे. OpenStax Chemistry 2e राखलेला अंक सम राहील अशा प्रकारे पूर्णांकन करते (6.125 चे 6.12 होते, तर 6.135 चे 6.14), ज्यामुळे अनेक पूर्णांकनांमध्ये होणारा वरच्या दिशेने थोडासा कल टळतो. अनेक शिक्षक फक्त 5 वर पूर्णांकित करतात. तुमचा अभ्यासक्रम कोणती पद्धत वापरतो ते तपासा आणि ती सातत्याने लागू करा; ती फक्त याच एका प्रसंगावर परिणाम करते.

तुमच्या स्वतःच्या कामातील सार्थ अंकांच्या चुका शोधा

बहुतेक सार्थ अंकांच्या चुका काही अंदाज करता येण्याजोग्या चुकांमधून येतात. उत्तर चौकटीत लिहिण्यापूर्वी इनपुट पुन्हा वाचा आणि कोणते इनपुट निकाल मर्यादित करते आणि कोणत्या नियमामुळे ते स्वतःला विचारा.

एक झटपट सवय हे नियमित करते: प्रत्येक उत्तराशेजारी मर्यादा घालणारे इनपुट आणि तुम्ही लागू केलेला नियम, म्हणजे दशांश स्थाने किंवा अंकसंख्या, लिहून ठेवा. उत्तरात त्या इनपुटला योग्य ठरतील त्यापेक्षा जास्त अंक दिसले तर ते पूर्णांकित करा; कमी दिसले तर कॅल्क्युलेटरने वगळलेले शेवटचे शून्य शोधा.

• अचूक संख्येला उत्तर मर्यादित करू देणे. 1000 mL/L हा गुणक किंवा 2 हा गुणांक सार्थ अंक कधीही कमी करत नाही.
• बेरजेसाठी गुणाकाराचा नियम वापरणे. बेरजा आणि वजाबाक्या दशांश स्थानांनी मर्यादित होतात, अंकसंख्येने नव्हे.
• प्रत्येक मध्यवर्ती मूल्याचे पूर्णांकन करणे. राखीव अंक ठेवा आणि शेवटी एकदाच पूर्णांकित करा.
• अर्थपूर्ण शेवटची शून्ये वगळणे. मोजमाप 2.50 mL असताना कॅल्क्युलेटर 2.5 दाखवतो; शून्य परत लिहा.
• सुरुवातीची शून्ये मोजणे. 0.0081 g मध्ये दोन सार्थ अंक आहेत, चार नाहीत.
• संदिग्ध शून्ये असलेली पूर्ण संख्या नोंदवणे. तीन अंक अर्थपूर्ण असतील तेव्हा 340 g ऐवजी 3.40 × 10² g असे लिहा.